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2024-2025学年湖南省长沙市长郡教育集团七年级（下）期中
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数的倒数是( )
A. B. C. D.
2.下列命题中的真命题是( )
A. 邻补角互补 B. 两点之间，直线最短
C. 同位角相等 D. 同旁内角互补
3.如图，下列条件中，不能判定的是( )
A. B.
C. D.
4.下面是二元一次方程的解的是( )
A. B. C. D.
5.如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.下列各数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可能为( )
A. B. C. D.
8.我国明代数学家程大位所著算法统宗中记录了“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果苦果买一千甜果九个十一文，苦果七个四文钱试问甜苦果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么苦果、甜果各买了多
少个？设苦果有个，甜果有个，则可列二元一次方程组为( )
A. B.
C. D.
9.如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动周，点到达点的位置，点表示的数为( )
A.
B.
C.
D. 或
10.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，按照此规律，点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.的算术平方根是______．
12.方程是关于、的二元一次方程，则的值为______．
13.方程的解是______．
14.如图，已知，如果，，那么的大小是______．
15.年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰盛会，将于年月日在哈尔滨市举行如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．
16.如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，延长交于点为上一点，连接，若，平分，则 ______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
解下列方程组：
；
．
19.本小题分
如图，由平移所得，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移个单位，再向上平移个单位得到．
请画出平移后的；
求的面积；
已知点为中任意一点，按照的平移规则平移后的对应点为，若的坐标，请直接写出点的坐标．
20.本小题分
已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
求这两个方程组的相同解；
求的值．
21.本小题分
已知：如图，平行直线，与相交，交点分别为，，平分，平分求证：．
根据图形和已知条件，请补全这道题的解答过程．
证明：______，
____________
又平分，平分，
____________
____________
______
22.本小题分
如图，已知，．
求证：．
若平分，于点，，求的度数．
23.本小题分
人教版七年级下册数学教材第页有一个这样的探究题：如图，丝路纺织厂与，两地由公路、铁路相连这家纺织厂从地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往地已知公路运价为元，铁路运价为元，且这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元问：这家纺织厂购进的长绒棉和制成的纺织面料各多少？
小郡同学在看到这个探究题后，设购买长绒棉，制成纺织面料．
根据题中数量关系列出了以下表格：
长绒棉 纺织面料 合计
公路运费元 ______ ______
铁路运费元 ______ ______
请完成表格的填写空都需填写含有或的表达式．
请帮小郡同学完成接下来的解题过程．
24.本小题分
对于关于，的二元一次方程组其中，，，，，是常数，给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组．
下列方程组是“开心”方程组的是______只填写序号；
；；．
若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值；
若对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，求的值．
25.本小题分
如图，直线，直线与、分别交于点、，小明将一个含角的直角三角板按如图放置，使点、分别在直线、上，，．
若，则 ______；
若，射线在内交直线于点，如图当、分别在点、的右侧，且：：，时，求的度数；
小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点、分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数用含的式子表示．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
；
．
18.解：，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
故原方程组的解为；
，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
故原方程组的解为．
19.解：如图，即为所求．
的面积为．
点按照的平移规则平移后的对应点为，
点的坐标．
20.解：由题意得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：；
把代入中可得：，
化简得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原式
．
21.证明：已知，
两直线平行，内错角相等，
又平分，平分，
，角平分线的定义，
等式的性质，
内错角相等，两直线平行．
22.证明：已知，
两直线平行，同旁内角互补，
又已知，
同角的补角相等，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等；
解：，
，
，
，
平分，，
，
由知，
，
．
23.解：根据题意得：运输纺织面料所需公路运费元，
所需铁路运费元，
公路运费合计元，铁路运费合计元．
故答案为：，，，；
根据题意得：，
解得：．
答：这家纺织厂购进长绒棉，制成的纺织面料．
24.解：解方程组得，则，它不是“开心”方程组，
解方程组得，则，它是“开心”方程组，
解方程组得，则，它不是“开心”方程组，
故答案为：；
将两个方程相加得：，
解得：，
是“开心”方程组，
，
，
解得：或；
对于任意的有理数，关于，的方程组都是“开心”方程组，
，
联立得：，
或，
解得：或，
把代入得：，
整理得，
为任意有理数，
，，
解得：，，
；
把代入得：，
整理得，
为任意有理数，
，，
解得：，，
；
综上所述，的值为．
25.解：过点作直线，如图，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
延长交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
：：，
，
，
，，
；
当，分别在点，的右侧，如图，
，
，
，
，
，
，
射线平分，
；
当点，分别在点，的左侧，如图，
，
，
，
，
，
，，
射线平分，
，
，
，
综上所述，或．
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