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北师大版2024—2025学年七年级下册数学期中考试全真模拟试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．一种病毒的直径约为0.00000252米，0.00000252米用科学记数法表示是（　　）
A．0.252×10﹣6 B．2.52×10﹣6
C．2.52×10﹣7 D．2.52×10﹣3
2．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条
3．一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
4．长方形的面积为4a2﹣6ab+2a，若它的一边长为2a，则它的周长为（　　）
A．4a﹣3b B．8a﹣6b C．4a﹣3b+1 D．8a﹣6b+2
5．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（　　）（精确到0.1）
A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6
6．若x+2y﹣3＝0，则4y 2x﹣2的值是（　　）
A．4 B．8 C．﹣4 D．6
7．如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE D．∠D+∠1+∠3＝180°
8．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．若已知a2+b2+c2＝69，ab+bc+ac＝50，由图2所表示的数学等式，则a+b+c的值为（　　）
A．1 B．12 C．13 D．14
9．如果关于x的多项式（x+1）（x2﹣4mx+4）的结果不含x2项，则m的值为（　　）
A．0 B．4 C． D．1
10．定义：如果2m＝n（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D（n）．例如：因为21＝2，所以D（2）＝1；因为24＝16，所以D（16）＝4，D数有如下运算性质：D（s t）＝D（s）+D（t），D（）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p．下列说法错误的是（　　）
A．D（8）＝3
B．若D（3）＝2，D（5）＝a+b，D（15）＝2a+2b
C．若D（a）＝1，则D（a3）＝3
D．若D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+b，则D（）＝﹣a+2b
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．x2﹣（m﹣2）x+9是完全平方式，则常数m＝　 　．
12．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球　 　 个．
13．二维码是移动设备上流行的一种编码方式．如图，是一个边长为10的正方形二维码，为了估计图中黑色部分的面积，在此二维码上进行大量重复掷点试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.6左右，则二维码中黑色部分的面积约是 　 　 ．
14．如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1＝50°，则∠2＝ 　 　．
15．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为　 　．
16．四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．
（1）若a＝3，b＝1，则S1＝ 　 　．
（2）若S1＝2S2，则 　 　．
第II卷
北师大版2024—2025学年七年级下册数学期中考试全真模拟试卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、____、_____
三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．求代数式（a+2）（a﹣2）﹣（a+2）2+（a+2）（a+6）的值，其中a＝﹣1．
18．已知2x＝6，2y＝3，求下列各式的值．
（1）2x+y；
（2）22x+23y；
（3）22x﹣3y．
19．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：
抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000
合格频数 49 94 192 285 m 950
合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n
（1）表格中m的值为 　 　 ，n的值为 　 　 ．
（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率．
（3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？
20．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．
（1）试求出式子中a，b的值；
（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．
21．若（x+4）（x2﹣2ax﹣4b）的展开式中不含x的二次项和一次项．
（1）求ba的值；
（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1） （a64+1）+1的值．
22．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数．
23．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　 　 ，（﹣2，﹣32）＝　 　 ；
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系；
（3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．
24．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）请填空：　 　秒后ON与OC重合；
（2）如图2，请问经过 　 　秒后，MN∥AB；
（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合？
（4）在（3）的条件下，当射线OC，射线OM，射线OB三条中的一条是另外两条组成的夹角的角平分线时，请直接写出t的值．
25．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；
图1表示：　 　；
图2表示：　 　；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（3）请直接写出下列问题答案：
①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝ 　；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝　 　．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．
参考答案
一、选择题
1—10：BAADB DBCCB
二、填空题
11．【解答】解：∵x2﹣（m﹣2）x+9是完全平方式，
∴﹣（m﹣2）x＝±2 x 3，
解得：m＝8或﹣4．
故答案为：8或﹣4．
12．【解答】解：由题意知，盒中球的总个数约为840（个），
则白球个数约为40﹣8＝32（个），
故答案为：32．
13．【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，
∴估计黑色部分的总面积约为10×10×0.6＝60，
故答案为：60．
14．【解答】解：如图，
∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝∠3+∠1＝100°．
故答案为：100°．
15．【解答】解：延长AB交l2于E，
∵∠α＝∠β，
∴AB∥CD，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝150°．
故答案为：150°．
16．【解答】解：（1）由题意可得：空白部分的面积S1为2个直角三角形（直角边为a、a+b），2个直角三角形（直角边为a、b）和中间正方形（边长为a﹣b）的面积和，
∴
＝ab+b2+ab+a2﹣2ab+b2
＝a2+2b2，
∵a＝3，b＝1，
∴，
故答案为：11；
（2）由（1）得：，
∵大正方形的面积为，
∴，
又∵S1＝2S2，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
整理得：（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，即，
故答案为：．
三、解答题
17．【解答】解：（a+2）（a﹣2）﹣（a+2）2+（a+2）（a+6）
＝a2﹣4﹣a2﹣4a﹣4+a2+8a+12
＝a2+4a+4，
当a＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2+4×（﹣1）+4
＝1﹣4+4
＝1．
18．【解答】解：（1）∵2x＝6，2y＝3，
∴2x+y＝2x 2y＝6×3＝18；
（2）∵2x＝6，2y＝3，
∴22x+23y＝（2x）2+（2y）3＝62+33＝36+27＝63；
（3）∵2x＝6，2y＝3，
∴；
19．【解答】解：（1）m＝500×0.95＝475，n＝950÷1000＝0.95，
故答案为：475、0.95；
（2）1﹣0.95＝0.05．
答：任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05；
（3）460×0.05×2＝46（元）．
答：估计要在他奖金中扣除46元．
20．【解答】解：（1）由题意得（2x﹣a）（3x+b）
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab
＝6x2+11x﹣10，
（2x+a）（x+b）
＝2x2+（a+2b）x+ab
＝2x2﹣9x+10，
所以2b﹣3a＝11，①
a+2b＝﹣9．②
由②得2b＝﹣9﹣a，代入①得﹣9﹣a﹣3a＝11，
所以a＝﹣5．
所以2b＝﹣4．
所以b＝﹣2．
（2）当a＝﹣5，b＝﹣2时，由（1）得（2x+a）（3x+b）＝（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10．
21．【解答】解：（1）（x+4）（x2﹣2ax﹣4b）
＝x3﹣2ax2﹣4bx+4x2﹣8ax﹣16b
＝x3+（4﹣2a）x2+（﹣4b﹣8a）x﹣16b，
∵（x+4）（x2﹣2ax﹣4b）的展开式中不含x的二次项和一次项，
∴4﹣2a＝0，﹣4b﹣8a＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，
∴ba＝（﹣4）2＝16；
（2）由（1）可知a＝2，
∴（a+1）（a2+1）（a4+1） （a64+1）+1
＝（2+1）（22+1）（24+1）...（264+1）+1，
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（264+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（264+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）...（264+1）+1
＝（28﹣1）...（264+1）+1
＝（264﹣1）（264+1）+1
＝2128﹣1+1
＝2128．
22．【解答】（1）证明：∵∠2＝∠3，
∴CE∥NF，
∴∠C＝∠FND，
又∵∠C＝∠1，
∴∠FND＝∠1，
∴AB∥CD．
（2）解：∵∠D＝47°，AB∥CD，∠EMF＝80°，
∴∠BED＝∠D＝47°，∠2＝EMF＝∠3＝80°，
∴∠BEC＝80°+47°＝127°，
∴∠AEP＝∠BEC＝127°．
23．【解答】解：（1）∵53＝125，（﹣2）5＝﹣32，
∴（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5，
故答案为：3，5；
（2）a+b＝c，理由如下：
∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，
∵5×6＝30，
∴4a×4b＝4c，即4a+b＝4c，
∴a+b＝c；
（3）设（m，8）＝x，（m，3）＝y，（m，t）＝z，则mx＝8，my＝3，mz＝t，
由（m，8）+（m，3）＝（m，t）可得x+y＝z，
∴t＝mz＝mx+y＝mx×my＝8×3＝24．，
24．【解答】解：（1）∵30÷3＝10，
∴10秒后ON与OC重合．
故答案为：10．
（2）分两种情况：
MN在AB上方时，如图2.1，
∵MN∥AB，
∴∠BOM＝∠M＝30°，
∵∠AON+∠BOM＝90°，
∴∠AON＝60°，
∴t＝60÷3＝20（秒），
∴经过t秒后，MN∥AB，t＝20秒；
MN在AB下方时，如图2.2，
∵MN∥AB，∠M＝30°，
∴∠BON＝60°，
∴∠AON＝60°+180°＝240°，
∴t＝240÷3＝80，
∴经过20秒或80秒后，MN∥AB．
故答案为：20秒或80秒．
（3）如图3所示：
∵∠AON+∠BOM＝90°，∠BOC＝∠BOM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON＝3t，则∠AOC＝30°+6t，
∵OC与OM重合，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
可得：（30°+6t）+（90°﹣3t）＝180°，
解得：t＝20（秒）；
即经过20秒时间OC与OM重合；
（4）分三种情况：
①OM平分∠BOC时，此时OC、OM在AB上方，如图4所示：
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝180°﹣30°﹣6t＝150°﹣6t，
∴150°﹣6t＝2（90﹣3t），无解；
②OC平分∠MOB，此时OC、OM在AB上方，如图5所示：
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝150°﹣6t，
∴90﹣3t＝2（150﹣6t），
解得：t（秒）；
③当OB平分∠COM时，如图6，
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝6t﹣150°，
∴90﹣3t＝6t﹣150，
解得：t（秒）；
④当OM平分∠BOC时，如图7，
∴∠BOM＝3t﹣90°，∠BOC＝6t﹣150°，
∴6t﹣150°＝2（3t﹣90°），无解；
故t的值为秒或秒．
25．【解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，
S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab，
由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab，
由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]
∵x+y＝8，x2+y2＝40，
∴xy＝（64﹣40）
＝12．
（3）①由图2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，
∵2m+3n＝5，mn＝1，
∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1，
∴2m﹣3n＝±1．
故答案为：±1．
②由图1可得[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（4﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（4﹣m）（5﹣m），
∴（4﹣m）2+（5﹣m）2＝[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（4﹣m）（5﹣m），
∵（4﹣m）（5﹣m）＝6，
∴原式＝1+2×6＝13．
故答案为：13．
（4）由题意得AB＝AC+CB，
∵AB＝7，
∴AC+CB＝7，
∵S1+S2＝16，
∴AC2+CB2＝16，
∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC CB，
∴AC CB＝[（AC+CB）2﹣（AC2+CB2）]
＝（49﹣16）
＝，
∴S阴影＝CD CB＝AC CB＝．
即图中阴影部分的面积为．
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