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2025届高三4月份测试
数学试题
试卷满分150分考试时间120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的)
1.己知集合A={xx2≤6，B={x∈Z-2A.{1,2}
B.{-1,0,1,2}
C.{0,1,2}
D.{1,2,3}
2.己知i为虚数单位，若(1-i)(2+ai)是实数，则实数a=
A.-1
B.-2
C.1
D.2
3.随机变量X~N(4,o2),o>0.若P(u-oA.1-2
2
B.p-1
C.1+p
2
2
D.p+1
2
4.将编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有1个小
球与所在盒子编号相同的概率为
A.I
B.I
6
C.1
D.1
3
12
24
5.已知向量a=(2,1),b=(一1，)，若4在b上的投影向量的模为5，则k的值为
1
A.-2
c
D.2
6.在可观测的宇宙中，平均大约有4000亿个星系，大约有1.2×103颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约
为1035克，这意味着宇宙的总质量约为1.2×10“克，每克物质含有大约1024个质子，如果我们假设所有的
原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数M将达到102，根据有关资料，围棋
状态空间复杂度的上限N约为361，则下列数据中与M最接近的是
(参考数据：1g3-0.48)
A.100
B.1081
C.10别
D.10
7.古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点F发出的光线经过椭圆上
的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F,且在P点处的切线垂直于法线（即∠FP℉，的角
平分线已知椭圆C。+Q>b>0上点P处的法线1交x轴于点Q,且2=3O,入射角一
∠RPQ-号，则C的离心率为
A.5
B.47
C.43
D.3
4
>
13
4
8.己知正方体ABCD-ABCD的棱长为3，P是侧面CDD1C1上的动点（含端点），且满足S△Pp4=2S△Pc,
则P点的轨迹长度为
A.3π
B.2n
C.5n
D.V6n
3
3
3
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知b=25,6-口=
c-a
sinc sinB+sinA'则
AB=骨
B.满足条件a=4的△ABC有两个
C.BA·BC的最大值为6
D.a-c的取值范围为-2W5,2√5）
高三数学试题（第1页共4页）2025 届高三 4 月份测试
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1~8 BDCA BCDB
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9． ACD
10．BCD
11．ABD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12． 1120
5
13．
2
14．递增， 1,1
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15 解:（1）当 n 2 时，由 2Sn (n 1)an得 2Sn 1 nan 1，
两式相减得 (n 1)an nan 1，
a a a
所以 n n 1 ，则数列{ n }是常数数列，--------------3 分
n n 1 n
an a则 1 ，因为 a1 4，所以 an 4n；----------------5 分
n 1
n
an 1 （2）bn 4nn ， 3 3
1 2 3 n 1 n
1 1 1 1 1
Tn 4 8 12 4(n 1) 4n ，----------7 分
3 3 3 3 3
2 3 4 n n 1
1 1 1 1 1 1
所以 Tn 4 8 12 4(n 1) 4n ，
3 3 3 3 3 3
2 3 n n 1
2 1 1 1 1 1
两式相减得 Tn 4 4 4 4 4n ，---------9 分
3 3 3 3 3 3
n
4 1
[1 ] n 1 n n 1
3 3 1 1 1 6 4n
4n
1
2 2 4n 2 ，
3 3 3 3
n 1
1
3
3 6 4n 3 2n
所以Tn (2 ) 3 ---------------------11 分
2 3n 1 3n
3 2n
因为 0 ，所以Tn 3．------------------------------13 分 P E
3n
16 解:（1）因为四边形 PDCE 为矩形，所以 PD⊥DC，
又因为面PDCE 面ABCD 且交线为 CD， PD 面PDCE ,
所以 PD⊥平面 ABCD ，--------------------2 分 F O
因为 PD 平面 PBD，
所以平面 PBD⊥平面 ABCD；--------------------4 分
D
（2）因为△ABD 是等腰直角三角形， C
M
1 2
则其外接圆圆心为 BD 的中点 M，且 MA= BD ,
2 2 A B
第 16 题
过点 M 作面 ABCD 的垂线 l，则 l∥PD，
高三数学（第 1 页 共 5 页）
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1 2
设球心为 O，半径为 r，则 MO= PD ,--------6 分
2 2
所以 r= AM 2 MO2
1 1
1,
2 2
4
所以三棱锥 P ABD外接球的体积为 ；----------------8 分
3
DA DC DP
（3）因为 PD AD,PD DC ， AD DC ，故以 D 为原点，{ , , }为单位正交基底建立
| DA | | DC | | DP |
如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则 P 0,0, 2 , A 1,0,0 , B 1,1,0 ,C 0,2,0 ，
所以 PB 1,1, 2 , BC 1,1,0 ， AB 0,1,0 , PB 1,1, 2
z
设平面 PBC 的法向量为m x, y, z ， P E
m PB 0 x y 2z 0
则 ，即 ，
m BC 0 x y 0
y x F
解得 ，令 x 1，则 z 2 ，
z 2x y
D
所以平面 PBC 的一个法向量为m 1,1, 2 ，-------10 分 Q C
设存在点 Q 满足条件，
A B
1 2
由 F ,0, , E 0,2, 2 ，设 FQ FE 0 1 ，
2 2 x 第 16 题
1 2 1 2
则 BQ BF FQ BF FE , 1, ,2,
2 2 2 2
1 2 1
,2 1, ，----------------13 分

2 2
π
因为 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 ，
6
π BQ m 5 1 1
所以 sin cos BQ,m ，
6 BQ m 2 19 2 10 7 2
解得 2 1，又 0≤ ≤1，所以 1，即 Q 点 E 与重合，
2 2
1 2 2 19故在线段 EF 上存在一点 Q，且 FQ FE 2 .---------------15 分
2 2

2
17 解:（1）提出假设
H0: 使用该药物与预防该疾病无关，
根据列联表可得
2
80 10 15 25 302 11.429 10.828，
35 45 40 40
所以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为使用该药物与预防该疾病有关.-------4 分
P AB P B P AB P AB
（2）由于1 P A∣B 1 P A | B .
P B P B P B
P A∣B P A∣B P A P A
所以 R ， R1 2 ，--------------------------7 分
1 P A∣B P A∣B 1 P A P A
高三数学（第 2 页 共 5 页）
{#{QQABTQq45gA40BaACL5rAwEyCgoQkIIhLcoMhQAauAwDwQFIBIA=}#}
P A∣B P AB P AB
P A
R P A∣B P A∣B P A P B P A P B∣A 2 ,
R P A1 P A∣B P A P AB P AB P B∣A
P A P A P B P A
10 2 30 2 R2 3
由列联表中的数据可得 P B∣A ， P B∣A ，所以 .-------------------10 分
35 7 45 3 R1 7
（3）由题可知，抽取的 45 只没发病的动物中使用该药物和没使用该药物的动物分别为 30 人和 15 人，所
30 2
以从没发病的动物中随机抽取 1 只，抽取的是使用了该药物的概率为 ，
30 15 3
2
则由题意可知 X 0,1,2,3，且 X B 3, ，---------------------------12 分
3
3 1 2
0 1 1 2 1 6 2P X 0 C3 ， P X 1 C
1
3 ，
3 27 3 3 27 9
2 1 3
2 2 1 12 4 3 2 8P X 2 C3 ， P X 3 C3 ，-----------------15 分
3 3 27 9 3 27
所以随机变量 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
2
所以随机变量 X 的数学期望为 E X 3 2 .----------------------------------17 分
3
3 b 3
18 解:（1）因为 y x 是 C 的一条渐近线，所以 ，
4 a 4
x2 y2 32 9
又因为双曲线 C： 1经过点 (4 2, 3)，所以 1，
a2 b2 a2 b2
可解得 a2 16,b2 9，
x2 y2
所以双曲线 C 的方程为 1.--------------------4 分
16 9
12
（2）设 B( ,t), A(x0 , y0 )，
5
12x0 144（i）因为OA OB ，所以 t ，则OA2 x2 y2 ，OB2 20 0 t ，
5y0 25
2
所以 S 2
1 144
( t2 )(x2 2
1 144 144x
y ) ( 0 )(x2 y2 ) -------------6 分 0 0 0 0
4 25 4 25 25y20
25y20 2 2
(x2 y2 2
(16 )
36 0 0 ) 36 9 36 16 25 | y0 |
2 2 25 y0 25 y0 25 | y0 | 9
2
36 16 25 | y
2 0
| 36 16 25
4 16
2 ，
25 | y0 | 9

25 9
12
则 S 16（当且仅当 ymin 0 时取等号）.-----------------------------9 分
5
（ii）由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在 x 轴上，当点 A 趋近于顶点时，点 B 趋近于无
穷远处，此时切线的极限位置为 x 4 ，由此猜想定圆为 x2 y2 16，-------------11 分
下面进行证明：
高三数学（第 3 页 共 5 页）
{#{QQABTQq45gA40BaACL5rAwEyCgoQkIIhLcoMhQAauAwDwQFIBIA=}#}
y t 12 12 12
直线 AB： y t 0 (x ) ，即 (y0 t)x (x0 )y tx0 y0 0， 12 5 5 5
x0
5
12 12(x
2 2
0 y0 )
tx0 y0
5 5 | y0 |点 O 到 AB 的距离为 d -----------13 分
2 12 12x 12(y0 t) (x
2
0 ) (y
0
0 )
2 (x )20
5 5y0 5
12(x2 y2 ) 12(x20 0 0 y
2
0 )
5 | y0 | 5 | y0 | 12(x
2 y2 )
0 0 4
x22 2 144 0 144 25y
2 9(y2 x2 )2
y0 x0 ( 1) (y
2
0 x
2
0 )
0 0 0
25 y20 25y
2
0
所以存在定圆 x2 y2 16与直线 AB 相切.----------------------17 分
x x
19 解：（1）因为 f (x) e sin x e cos x ex (sin x cos x) 2ex sin x ，
4
所以切线斜率 k f (0) 1，
又因为 f (0) 0，则切点为(0,0)，所以切线为 y=x；-------------2 分
（2）证明：即证明 (x) sinx x 2ln(x 1) 0 ，
2
所以 x cos x 1 ，且 (0) 0， (0) 0．
x 1
π 2
当 x 0, 时，
x sin x
2 ，
2 x 1
2
y π 因为函数 y sinx、 2 在 0, 上均为减函数， x 1 2
π
则 (x) 在 0, 内单调递减，---------------------------------------4 分
2
π 2
1 02
又因为 (0) 2 0 ， 2 π ，
1
2
π
所以 x0 0, ，使得 x
2 0
0 ，

π
且当0 x x 时， (x) 00 ；当 x0 x 时， (x) 0 .
2
π
此时 (x)在 0, x0 内单调递增，在 x0 , 内单调递减，-------------6 分
2
π 2
1 0 π
又 (0) 0， 2 π ，故对任意的 x 0, ， (x) 0， 1 2
2
π
则 (x)在 0, 内单调递增，所以 (x) (0) 0 .
2
高三数学（第 4 页 共 5 页）
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π
综上，当 x 0, 时， (x) 0得证；---------------------------8 分
2
1 1
（3）证明：因为n N*，所以0 ，由（1）可得sinx ln(x 1) ．
2n 2
π
接下来证明sinx ln(x 1) ，其中 x 0, ，
2
1
设m(x) sinx ln(x 1)，m x cos x ，
x 1
1
设n(x) m (x)，n x sin x 2
x 1
2
y π 因为函数 y sinx、 2 在 0, 上均为减函数， x 1 2
1
则n x sin x
π
2 在区间 0, 内单调递减， x 1 2
π 1
n 1 02
因为n (0) 1 0， 2 π ，
1
2
π
所以， x1 0, ，使得n x1 0，
2
π
当0 x x 时，n (x) 01 ；当 x1 x 时，n (x) 0 .
2
π
所以m (x)在区间 0, x1 内单调递增，在区间 x1, 内单调递减，
2
π 1
又因为m (0) 0，m x1
m 0 0， 2 π ， 1
2
π
x2 x1, ，使得m x2 0，
2
π
当0 x x2 时，m
(x) 0；当 x 2 x 时，m (x) 0 .
2
π
所以m(x)在区间 0, x2 内单调递增，在区间 x2 , 内单调递减．
2
π π
因为m(0) 0，m 1 ln 1 0，
2 2
π x 1
所以sinx ln(x 1) 在区间 0, 内恒成立．--------11 分（或证明 sin ln(x 1) ，然后再赋值）
2 2 2
1 1 1 2n 1
令 x ，所以sin ln 1 ln ，
2n 2n 2n 2n
1 3 1 5 1 7 1 2n 1
所以sin ln ， sin ln ，sin ln ，…，sin ln ，
2 2 4 4 6 6 2n 2n
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1 1 1 3 5 2n 1
所以sin sin sin ln ln ln ．
2 4 2n 2 4 2n
2n 1 2n 2 1 2n 1 2n 2
对 n N*， 0，所以 ln ln ，
2n 2n 1 2n 2n 1 2n 2n 1
1 1 1 3 5 2n 1
所以2 sin sin sin 2 ln ln ln
2 4 2n 2 4 2n
3 4 5 6 2n 1 2n 2
ln ln ln ln ln ln
2 3 4 5 2n 2n 1
ln3 ln 2 ln 4 ln3 ln(2n 2) ln(2n 1) ln(n 1)，
1 1 1 1
所以sin sin sin ln n 1 得证．-------------------------14 分
2 4 2n 2
1
设 p x sin x x 0 x ，则 p (x) cosx 1 0，
2
1
则 p(x)在区间 0, 上单调递减，
2
所以 p(x) sinx x p(0) 0．
1 1 1 1 1 1 1
令 x ，sin ，所以sin ，sin ，
2n 2n 2n 2 2 4 4
1 1 1 1
所以sin ，…，sin ，
6 6 2n 2n
1 1 1 1 1 1 1
所以sin sin sin 1 ．
2 4 2n 2 2 3 n
1 1 1 1 1 1 1 1
综上， ln n 1 sin sin sin 1 n N* ．----------17 分
2 2 4 2n 2 2 3 n
高三数学（第 6 页 共 5 页）
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