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高州市2025届中考第一次模拟考试
数学试卷
说明：1．时间：120分钟 满分120分；
2．考生务必用黑色的签字笔或钢笔在答题卡各题目指定区域内填写，否则答案无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是附合题目要求的．）
1. 下列四个数中，是负数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 据统计，2024年我国新能源汽车产量超过988万辆，其中988万用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C D.
4. 方程的解的情况是（ ）
A. B. C. D. 无解
5. 如图，直线，矩形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
7. 将一正方体纸盒沿图5所示的线剪开，展成平面图，其展开图的形状为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，将直线向上平移个单位，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图1是某款自动旋转遮阳伞，当伞面完全张开时，其张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（ ）
A 米 B. 米 C. 米 D. 米
10. 如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11. 比较大小：____（填“”“”或“”）
12. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______．
13. 如图，某工厂生产的卷筒纸外直径为厘米，总长度拉直后为米．已知每层纸的厚度为厘米，取，则这卷纸的内直径是______．
14. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画弧，交正六边形于点、，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）
15. 把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点，同时落在反比例函数图象上时，则的值为______．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16. （1）计算：
（2）解不等式组：．
17 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，点、分别在正方形边、上，连接．
（1）作，使点和分别在边和上（均不与顶点重合），且垂直于．要求用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹（无需写说明）．
（2）连接、，若，求证：．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 某水果公司以10元每千克的成本价购进1000箱荔枝，每箱质量为：在出荔枝前需要去掉损坏的荔枝．现随机抽取10箱，去掉损坏的荔枝后称得每箱的质量（单位：）如下：4.7 4.8 4.9 4.6 4.8 4.7 4.5 4.7 4.6 5.0
整理数据：
质量／kg 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
数量／箱 1 2 3 1 1
分析数据：
平均数 众数 中位数
4.73
（1）上述表格中______，______，______；
（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这1000箱荔枝共损坏了多少千克？
（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定价为多少元才不会亏本？（结果保留一位小数）
20. 某市政府计划拨款元为福利院购买彩电和冰箱，已知商场彩电标价为元/台，冰箱标价为元/台，如按标价购买两种家电共台，恰好将拨款全部用完．
（1）问原计划购买的彩电和冰箱各多少台？
（2）购买的时候恰逢商场正在进行促销活动，全场家电均降价进行销售，若在不增加市政府实际负担的情况下，能否比原计划多购买台冰箱？请通过计算回答．
21. 综合与实践
【主题】军事训练中的距离测量问题
【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题：
【实践操作】如图所示：
步骤1：面向点站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点；
步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点；
步骤3：步测得米．已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为．
【问题解决】
（1）如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离？请用你所学数学知识说明．
（2）若将本题中测量方法应用到生活场景中，例如测量池塘对岸某一物体的距离，你认为该方法是否同样适用？请举例说明在生活场景应用时可能会遇到的不同情况及相应的解决办法．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22. 如1图，是的直径，是的弦，点是外一点，．
（1）求证：与相切．
（2）如2图，连接、，若，与交于点．
①证明：；
②连接交于点，连接，若，，求的长．
23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．

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