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2025年四川省遂宁高级实验学校外国语学校中考数学一诊试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体至少由几个小正方搭成( )
A. B. C. D.
4.一方有难，八方支援北京时间年月日时分，缅甸发生级强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失地震发生后，中国迅速响应，展现大国担当中国政府决定向缅甸提供亿元人民币紧急人道主义地震救灾援助，并派出多支救援队赶赴灾区同时，中国各界也纷纷伸出援手，积极捐款捐物截至月日时止，中国民间捐款总额达到元将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”五常稻花香大米味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前天完成任务设原计划每天收割的面积为，则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
6.下表列出了函数中自变量与函数的部分对应值．根据表中数据，判断一元二次方程的一个解在哪两个相邻的整数之间( )
A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间
7.下列命题中，真命题是( )
A. 若，则
B. 某种彩票中奖的概率是，买张该种彩票一定会中奖
C. 点，点都在反比例函数的图象上，若，则
D. 甲、乙两射击运动员分别射击次，他们射击成绩的方差分别为，，这过程中乙发挥比甲更稳定
8.如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，则这个最小值是( )
A.
B.
C.
D.
9.阅读材料：一般地，当、为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：；．
根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，是直径，，点、在圆上，点在半圆弧的中点处，是半圆弧的，则的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，抛物线与轴交于，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：；；为任意实数；若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若，则代数式 ______．
12.我国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”如图一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图，孩子出生后的天数天请根据图，计算孩子自出生后的天数是 天．
13.如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且，连接、，则的面积是______．
14.如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接若，，则 ______．
15.如图所示：四边形是平行四边形，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：平分；平分；点，，，为顶点的四边形的面积；是等边三角形，其中正确的有______填序号
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
先化简，再求值：，其中满足．
18.本小题分
综合与实践
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究．
定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
【初步探究】
如图，在“双垂四边形”中，若，则 ______，的值为______．
【问题解决】
如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值．
【拓展应用】
如图，在“双垂四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的面积．
19.本小题分
如图所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图所示，经测量，上臂，中臂，底座．
若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；结果保留根号
在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图，计算此时点到地面的距离精确到，，
20.本小题分
遂宁市凭借独特的观音文化和迷人的自然景观，如灵泉寺、观音湖等，大力推进“引客入遂”战略，旅游产业蓬勃发展年“灵泉寺观音湖”旅游环线接待游客万人次景区通过不断完善设施与丰富文化活动，去年游客接待量在年增长的基础上再次增长，且这两年的增长率相同，预计今年年共接待游客万人次．
求该旅游环线游客接待量的年平均增长率；
为了满足游客需求，遂宁市准备在旅游旺季为“灵泉寺观音湖”旅游环线调配、两种类型的观光巴士型巴士可载人，租金为每趟元；型巴士可载人，租金为每趟元某节假日预计该旅游环线游客量有人，调配巴士的预算最多为元问有几种调配方案，怎样调配能使租车费用最低，最低费用是多少？
21.本小题分
关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根；
若两边、的长是这个方程的两根，且斜边问为何值时，是直角三角形．
22.本小题分
年月日，是第个全国中小学生安全教育日，为切实增强同学们的安全防范意识和避险能力，保障学生安全，提高学生面临突发安全事件自救自护应变能力，某校在月份开展了一系列的安全知识讲座以及相应的安全演练，为了解学生对“安全知识”的掌握情况学校分别从八年级和九年级随机抽取各名学生进行测试，并收集了这些学生的测试成绩，整理和分析，研究过程中的部分信息如下：
信息一：安全知识测试题共道题目，每题分；
信息二：九年级成绩的频数分布直方图如下：
信息三：八年级平均成绩的计算过程如下：
分
信息四：如表所示
统计量 平均数 中位数 众数 方差
九年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
______， ______；
你认为哪个年级的成绩更加稳定？请说明理由；
在本次测试中，九年级甲同学和八年级乙同学的成绩均为分，你认为两人在各自年级中谁的成绩排名更靠前？请说明理由．
学校安排七年级主办一期安全知识宣传板报，要求从交通安全，食品安全，消防安全，网络与信息安全，心理健康与安全中选择两个主题，请用列表或画树状图的方法求七年级选择和的概率．
23.本小题分
综合运用
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上取点，过点作反比例函数的图象．
求的值及反比例函数的表达式；
点为反比例函数图象上的一点，若，求点的坐标．
在轴上是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
24.本小题分
如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接，，，分别是，的中点，连接，，延长，交于点．
求证：四边形是矩形；
若，求证：是的切线；
在的条件下，若，，求的半径．
25.本小题分
已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于，两点，其中点的坐标为，点在轴上是轴上的一个动点，过作轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于、两点．
求的值及这个二次函数的解析式；
若点的横坐标为，求的面积；
当时，求线段的最大值；
若直线与抛物线的对称轴交点为，问是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：
．
17.解：
，
，
，
当时，原式．
18.解：，，
，
，
，，
，
故答案为：，；
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
；
如图，过点作于点，
由知，，
，
，
，
同理可得，≌，
，
由折叠的性质可知四边形为正方形，
连接，则，，
分两种情况：如图，当点的对应点在的上方时，
，
，，
∽，
，
，
，
，
；
如图，当点的对应点在的下方时，
同理可得，
；
综上可得，的面积为或．
19.解：如图，过点作，垂足为，则，
，，
，
，，
，
即点到地面的距离为；
如图，过点作垂直于地面，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，
，，
，，，
，，，
点到地面的距离为．
20.解：设该旅游环线游客接待量的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该旅游环线游客接待量的年平均增长率为；
设调配辆型巴士，则调配辆型巴士，
根据题意得：，
解得：，
又，均为整数，
可以为，，
共有种调配方案，
方案：调配辆型巴士，辆型巴士，租车费用为元；
方案：调配辆型巴士，辆型巴士，租车费用为元，
，
当调配辆型巴士，辆型巴士时，租车费用最低，最低费用是元．
答：共有种调配方案，当调配辆型巴士，辆型巴士时，租车费用最低，最低费用是元．
21.证明：对于关于的一元二次方程，
这个方程根的判别式为，
无论取何值，方程总有两个不相等实数根，
解：两边、的长是这个方程的两根，
，，
，
要使是以为斜边的直角三角形，则，
，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，是直角三角形．
22.解：九年级成绩的众数分，八年级成绩的中位数分，
故答案为：、；
由表知，九年级成绩的方差小于八年级成绩的方差，
所以九年级成绩更加稳定；
乙同学成绩更靠前，
因为甲同学成绩正好等于该年级成绩的中位数，而乙同学成绩大于该年级成绩的中位数，
所以乙同学成绩更靠前；
根据题意列表如下图所示：
．
共有种等可能的结果，其中七年级选择和的有种结果，
所以七年级选择和的概率为．
23.解：把代入得，
，
，
把代入，
得，
反比例函数的函数表达式为；
当时，
，
，
，
，
，
又
，
解得：，
，
点坐标为；
存在；理由如下：
当点在轴正半轴上时，
如图，过点作轴交轴于，
则，
点；
当点在轴负半轴上时，
如上图，设与轴交于点，
，
，
则，
解得：，
，
设直线表达式为，代入得：
，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
24.证明：为的直径，
，
，分别是，的中点，且，经过圆心，
，，
，
，
四边形是矩形．
证明：如图，连接．
，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
又为半径，
是的切线．
解：，
，
设，，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
即．
解得，
，
的半径为．
25.解：直线经过点，
，，
二次函数图象的顶点坐标为，
设
抛物线经过，，
；
把代入得，
，
把代入得，
，
；
由题意得，，
，
当属于范围时，的最大值为；
直线：，
要使四边形为平行四边形只要．
分两种情况：
点在点的上方，则
，
，
舍去或；
点在点的下方，则 ，
或；
综上所述，满足题意的点是存在的，坐标为或或．
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