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9.2 正弦定理与余弦定理的应用
1．在中，M是上靠近点B的四等分点，若的面积为，则的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过点时，发现北偏东方向，距离为的点处有毒贩正驾驶小船以的速度往北偏东的方向逃窜，缉毒船立即以的速度前往缉捕，则缉毒船经过（ ）恰好能抓获毒贩.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
4．如图为地动仪的模型图，当地震发生时，樽体会出现摇晃和震荡，但都柱保持静止，都柱和樽体之间存在相对运动，从而触发地动仪的机关，引发对应方向龙嘴张开，铜球掉落在对应的蟾蜍口中，以此判断地震发生的方向.现要在相距200km的甲、乙两地各放置一个地动仪，甲在乙的南偏西30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（ ）
A． B．
C． D．
5．某参考书中有这样一道题：“△ABC中，与是方程的两根，对 ”.对于这道题目，评价最恰当的是（ ）
A．这道题将三角与一元二次方程相结合，考察了韦达定理的应用，是一道好题
B．这道题先求出的值，再利用诱导公式求得的值，是一道好题
C．通过计算，可得
D．这道题数据有误，是一道错题
6．在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且有一解，则的取值范围为
C．若，且为锐角三角形，则的取值范围为
D．若，且，为的内心，则
7．已知的斜边长为，则其内切圆半径取值可能为（ ）
A． B． C． D．
8．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 .
9．“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为 米

10．雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为36m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为 .
11．已知面积为6，内角的对边分别为.为中点，为边靠近点的三等分点.
(1)求的面积；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，求的最小值.
12．已知函数，在上的最大值为3．
(1)求的值及函数的周期与单调递增区间；
(2)若锐角中，角所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围．
13．在中，内角的对边分别为.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
注：.
14．已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)若，求的面积.
15．某校学生在学农期间参观了某农村的蔬菜园地，已知该农村中某块蔬菜园地的形状为如图所示的四边形，经测量，边界m，，．
(1)若的长为8m，求的长；
(2)现需要沿该园地的边界修建篱笆（不计宽度）以提醒同学们不要随意进入该园地，问所需要的篱笆的最大长度为多少米？（提示：设）
16．在三角形中，点在线段上，平分．
(1)尝试利用等面积法证明角平分线定理，即请证明：；
(2)尝试利用正弦定理证明角平分线定理，即请证明：；
(3)若，，则是多少？
17．如图，已知两条公路，的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁，异于点处设两个销售点，且满足，千米，千米，设.
(1)试用表示，并写出的范围；
(2)当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小即工厂与学校的距离最远注：
18．如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.
(1)设A到P的距离为xkm，求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）.
1．C
【详解】

如图，∵
，∴
，设在中，所对的边为，
因为，的面积为，所以，即，
所以
，
（当且仅当时取“=”）.
故选：C
2．C
【详解】设缉毒船经过恰好能抓获毒贩，
由题意知，
由余弦定理可得，
即，
整理得，解得（负值舍去）.
故选：C
3．D
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
4．B
【详解】如图，A点为甲地，B点为乙地，C点为地震的位置，
依题意，，，，则，

由正弦定理，
得
（）.
故选：B.
5．D
【详解】由题设，
则，，则一个为钝角一个为锐角，
又，则，
所以是一个钝角，而在三角形中不可能存在两个钝角，
所以该题数据有误，为错题.
故选：D
6．ACD
【详解】对于A，由可得，即，
因为，所以，且，所以，故A正确；
对于B，根据余弦定理可得，，即，
将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有一个正解，
因为，
所以或
解得或，因为，所以或，故B错误；
对于C，由正弦定理可得， ，即,
因为为锐角三角形，所以，即，解得，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以.
因为，所以.
由正弦定理可得，，即，即，
所以，即，
因为，所以，又因为，所以为锐角，则.
所以，所以为直角三角形，
所以内切圆的半径满足，即，
所以，故D正确.
故选：ACD.
7．CD
【详解】设的两直角边长为，且；
显然，
即，可得；
设的内切圆半径为，
根据等面积法可得，因此；
所以，
当且仅当时，等号成立；
易知,即符合题意；
故选：CD
8．
【详解】解：过作于，如图所示：
设，
由题意可知设，
则有，,
所以，
解得，
所以，
在中，，
所以，
所以.
故答案为：
9．30
【详解】

设雕像高为，设雕像底部为点，根据直角三角形正切函数可得：
再由，结合两个三角形的余弦定理可得：
因为，
所以
即，
解得：，
故答案为：.
10．72m
【详解】在中，；在中，；
由图可知，易知，
在中，，根据正弦定理可得：
，
所以
所以.
故答案为：72
11．(1)
(2)
(3)【详解】（1）设，
又
，，解得，为中点.
（2），，
由正弦定理：即
，即
，
令，,则，即有实数解，
（i）若，，，即，符合题意.此时，
（ii）若.则，.解得且
综合（i）（ii），，
（3）由（1）可得：，，故.从而
又，，设，则
在中，由余弦定理：①
又由（1）：，②
由得：，
，将其看作关于的一元二次方程，则必有
，解得：，当且仅当，时，等号成立,
故的最小值为．
12．(1)，周期为，
(2)
【详解】（1）
.
所以当时，取到最大值3，
即，，所以，
其周期为．
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）由（1）知，由，
可得，即，
因为，所以，
所以，即.
因为，
所以，
由正弦定理可知 ，
因为为锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围为．
13．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，
所以
，
因为.所以，
所以，
即，
即的取值范围为.
14．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，对角线为钝角的平分线，
所以，
解得或（舍），
所以；
（2）由题意，在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，解得或（舍去），
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（3）方法一：在中，由正弦定理可得，
即，所以，
因为为钝角，所以，
因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得
，
解得，
因为
，
所以；
方法二：在中，由，
可得，所以，
所以，所以，
又由于，从而，即，
所以，
，
所以.
15．(1)m
(2)m
【详解】（1）由题意可知为等边三角形，即，
在中利用余弦定理得，
即，解得 m；
（2）设，且，
则在中利用正弦定理得，
即，
则
，
因，则，结合正弦函数图象可知，，
则，故，
则所需要的篱笆的最大长度为m.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）利用等面积法证明：设，BC边上的高为h.
由，又，故；
（2）利用正弦定理证明：设，则，
，
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
因，两式相比，可得：；
（3）由角平分线定理得，故，
于是，
两边平方得：
，故.
17．(1)
(2)当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小
【详解】（1）如图，，
在中，由正弦定理得：，
；
（2）在中，，
，
当且仅当，即时，取得最大值36，即取得最大值6.
当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小.
18．(1)
(2)
【详解】（1）依题意，得 ，
，所以 ，
．在 中，，
余弦定理，得 ．
同理在 中，．
由于 ，
所以 ，
解得 ．
（2）作 ，垂足为 ，在 中，
．
所以目标 到海防警戒线 的距离为 ．

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