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2024-2025 学年安徽省合肥市包河区七年级（下）期中数学试卷
一、单选题：本大题共 10 小题，共 30 分。
1.下列四个实数中，是无理数的是( )
A. 1

3 B. 9 C. 3 D. 3.14
2.下列运算正确的是( )
A. ( 2 2)3 = 2 6 B. 2 3 = 5
C. ( + )2 = 2 + 2 D. ( ) = 2 +
3.据《新时代的中国北斗》白皮书介绍，北斗卫星导航系统服务性能优异，免费向全球用户提供定位导航
授时服务，授时精度优于 0.00000002 秒.数据 0.00000002 用科学记数法表示为( )
A. 0.2 × 10 7 B. 2 × 10 8 C. 0.2 × 10 8 D. 2 × 10 9
4.已知 > ，则下列不等式一定成立的是( )
A. 2 22 > 2 B. > C. 3 1 > 3 + 1 D. 2 > 1
5.不等式 2 ≤ 2 的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.若多项式( )( 2 + 3)的展开式中不含关于 的一次项，则 的值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7.在多项式 1 4 2中添加一个单项式，使其成为一个多项式的完全平方，则添加的单项式正确的是( )
A. 4 B. 4 C. 4 4 D. 4 4
8.连续两个正整数，较大数的算术平方根是 ，则较小数的算术平方根是( )
A. 1 B. 2 1 C. 1 D. 2 1
9.某种商品的进价为 40 元，出售时标价为 60 元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利
润率不低于 5%，则最多可打( )
A.六折 B.六五折 C.七折 D.七五折
10.已知实数 ， ， 满足： + 2 + 2 = 0，2 + + > 0，则下面结果正确的是( )
A. < 0， + < 0 B. > 0， + < 0
C. < 0， + > 0 D. > 0， + > 0
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二、填空题：本大题共 5 小题，共 15 分。
11.比较大小： 5 ______2. (填“<”或“>”)
12.若 + 2 + ( 3)2 = 0，则 的值是______．
13.如图，有正方形卡片 类， 类和长方形卡片 类若干张，如果要拼一个长为( + 2 )，宽为(3 + 2 )的
大长方形，则需要 类卡片______张.
14.已知 2 3 + 7 = 0，则代数式4 +1 82 的值为______．
15.已知关于 的不等式 2 < 3( + 1)．
(1)当 = 2025 时，该不等式的解集为______；
(2)若该不等式的负整数解有且只有 2 个，则 的取值范围是______．
三、解答题：本题共 7 小题，共 55 分。
16.（6 分）计算：( 3.14)0 ( 2)2 + ( 1 12 ) × 9．
3( 1) ≤ + 1
17.（6 分）解不等式组： 9 < 2 ，并求出不等式组的整数解之和．2
18.（6 分）先化简，再求值：( )2 (2 + ) + 3 ( )，其中 = 1， = 2．
19.（8 分）观察下列各式：
第 1 个式子：1 × 3 = 22 1；
第 2 个式子：2 × 4 = 32 1；
第 3 个式子：3 × 5 = 42 1；
…
(1)请根据以上规律，直接写出第 4 个式子：______；
(2)写出猜想的第 个等式(用含 的式子表示)，并说明其正确性．
20.（8 分）已知 2 2 的算术平方根是 2，3 9 的立方根是 3， 5的整数部分为 ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求 + 的平方根．
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21.（10 分）任务背景：我校在世界读书日启动“书香校园”活动，我班在参与读书活动中，计划购进一些
笔记本用于摘抄“好词好句”．
驱动任务：购买笔记本的最省钱方案．
数据信息
信息
购进 、 两种型号的笔记本．
一
信息
已知 型号笔记本 12 元/个， 型号笔记本 8 元/个．
二
问题解决
任务 我班计划购进 、 两种型号的笔记本共 50 本，且购买费用不超过 528 元，则最多可以购买
一 型号笔记本多少本？
2
任务 在满足任务一的条件下，要求购买 型号的笔记本数不多于 型号笔记本数的3，我班购进笔记本
二 的方案有哪几种？哪种方案最省钱？
22.（6 分）现有长与宽分别为 、 的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成如图 1 的图形，用四个
相同的小长方形拼成图 2 的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请写出图 1 和图 2 所验证的关于 、 的关系式：(用含 、 的代数式表示出来)；
图 1 表示：______；
图 2 表示：______．
(2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
①若 + = 4， 2 + 2 = 13，求 的值；
②如果 2 + 3 = 5， = 1，求 4 2 9 2的值；
③请直接写出下列问题答案：如果(2024 )( 2025) = 3，(2024 )2 + ( 2025)2 = ______．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.>
12. 8
13.8
14.2
15. > 2028； 1 < ≤ 0．
16.解：( 3.14)0 ( 2)2 + ( 1 ) 12 × 9
= 1 | 2| + 2 × 3
= 1 2 + 6
= 5．
3( 1) ≤ + 1①
17.解： 9 ，
2 < 2 ②
解①得 ≤ 2，
解②得 > 3，
所以不等式组的解集为 3 < ≤ 2，
所以不等式的整数解为： 2， 1，0，1，2，它们的和为( 2) + ( 1) + 0 + 1 + 2 = 0．
18.解：原式= 2 2 + 2 2 + 3 2 3
= 4 2 5 2 + 2，
当 = 1， = 2 时，
原式= 4 × 1 5 × ( 1) × ( 2) 2 × ( 1) ( 2) + ( 2)2
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= 4 10 + 2 + 2 + 4
= 2．
19.解：(1)由题知，
因为 1 × 3 = 22 1；
2 × 4 = 32 1；
3 × 5 = 42 1；
…，
所以第 个等式可表示为 ( + 2) = ( + 1)2 1．
当 = 4 时，
第 4 个式子为：4 × 6 = 52 1．
故答案为：4 × 6 = 52 1．
(2)由(1)知，
第 个等式可表示为 ( + 2) = ( + 1)2 1．
理由如下：
左边= 2 + 2 ，
右边= 2 + 2 + 1 1 = 2 + 2 ，
所以左边=右边，
故此等式成立．
20.解：(1) ∵ 2 2 的算术平方根是 2，
∴ 2 2 = 4，
解得 = 3，
∵ 3 9 的立方根是 3，
∴ 3 9 = 27，
解得 = 4，
∵ 2 < 5 < 3，
∴ 5的整数部分是 2，
∴ = 2，
∴ ， ， 的值分别为 3，4，2；
(2) ∵ = 3， = 4， = 2，
∴ + = 3 + 4 2 = 5．
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∴ + 的平方根是± 5．
21.解：任务一：设可以购买 型号笔记本 本，则可以购买 型号笔记本(50 )本，
由题意得：12 + 8(50 ) ≤ 528，
解得： ≤ 32，
答：最多可以购买 型号笔记本 32 本；
2
任务二：50 ≤ 3 ，
解得： ≥ 30，
由(1)可知， ≤ 32，
∴ 30 ≤ ≤ 32，
∵ 为正整数，
∴ 的值为 30，31，32，
∴购进笔记本的方案有 3 种：
①购买 型号笔记本 30 本， 型号笔记本 20 本，费用为 12 × 30 + 8 × 20 = 520(元)；
②购买 型号笔记本 31 本， 型号笔记本 19 本，费用为 12 × 31 + 8 × 19 = 524(元)；
③购买 型号笔记本 32 本， 型号笔记本 18 本，费用为 12 × 32 + 8 × 18 = 528(元)；
∵ 520 < 524 < 528，
∴购买 型号笔记本 30 本， 型号笔记本 20 本，最省钱．
22.解：(1)图 1 中，由图可知 大正方形 = ( + )2，
2 2组成大正方形的四部分的面积之和 = + + 2 ，
由题意得， 大正方形 = 组成大正方形的四部分的面积之和，
即( + )2 = 2 + 2 + 2 ；
图 2 中，由图可知 2 2大正方形 = ( + ) ， 小正方形 = ( ) ， 四个长方形 = 4 ，
由题图可知， 大正方形 = 小正方形 + 四个长方形，
即( + )2 = ( )2 + 4 ，
故答案为：( + )2 = 2 + 2 + 2 ；( + )2 = ( )2 + 4 ；
(2)①由题意得：( + )2 = 2 + 2 + 2，
∵ + = 4， 2 + 2 = 13，
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∴ = ( + )
2 ( 2+ 2) 42 13 3
2 = 2 = 2；
② ∵ (2 3 )2 = (2 + 3 )2 4 × 2 × 3 = (2 + 3 )2 24 = 1，
∴ 2 3 =± 1，
∴ 4 2 9 2 = (2 + 3 )(2 3 ) =± 5；
③设 = 2024 ， = 2025，
∵ (2024 )( 2025) = 3，
∴ = 3， + = 1，
∴ 2 + 2 = ( + )2 2 = 1 + 6 = 7；
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