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2025 年江苏省宿迁市厦门路实验学校中考数学一模试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算 1 3 的结果是( )
A. 4 B. 4 C. 2 D. 2
2.下列运算结果正确的是( )
A. 3 4 = 7 B. ( 2 )2 = 4 2 C. 6 ÷ 3 = 2 D. ( 3)2 = 5
3.华为 60，遥遥领先，其中 60 手机采用的麒麟 9000 芯片，芯片内集成了 5 基带，用的是 5
纳米 5 集成芯片，5 纳米就是 0.000000005 米，数据 0.000000005 用科学记数法可表示为( )
A. 5 × 10 9 B. 0.5 × 10 9 C. 5 × 109 D. 5 × 10 8
4.如图，正方形 中， 、 是对角线 上两点，连接 、 、 、 ，则添加下列哪个条件可以判
断四边形 是菱形( )
A. =
B. ∠1 = ∠2
C. ∠ = 45°
D. =
5.由若干个棱长都为 1 的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为( )
A. 2 2 B. 3 2 C. 4 2 D. 6 2
6.《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题(凫：野鸭)，大意如下：野鸭从南海飞到北海需要 7 天，大雁
从北海飞到南海需要 9 天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过 天相遇，
则下列方程正确的是( )
A. 1 1 1 17 + 9 = 1 B. 7 9 = 1 C. 9 + 7 = 1 D. 9 7 = 1
7.我们规定关于任意正整数 ， 的一种新运算： ( + ) = ( ) ( )，如： (6) = (3 + 3) = (3) (3).
若 (2) = ( ≠ 0)，那么 (128)的结果是( )
A. 128 B. 64 C. 264 D. 64
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8 .如图，点 ， 在 轴上，以 为边的正方形 在 轴上方，点 的坐标为(1,4)，反比例函数 = ( ≠ 0)
的图象经过 的中点 ， 是 上的一个动点，将△ 沿 所在直线折叠得到△ .则当点 恰好落在
轴上时，折痕所在直线与反比例函数图象的另一个交点 的坐标为( )
A. ( 2,2)
B. ( 73 , 2)
C. ( 5 , 32 2 )
D. ( 43 3, 3)
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。
9.函数 = + 1的自变量 的取值范围是______．
10.因式分解：2 3 18 = ______．
11.圆锥的底面半径 3 ，母线 5 ，则该圆锥的侧面积是______ 2．
12.将 点( , + 4)向上平移 2 个单位到 点，且点 在 轴上，那么 点坐标为______．
13 3 = 1.方程5 +1 2 的解为 ．
14.如图， 是⊙ 的弦， 是圆心，把⊙ 的劣弧沿着 对折， 是对折后劣弧
上的一点，∠ = 102°，则∠ 的度数是______．
15.点 是正五边形 边 的中点，连接 并延长与 延长线交于点 ，
则∠ 的度数为 ．
16.小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点 ( , )，若| | ≤ 1 且| | ≤ 1，则称点
为该函数的“轴近点”.已知一次函数 = + 2 ( 为常数，且 ≠ 0)的图象上存在“轴近点”，则 的取
值范围______．
17.如图 1，在矩形 中， = 5， 是 边上的一个动点，
连接 ，过点 作 ⊥ 交 于点 .设 = ， = ，点
从点 运动到点 的过程中 关于 的函数图象如图 2 所示，则该
函数图象的顶点 的纵坐标 的值为______．
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18.如图，矩形 中， = 4 3, = 4，动点 ， 分别从点 ， 同时出
发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 ， 向终点 ， 运动，过点 ， 作直线
，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，连接 ，则 的最大值为______．
三、解答题：本题共 10 小题，共 96 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 8 分)
计算：( 2)0 3 30° | 3 2|．
20.(本小题 8 分)
5 2 < 3( + 1)
解不等式组： 2 2 ≥ 1 ，并在数轴上表示解集．3
21.(本小题 8 分)
如图，在 △ 中，∠ = 90°．
(1)尺规作图：作线段 的垂直平分线 ，交 于点 ，交 于点 ；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，∠ = 30°， = 3，求 的长．
22.(本小题 8 分)
某试验基地对新培育的甲、乙两个枸杞改良品种各试种 200 棵，从中各随机抽取 10 棵，对其产量(千克/
棵)进行整理分析.给出了下列部分信息．
平均数 中位数 众数 方差
甲品种 3.16 3.2 0.2944
乙品种 3.16 3.5 0.1484
甲品种产量：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9；
乙品种产量：如图所示(不完整)．
(1)补全如图的折线统计图(图中要写上数据)；
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(2) = ______， = ______；
(3)从枸杞产量的稳定性的角度，你认为该基地应推广种植哪个品种的枸杞，并说明理由．
23.(本小题 10 分)
中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊，它们各自代表的品质是傲、幽、坚、淡.它们不仅是自然
界中的美丽景象，更是中国人借物喻志的代表，广泛出现在咏物诗文和艺人字画中.小明和小亮是中国国画
爱好者，小明先从如图所示的四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中随机选择一幅进行临摹，小亮再从
剩下的三幅国画中随机选择一幅进行临摹．
(1)小明选择的是“竹”的概率为______．
(2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率，
24.(本小题 10 分)
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，
它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上 点测得屋顶 的仰
角为 35°，此时地面上 点、屋檐上 点、屋顶上 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8 到达点 时，又
测得屋檐 点的仰角为 55°，房屋的顶层横梁 = 12 ， // ， 交 于点 (点 ， ， 在同一水平线
上). (参考数据： 35° ≈ 0.6， 35° ≈ 0.8， 35° ≈ 0.7， 55° ≈ 0.8， 55° ≈ 0.6， 55° ≈ 1.4)
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(1)求屋顶到横梁的距离 ；
(2)求房屋的高 ．
25.(本小题 10 分)
如图， 为⊙ 的直径， ， 为⊙ 上不同于 ， 的两点，∠ = 2∠ ，连接 ，过点 作 ⊥ ，
垂足为 ，直径 与 的延长线相交于 点．
(1)求证： 是⊙ 的切线；
(2) = 18当 5 , =
3
5时，求 的长．
26.(本小题 10 分)
在“中国生态稻虾第一县”审批通过后．某县计划在部分区域范围内推广稻米虾养殖技术已知每千克稻米
虾养殖成本为 6 元，在整个销售旺季的 80 天里，销售单价 元/千克与时间第 (天)之间的函数关系式为： =
1
4 + 16(1 ≤ ≤ 40, 为整数)
1 ，日销售量 (千克)与时间第 (天)之间的函数关系如图所示： 2 + 46(41 ≤ ≤ 80, 为整数)
(1)求日销售量 与时间第 天的函数关系式；
(2)哪天的日销售利润最大？最大利润是多少？
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27.(本小题 12 分)
如图所示，抛物线 = 2 + + 经过 、 两点， 、 两点的坐标分别为( 1,0)、(0, 3)．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点 为抛物线的顶点，点 为抛物线与 轴的另一交点，点 为 轴上一点，且 = ，求出点 的坐标；
(3)在第二问的条件下，在直线 上存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与△ 相似，请你直接写
出所有满足条件的点 的坐标．
28.(本小题 12 分)
在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是 2：1 的矩形，例如我们的课本封面、 4打印纸，我们
不妨称这样的矩形为标准矩形
【操作判断】
如图 1，已知矩形 是一个标准矩形，其中 = 2 = 2， ， 分别是 ， 的中点，连接 ．
(1)矩形 ______标准矩形(填“是”或“不是”)．
【深入探究】
将矩形 绕点 顺时针旋转得到矩形 ′ ′ ′，
(2)如图 2，当 ′ ′恰好经过点 时，旋转角∠ ′的度数是______，线段 ′的长是______．
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(3)如图 3，当矩形 ′ ′ ′在平面内绕点 旋转时，连接 ′， ′，直线 ′与线段 ′交于点 ，
猜想 与 ′ 的数量关系，并证明．
【拓展应用】
(4)在矩形 ′ ′ ′旋转过程中，当 ， ′， ′三点共线时，请直接写出线段 的长．
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答案解析
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. ≥ 1
10.2 ( + 3)( 3)
11.15
12.( 6, 2)
13. = 1
14.78°
15.18°
16. 1 ≤ ≤ 1 且 ≠ 0
17.45
18.4
19. 3解：原式= 1 3 × 3 (2 3)
= 1 3 2 + 3
= 1．
5 2 < 3( + 1)①
20.解： 2 2 ，
3 ≥ 1②
5
由①得： < 2，
由②得： ≤ 1，
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∴不等式组的解集为 ≤ 1．
在数轴上表示为： ．
21.解：(1)如图所示：直线 是 的垂直平分线；
(2) ∵直线 是 的垂直平分线，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = 30°，
∵ ∠ = 90°，∠ = 30°，
∴ ∠ = 60°，
∴ ∠ = 30°，
∴ = 12 ，
在 △ 中， = 3， = 2 ， 2 + 2 = 2，
∴ 32 + 2 = (2 )2，
解得 = 3，
∴ = = 2 3．
22.解：(1) ∵ 10 × 3.16 = 31.6，
∴第七棵枸杞的产量为：31.6 (2.5 + 2.7 + 3.5 + 3.0 + 3.4 + 2.7 + 3.6 + 3.5 + 3.2) = 31.6 28.1 = 3.5(千
克)，
如图：
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(2)甲品种的 10 个数据中，数据 3.2 出现了 3 次，出现的次数最多，所以众数 = 3.2；
将乙品种的 10 个数据从小到大排列为：2.5，2.7，2.7，3.0，3.2，3.4，3.5，3.5，3.5，3.6，
∵排在第 5、6 位的数是 3.2，3.4，
∴ = 3.2+3.4中位数 2 = 3.3，
故答案为：3.2，3.3；
(3)该基地应推广种植乙品种的枸杞，
理由：∵甲品种的方差为 0.2944，乙品种的方差为 0.1484，0.2944 > 0.1484，
∴乙品种的产量更稳定枸杞，
∴该基地应推广种植乙品种的．
23.解：(1)共有梅、兰、竹、菊为主题的四幅国画，任意选择一幅进行临摹，则小明选择的是“竹”的结果
有 1 种，
∴ 1小明选择的是“竹”的概率为4；
(2)将梅、兰、竹、菊这四幅国画分别记为 ， ， ， ，
画树状图如下：
∴共有 12 种等可能的结果，其中小明和小亮恰好有一人选择“竹”的结果有 6 种，
∴ 6 1小明和小亮恰好有一人选择“竹”的概率为12 = 2．
24.解：(1) ∵ // ，
∴ ∠ = ∠ = 35°，
∵该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，
∴ = 12 = 6 ， ⊥ ，
∴ = tan∠ = 6 × 35° ≈ 4.2( )，
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答：屋顶到横梁的距离为 4.2 ．
(2)过点 作 ⊥ 于点 ，
设 = = ，
∵ ∠ = 35°，
在 △ 中， = tan∠ = 35 ，
∵ ∠ = 55°，
在 △ 中， = tan∠ = 55 ，
∵ = ，
∴ 35 55 = 8，
∵ 35° ≈ 0.7， 55° ≈ 1.4，
∴解得： ≈ 11.2，
∴ = + = 11.2 + 4.2 = 15.4( )，
答：房屋的高为 15.4 ．
25.(1)证明：连接 ，则∠ = 2∠ ，
∵ ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ // ，
∵ ⊥ ，垂足为 ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∵ 是⊙ 的半径，且 ⊥ ，
∴ 是⊙ 的切线．
(2)解：连接 ，
∵ 为⊙ 18的直径， = 5，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∴ // ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = sin∠ = =

=
3
5，
∴ = 53 =
5 × 183 5 = 6，
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∴ = = 12 = 3，
∴ 3 = 33+ 5，
∴ = 2，
∴ 的长是 2．
26.解：(1)设解析式为 = + ，
将(1,198) + = 198、(80,40)代入，得： 80 + = 40，
= 2
解得： = 200，
∴日销售量 与时间第 天的函数关系式为 = 2 + 200(1 ≤ ≤ 80, 为整数)；
(2)设日销售利润为 ，则 = ( 6) ，
①当 1 ≤ ≤ 40 时， = ( 1 14 + 16 6)( 2 + 200) = 2 ( 30)
2 + 2450．
1
②当 41 ≤ ≤ 80 时， = ( 2 + 46 6)( 2 + 200) = ( 90)
2 100．
∴ ①中当 = 30 时， 最大 = 2450；②中当 = 41 时， 最大 = 2301，
∵ 2450 > 2301，
∴第 30 天的日销售利润最大，最大利润为 2450 元．
27.解：(1) ∵抛物线 = 2 + + 经过 ( 1,0)、 (0, 3)，
∴ 1 + = 0 = 3 ，
= 2
解得 = 3，
故抛物线的函数解析式为： = 2 2 3；
(2)令 2 2 3 = 0，
解得： 1 = 1， 2 = 3，
则点 的坐标为：(3,0)，
∵ = 2 2 3 = ( 1)2 4，
∴点 坐标为：(1, 4)，
设点 的坐标为(0, )，过 点作 ⊥ 轴于点 ，
在 △ 和 △ 中，
2 = 2 + 2 = 2 + 32 = 2 + 9， 2 = 2 + 2 = ( + 4)2 + 12 = 2 + 8 + 16 + 1，
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∵ = ，
∴ 2 + 9 = 2 + 8 + 16 + 1，
解得： = 1，
∴点 的坐标为(0, 1)；
(3) ∵点 (3,0)， (0, 1)， (1, 4)，
∴ = = 3， = = 1，
根据勾股定理， = 2 + 2 = 32 + 12 = 10 = ，
在△ 和△ 中，
=
∵ ∠ = ∠ = 90°，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ ∠ = ∠ ，
又∵ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = 180° 90° = 90°，
∴ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°．
①当 与 是对应边时，
∵△ ∽△ ，
∴ = ，
3 1
即 10 = ，
解得: = 10，3
过点 作 ⊥ 轴于点 ，

则 = = ，
10
即
3 =
3 ，
1 = 10
解得： = 1， = 13，
当点 在点 的左边时， = = 1 1 = 0，
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∴点 1坐标为：( 3 , 0)，
当点 在点 的右边时， = + = 1 + 1 = 2，
∴ 1点 坐标为：( 3 , 2)；
②当 与 是对应边时，
∵△ ∽△ ，
∴ = ，
3 1
即 = 10，
解得： = 3 10，
过点 作 ⊥ 轴于点 ，

则 = = ，
= 即 3 1 =
3 10
，
10
解得： = 9， = 3，
当点 在点 的左边时， = = 9 1 = 8，
∴点 的坐标是( 3,8)，
当点 在点 的右边时， = + = 1 + 9 = 10，
∴点 的坐标是(3, 10)，
1 1
综上所述，满足条件的点 共有 4 个，其坐标分别为( 3 , 0)、( 3 , 2)、( 3,8)、(3, 10)．
28.解：(1) ∵ = 2 = 2，
∴ = 2，
∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴ = = 1，
∴ 2， = 1
∴矩形 是标准矩形，
故答案为：是；
(2)当 ′ ′恰好经过点 时，
∵ △ ′中， = 2, ′ = 1，
∴ cos∠ ′ = ′ 2， = 2
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∴ ∠ ′ = 45°， ′ = ′ = 1，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ ′ = 90° 45° = 45°，
∴ ′ = ′ ′ ′ = 2 1，
故答案为：45°, 2 1；
(3)如图 1，分别过点 ， ′作直线 ′的垂线，垂足分别为 ， ，
由旋转的性质，可知 ′ ′ = ， ′ = ，∠ ′ ′ = ∠ = 90°，
∴ ∠ ′ + ∠ ′ ′ = ∠ ′ + ∠ = 90°，
∵ ′ = ，
∴ ∠ ′ = ∠ ′ ，
∴ ∠ = ∠ ′ ′，
在△ 与△ ′ ′中，
∠ = ∠ ′ ′ = 90°
∠ = ∠ ′ ′ ，
= ′ ′
∴△ ≌△ ′ ′( )，
∴ = ′ ，
∵ ∠ = ∠ ′ = 90°，∠ = ∠ ′ ，
∴△ ≌△ ′ ( )，
∴ = ′ ；
(4)①如图 3，当点 ′在线段 ′上时，∠ ′ = 90°，
∵ = 2， ′ = 1，∠ ′ = 90°，
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∴ sin∠ = ′ 1′ ， = 2
∴ ∠ ′ = 30°，
∴ ∠ ′ = 60°，
连接 ， ′，则 = ′，
∵ ∠ ′ ′ = ∠ ，
∴ ∠ ′ = ∠ ′ = 60°，
∴△ ′是等边三角形，
∴ ′ = = ( 2)2 + 12 = 3，
由(3)可知， = 1′ 2 ′ =
3，
2 ′
∵ ∠ = ∠ ′ ′，∠ + ∠ ′ = ∠ ′ = 60°，
∴ ∠ ′ + ∠ ′ ′ = ∠ ′ = 60°，
∵ = ′，
∴△ ′是等边三角形，
过点 ′作 ′ ⊥ ′于 ，
∵ ∠ ′ ′ = 90°，
∴ ∠ ′ ′ = 30°，
∴ ′ = 3′ ′ × cos∠ ′ ′ = ， ′ = ′ ′ × sin∠ ′ =
1
′ ，
2 2
在 △ ′ 中， = 3 1 2′ 2 ′ 2 = ( )22 ( )
2 = ，2 2
∴ = ′ ′ = + = 2+ 3 2 = 3 2′ ′ ；2 2 2
②如图，当点 ′在线段 ′的延长线上时，连接 ， ′，过点 作 ⊥ 于点 ，
同理可得△ ′是等边三角形，
= + = 2 + 3 = 3+ 2，2 2 2
综上所述，线段 的长为 3 2或 3+ 2．
2 2
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