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专题 二元一次方程组的解法80道计算题专训（8大题型）
题型一 二元一次方程组的简单计算问题
题型二 二元一次方程组的特殊解法问题
题型三 二元一次方程组的错解复原问题
题型四 同解方程组
题型五 构造二元一次方程组求解
题型六 解含参的二元一次方程组
题型七 解三元一次方程组
题型八 二元一次方程组的新定义问题
【经典例题一 二元一次方程组的简单计算问题】
1．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键．
（1）运用代入消元法解答即可；
（2）根据加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：将①代入②得，．
解得．
将代入①得，．
∴原方程组的解为．
（2）解：得，．
解得．
将代入①得，．
解得．
∴原方程组的解为．
2．用适当的方法解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解法．
（1）利用①+②，得，解得，把代入①，得，解得，即可得到答案；
（2）方程组可化为，利用再利用加减法解方程组即可．
【详解】（1）解：
①+②，得，
解得，
把代入①，得，解得，
所以方程组的解是；
（2）
方程组可化为，
②×2，得③，
①+③，得，
解得，
把代入②，得
解得，
所以原方程组的解是．
3．解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）令得：，再利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为；
（2）解：，
得：，
得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：．
4．解方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可得；
（2）先去分母整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可得．
【详解】（1）解：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
（2）解：将方程组整理为，
由④③得：，
解得，
将代入④得：，
解得，
所以方程组的解为．
5．解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了代入消元法，加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法，加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）利用代入消元法解方程组即可，
（2）先去分母，去括号整理，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
将①代入②得，，
解得，，
将代入①得，，
∴；
（2）解：，
整理得，，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴．
6．用合适的方法解二元一次方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：
将②代入①得：
解得
将代入②可得：
原方程组的解为：；
（2）解：
得：
将代入②可得：
原方程组的解为：．
7．解二元一次方程方程组：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法：加减消元法和代入消元法．
（1）方程组由得，，再求解即可；
（2）方程组由得：解得，，再求解即可．
【详解】（1）解： ，
得，，
把代入①得，，
解得，，
∴方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得，，
把代入①得，，
解得，，
所以，方程组的解为．
8．用加减消元法解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；
（1）根据加减消元法可进行求解；
（2）根据加减消元法可进行求解
【详解】（1）解：将①化简，得．③
，得，解得．
将代入②，得，解得，
所以原方程组的解是；
（2）解：，得．③
，得．④
，得．⑤
，得，解得．
把代入③，得，解得．
故原方程组的解是
9．解二元一次方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
（1）消去，用加减消元法求解即可；
（2）先化简，再用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，得，③
，得，
解得．
把号代入①，得，
∴原方程组的解为：；
（2）解：原方程组化简，得
，得，
解得．
把代入③，得，
∴原方程组的解为：
10．解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的常用方法：代入法和加减法是解题的关键．
（1）用代入法求解即可，
（2）先化简，再用加减法求解即可．
【详解】（1）解：，
将②式代入①式，得③，
解得，
将代入②式，得，
∴原方程组的解为
（2）解：，
将②去分母，得，
化简，得③，
③－①，得，
解得，
③－①，得，
解得，
∴原方程组的解为．
【经典例题二 二元一次方程组的特殊解法问题】
11．利用换元法解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键．
（1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值；
（2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值．
【详解】（1）解：令，，
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得，，
原方程组的解为；
（2）解：令，，
原方程组化为，
解得，
将代入，，
得，
解得，
原方程组的解为．
12．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用．
(1)解方程；
(2)在（1）的基础上，求方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键．
(1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可；
(2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可．
【详解】（1）解：，
得，
，
，
将代入①得，
，
，
所以原方程组的解为；
（2）解：由题知，
将和看作一个整体，
则，
解得，
所以原方程组的解为．
13．学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组．
让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解：将②变形为，③
把①代入③，得，解得．
把代入①，解得．
方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组
【答案】
【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可．
【详解】解：，
由②得：③，
把①代入③得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为；
14．阅读理解题．
解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法：
将方程②变形为：，即：③
把①代入③得，所以，
把代入①得，
因此，原方程组的解是：．
请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键．
将方程②变形为，再整体代入即可求方程组．
【详解】解：
将方程②变形为：，即：③
把①代入③得，
所以，
把代入①得，
因此，原方程组的解是：．
15．阅读理解：
已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则________，_______；
(2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
【答案】(1)，3．
(2)54
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键．
（1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值；
（2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出．
【详解】（1）解：
由①②得：，
由①②得：，
∴，
∴．
故答案为：，3．
（2）∵，，，
则
由④-③可得：
即
∴．
16．在解二元一次方程组中，如果方程组中含有未知数的比例，那么可以进行参数换元法，如解二元一次方程组：，设，那么，将a代入于②中，得，
∵且，
∴原方程组的解为，请用这种方法完成下列各题：
(1)【学以致用】解二元一次方程组：．
(2)【能力提升】解二元一次方程组：．
(3)【拓展训练】，求x和y的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】此题考查了解二元一次方程组，读懂题意是解题的关键．
（1）设，那么，则，，代入于②中，得到，解得，即可得到答案；
（2）设，那么，代入于②中，得，解得，即可得到答案；
（3）由题意可得，，得到则得到由得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：
设，那么，则，，
代入于②中，得，
解得，
∵，，
∴原方程组的解为
（2）
设，那么，
代入于②中，得，
解得，
∵，，
∴原方程组的解为
（3）∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
解得，
∴，
则
17．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知，满足方程组，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
（1）利用整体代换的方法进行求解即可；
（2）结合题目所给的解答方法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
将②变形为：，即，
将①代入③得：，
解得：，
把代入①得，
故原方程组的解是：；
（2）解：原方程组可化为：，
将①代入②得：，
解得：．
18．先阅读，然后解方程组：
解方程组 时， 可由①得③， 然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解题意，掌握题目所给整体代入法的方法和步骤是解题的关键．
由①可得：③，把③代入②求出y的值，再把y的值代入③，求出x的值即可．
【详解】解：
由①可得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
19．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值；
(2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
（1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值；
（2）由题意列出方程组，再由即可求解．
【详解】（1）解：，
由得：；
由得：，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由得：．
20．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组
解：把②代入得①，，
解得，
把代入②得，
所以方程组的解为
（2）已知求的值．
解：，得，
，得．
[类比迁移]
（1）求方程组的解．
（2）已知 ，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想．
（1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可；
（2）利用整体的思想求出即可．
【详解】（1）
把②代入①，
得，
解得．
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2），
得：，
得，．
【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】
21．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答：
(1)求出正确的a，b的值
(2)求出原方程组的正确解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）把代入①，能求出，把代入②，求出即可；
（2）运用加减消元法求出原方程组的解，即可作答．
本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键．
【详解】（1）解：依题意，把代入①，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴原方程组为，
，得，
把代入③，得，
∴，
解得原方程组的正确解为：，
22．甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ．
(1)求正确的a，b的值；
(2)求原方程组的正确解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题：
（1）把代入②，把代入①，可求出a和b的值；
（2）把a和b的值代入原方程组，利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：把代入②，得，
解得，
把代入①，得，
解得；
（2）解：将，代入原方程组，得，
整理得，
得：，
解得：，
将代入，得：，
解得：，
因此原方程组的正确解为．
23．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值；
(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值．
（1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值
（2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为
∴，
解得；
∵乙由于看错了b，得到方程组的解为
∴，
解得；
（2）由（1）得方程组为，
解得，
∵方程组的解与方程组的解相同，
∴，
解得，
∴．
24．甲乙两位同学在解同一个关于，的二元一次方程组时，甲看错了②中的解得，乙看错了①中的解得．请回答：
(1)求，的值；
(2)求该二元一次方程组正确的解．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题主要是考查了二元一次方程组的解，解二元一方程组，
（1）根据题意得出是方程①的解，代入得出，同理解得
（2）由题可知，原方程组可变为，解方程组，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，
甲看错了②中的
是方程①的解
，解得
∵乙看错了①中的
∴是方程②的解
∴
解得
综上：，.
（2）由题可知，原方程组可变为
，得
解得
把代入①解得
原方程组的解为.
25．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)原方程组中的和各是多少？
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识．
（1）分别将两组解代入方程组，求出a与b的值，即可；
（2）将a与b的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可．
【详解】（1）解：∵甲看错了方程组中的，得解为，
∴，解得：，
∵乙看错了方程组中的，得解为，
∴，解得：；
（2）解：由（1）得：原方程组为，
由得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
26．甲、乙两人同时解方程组甲解题时看错了中的，解得乙解题时看错了中的，解得，试求原方程组的解．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，把甲的解代入中求出的值，把乙的解代入中求出的值，把与的值代入方程组求解即可得到答案，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键．
【详解】解：∵甲解题时看错了中的，
∴代入得，
∴，
∵乙解题时看错了中的，
∴，
∴，
则，
∴原方程组为
得：，
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为：．
27．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组错解问题，关键是将解代入没看错的方程即可求出参数的值．
将代入，求得的值，将代入，求得的值，即可求出最后结果．
【详解】解：将代入，得，
解得，
将代入，得，
解得，
∴．
28．甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得的解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程的正确的解．
【答案】
【分析】把代入①中求得a值，把代入②中求得b值，后求值计算即可．本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】根据题意，；
把代入的①中，得，
解得；
把代入②中，得，
解得，
故原方程组为，
得，
解得，
把代入②中，得，
解得
故方程组的解为．
29．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为．
(1)求正确的，，的值；
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，
（1）把代入方程组可求出、的值，再根据乙看错了方程组中的，得解为，可知是方程的解，继而求出的值；
（2）将，，的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可；
掌握解二元一次方程组的方法，理解二元一次方程的解是正确解答的关键．
【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解，
∴，
解得，
∵乙看错了方程组中的，求得的解为，
∴是方程的解，
∴，
解得：，
∴正确的，，的值为：，，；
（2）当，，时，原方程组变为：
，
①＋②，得：，
解得：，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
30．嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为．
(1)求m和n的值；
(2)求方程组的正确的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键．
（1）由于嘉嘉把方程①抄错，求得解满足方程②，淇淇把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值，
（2）将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案．
【详解】（1）嘉嘉把方程①抄错，求得解为，
满足方程②，
即；
又淇淇把方程②抄错，求得的解为，
满足方程①，
即；
因此有，
解得；
（2）所以原方程组可变为，
即，
①②得，
，
解得，
把代入①得，，
解得，
原方程组的正确的解为．
【经典例题四 同解方程组】
31．关于x， y的方程组 与 有相同的解，求a，b的值．
【答案】，
【分析】本题主要考查同解方程组和解二元一次方程组，根据题意可知x、y一定满足方程组，解方程组得到，，则，据此解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵关于x， y的方程组 与 有相同的解，
∴x、y一定满足方程组，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴，
得：，解得，
把代入④得：，解得．
32．已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值．
【答案】，
【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中没有参数的两个方程，组成新的方程，求出未知数的方程，再代入带参数的方程中，求出参数的值即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组与的解相同，
∴，得，解得，
把代入②，得，
∴方程组的解为：，
∴，
∴，．
33．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值．
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的定义和解法，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．解方程组求出、的值，把、的值代入含有、的方程，解方程组即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
将代入，得，
解得：．
34．已知方程组与方程组解相同．
(1)求a，b的值
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】此题考查同解方程组问题，以及代数式求值，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值．
（1）因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可；
（2）根据（1）的结论代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
将代入，
得：，
解得：，
（2）解：
35．已知关于x 、y的方程组和的解相同，求 的值．
【答案】1
【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值，根据两个方程组的解相同可得，解得，再代入，求得，，最后代入求解即可．
【详解】解：由题意得，，
由得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴方程组的解集为，
把代入得，，
由得，，
把代入③得，，
解得，
∴ ．
36．已知方程组和方程组有相同的解，求，的值．
【答案】，
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到x、y的值，再把x、y的值代入方程组求解即可得到答案．
【详解】解：由题意，得方程组为
解得
∴方程组和方程组相同的解为
将代入，
得．
将代入，
得，
∴，．
37．已知方程组和方程组的解相同，求，的值．
【答案】
【分析】本题考查同解二元一次方程组、解二元一次方程组，根据题意，解方程组，然后将解代入得到关于a、b的方程组，进而解方程组即可．
【详解】解：根据题意可得方程组，
解得，
将代入中，
得，即，
解得．
38．已知方程组和方程组的解相同，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了同解方程组，求一个数的平方根，根据题意得出，解方程得出，进而分别代入另外两个方程，解方程组，进而根据平方根的定义，即可求解．
【详解】解：由题意，，
解方程组得：，
将分别代入中，得，
解得：，
∴
∴的平方根为．
39．已知关于x，y的方程组和有相同的解．
(1)求出它们的相同解；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查解二元一次方程组，代数式求值．
（1）将和联立方程组求得的值即可；
（2）将（1）中求得的值代入和中计算出的值，代入中即可．
【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组和有相同的解，
∴，
得：，解得：，
将代入中得：，
∴该方程组的解为，
∴相同解为；
（2）解：由（1）得：，
∴将代入和中得：
，
得：，即：，
将代入①中得：，即：，
∴．
40．关于、方程组和方程组的解相同，求的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
根据方程组与方程组的解相同可组成方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，最后求的值即可求解．
【详解】解：∵方程组与方程组的解相同，
∴，
解得，
将代入得：
，解得，
∴．
【经典例题五 构造二元一次方程组求解】
41．若，求的值．
【答案】
【分析】首先根据绝对值的非负性、平方的非负性和：，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式中求解．
【详解】解：，
，，
，
解得
，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性、解二元一次方程组、立方根．解决本题的关键是根据绝对值和平方的非负性求出、的值．
42．小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中a前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求a，b的值；
(2)计算出正确的结果．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出a与b的值是解题的关键．
（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出a与b的值；
（2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可．
【详解】（1）解：易知甲得到的算式：
，
由对应的系数相等，得，，
易知，乙得到的算式：
，
由对应的系数相等，得，，
，
解得；
（2）解：正确的式子：．
43．在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意构造二元一次方程组，再利用加减法解二元一次方程，解方程即可求出a，b的值．
【详解】解：，
①②，可得：，
解得，
把代入①式得：
，
解得：，
∴原方程组的解是
44．已知，当时，；当时，．求，的值．
【答案】，
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题关键是得到关于，的二元一次方程组．将和的对应值代入，获得关于，的二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：根据题意，可得，
解得，．
45．在的结果中，x的一次项系数为13，且二次项系数为1，求p，q的值．
【答案】，
【分析】本题考查多项式与多项式相乘，先求出的结果，再根据“x的一次项系数为13，且二次项系数为1”列出方程组，从而得解．
【详解】解：
因为x的一次项系数为13，且二次项系数为1．
所以，
解得：，
即，．
46．甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，能求出a、b的值是解此题的关键．根据已知条件，把方程的解代入相应的方程，即可求出a、b的值．
【详解】解：，
将代入②得：③，
将代入①得：④，
联立③④解得：
综上所述：
47．已知关于、的二元一次方程的解为和
(1)求、的值；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程以及二元一次方程组的解；
（1）将方程的解代入得到新的方程组解方程组即可得到答案；
（2）根据（1）得出，将代入即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得 ；
（2）解：由（1）得，
，
将代入可得，
．
48．已知代数式．
(1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示．
(2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键．
（1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案．
（2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
当时，代数式的值是，
即，
，
用含的代数式表示：．
（2）根据题意得：
当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，
，
解得：．
49．在计算时，甲错把看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中的系数，得到结果：．
(1)求出，的值；
(2)在（1）的条件下，计算的结果．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了多项式乘多项式，二元一次方程组，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则．
（1）根据题意列出算式，再根据多项式乘多项式的法则计算，得出关于，的方程组即可求解；
（2）根据多项式乘多项式的法则计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
，
，
，
解得：，
，；
（2）由（1）知，，，
．
50．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
(1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______；
(2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值；
(3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关键．
（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；
（2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案；
（3）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案．
【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，
与方程互为“反对方程”，
．
（2）解：将写成的形式，
∵关于的方程与方程互为“反对方程”，
∴
∴
（3）解：的“反对方程”为，
由得，，
当，得，
与的解均为整数，
与都为整数，
也为整数，
当时，，，都为整数，
当时，，，都为整数，
的值为．
【经典例题六 解含参的二元一次方程组】
51．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可.
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，，
∴
解，
得，，
解得：，
将代入②，得，
将代入，得，
解得.
52．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，利用加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，解方程即可得出答案．
【详解】解：，
由得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
53．已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值．
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，根据题意得到，得到，代入即可求出答案．
【详解】解： 由题意得：，
解得，
将，代入，
得：，
∴，
54．已知关于，的方程组
(1)若方程组的解满足，求的值；
(2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
(3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
（1）将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值；
（2）当含项为零时，取，代入可得固定的解．
（3）根据方程组可以求得，的关系式，根据为整数，可以求解的值；
【详解】（1）由题意得：，解得，
把代入，解得；
（2），
∴当，时，，
即固定的解为：，
（3），
得：，
，
，
为整数，
∴，，，
且为自然数，
∴或或，
或或．
55．已知关于、的方程组（1）的解、比（2）相应的解、正好都小，而（3）的解满足，
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)，的平方根为或
【分析】本题考查解二元一次方程组，平方根的定义，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键；
（1）由题意得：，求解，的值，进而求解，的值；
（2）利用加减消元法得到关于，的关系式，进而求解；
【详解】（1）由题意得：，
解得：，
方程组的解是，
方程组的解为：,
,
解得：
（2）
得：，
，
，
，
解得：，
，
的平方根是
56．已知关于x，y的方程组的解满足方程，求m的值．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，先把方程组中下面方程减上面方程，根据，求解即可，能得出关于m的一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：
，得，
因为，
所以，
所以．
57．已知满足的方程，且，求的值．
【答案】
【分析】根据加减消元法可得，再根据已知条件可得即可．本题考查了二元一次方程的解法，熟练运用二元一次方程的解法是解题的关键．
【详解】解：，
得：，
∵，
∴，
∴，
解得：．
58．阅读理解．
【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．
例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式．
【知识应用】
(1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______；
(2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值；
(3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】本题主要考查了矩阵的定义，二元一次方程组的解，以及代数式求值等知识，理解矩阵的定义是解题的关键．
（1）根据矩阵的定义即可得出答案．
（2）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值．
（3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，然后得出，，然后代入式子求值即可．
【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：，
故答案为：．
（2）∵矩阵所对应的二元一次方程组为，
把代入方程组可得出：．
解得：．
（3）∵矩阵对应的二元一次方程组为，
把代入方程组可得出：，
则，
∴．
59．关于，的方程组，其中常数．
(1)直接写出的值（结果用含的代数式表示）；
(2)无论取何值，试说明的值总是不变的．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
（1）将两个方程相加并整理即可；
（2）结合（1）中所求解得，，然后相加计算即可．
【详解】（1）解：①②得：，
两边同除以3得：；
（2）解：由（1）知③，
①③得：，
则，
把代入③得：，
，
即无论取何值，的值总是不变．
60．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求这个二元一次方程的正整数解．
解：，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为或．
问题：已知关于x，y的方程组
(1)请你直接写出方程的一组正整数解： ；
(2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有 ．
A．3个 B．4个 C．5个
(3)若方程组的解满足，求a的值．
【答案】(1)或（任意一组）
(2)B
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的解以及解二元一次方程组
（1）由，可得出，再结合，均为正整数，即可得出方程的各组正整数解；
（2）由为自然数，可得出可以为1，2，3，6，解之可得出的值，进而可得出满足条件的正整数的值有4个（由，亦可得出满足条件的正整数的值有4个）；
（3）由方程组的解满足，可得出方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出的值．
【详解】（1）解：，
．
又，均为正整数，
或．
故答案为：或；
（2）解：为自然数，
可以为1，2，3，6，
可以为4，5，6，9，
满足条件的正整数的值有4个．
故答案为：B；
（3）解：根据题意得：，
①②得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
方程组的解为．
将代入得：，
解得：．
答：的值为．
【经典例题七 解三元一次方程组】
61．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键．
（1）把三元一次方程组化为二元一次方程组再运用加减消元法求解即可；
（2）先将和消去，解出，再解出和即可求解．
【详解】（1）解：，
把代入得，
联立方程组得，
由得，
解得，
把分别代入得，，
原方程组的解为；
（2）解：，
由，得：
由，得：，
把代入，得：，
把代入，得：，
原方程组的解集是：．
62．解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查三元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法求解三元一次方程组是解题的关键．
利用加减消元法求解即可．
【详解】解：
得
，
解得：
得
将代入④得
解得：，
将，代入①得
，
解得：，
原方程组的解为．
63．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键．
（1）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案；
（2）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
把代入得：，
把，代入得，
方程组的解为：；
（2）解：
由，得：．
由，得：，
解得：，
把代入，得：，
把代入，得：，
原方程组的解集是．
64．已知，且，求的值．
【答案】
【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型．
【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组
，得
所以原式
．
65．解方程组：
【答案】
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案．
【详解】解：，
由①＋②，得：．
由③＋④，得：，
解得：，
把代入①，得：，
把代入②，得：，
∴原方程组的解集是.
66．解方程组：
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，首先，则得到的方程与有两个相同的项，然后与相减，即可求得的值，然后把的值代入求得的值，解三元一次方程组的关键是消元，解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数．
【详解】解：由，得：
由，得：，
把代入，得：，
把代入，得：，
∴原方程组的解集是：．
67．解方程组：．
【答案】方程组的解为
【分析】本题考查三元一次方程组的解法，方程组利用加减消元法求出解即可，熟练掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题的关键．
【详解】解：，
得：，
得：，
把代入得：，
把，代入得，
∴方程组的解为：．
68．解方程组：
【答案】
【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【详解】解：①②得，
①③得，
联立④⑤得方程组，
解得，
把代入①得，
所以方程组的解为．
69．解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟记方程组的解法是解题关键．先将方程组的第一个方程与第二个方程相加、第二个方程与第三个方程相加可得一个含有x、z的二元一次方程组，再利用加减消元法可求出x、z的值，然后代入第三方程可求出y的值，从而可得方程组的解．
【详解】解：
①②得：，
②③得：，
联立④⑤得，
④⑤得： ，解得：，
将代入④得：，解得：，
将，代入③得：，解得：，
方程组的解为： ．
70．阅读材料：
已知方程组，求的值．
解法一：由原方程组，得
，得．③
把③代入①，得
．
所以．
解法二：
将原方程组整理得
，得③
把③代入①，得．
请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了解三元一次方程组的知识，根据题意采用两种不同的方法求解即可，解题的关键是利用整体法解方程组．
【详解】解：解法一：
，
由得：，
把代入得：，
∴；
解法二：
由题意，将原方程整理得：
，
得：，
得：，
解得：．
【经典例题八 二元一次方程组的新定义问题】
71．对于实数a，b，定义新运算：，，若关于x，y的方程组的解满足方程，求m的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，新定义，先根据新定义得到方程组，进而利用加减消元法求出，，再根据建立关于m的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得关于x，y的方程组，即为方程组，
∴
得，解得，
得，解得，
∵关于x，y的方程组的解满足方程，
∴
解得．
72．若整式只含有字母，且的次数不超过次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的相关点，我们规定次数超过次的整式没有相关点．
例如，若整式，则，，，，故的相关点为．
(1)若，则的相关点坐标为______；
(2)若整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，若整式的相关点为，求整式的表达式．
【答案】(1)；
(2)整式的表达式为．
【分析】（）根据相关点的定义即可求解；
（）设 ，则整式，又整式的相关点为，然后代入解方程组即可；
本题考查了多项式乘以多项式，多项式的有关概念，解方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
则，，，，
∴，，
∴的相关点坐标为，
故答案为：；
（2）解：设 ，
由，
∵整式是与的乘积，
∴
，
∵整式的相关点为，
∴，
解得：，
∴整式的表达式为．
73．对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，．
(1)求、的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组：
（1）根据新定义，列出方程组进行求解即可；
（2）根据新定义的法则，结合，列式计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
得，，
整理得，，
解得，，
把代入①得，，
解得，，
∴；
（2）根据题意得，
，
解得．
74．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)0
(2)．
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，计算即可求出所求．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：；
（2）解：∵，
∴①，
∵，
∴②，
得
∴．
75．对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．
例如：，已知，．
(1)求，的值．
(2)在（）的条件下，若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
【答案】(1)的值为，的值为；
(2)．
【分析】（）根据新定义，列出二元一次方程组，求出方程组的解即得到，的值；
（）将代入原方程组得，然后根据二元一次方程组组的解法即可求解；
本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】（1）根据题意得：，
解得：，
∴的值为，的值为；
（2）将代入原方程组得：，
得：，
又∵，
∴，
解得：，
∴的值为．
76．现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，．
(1)当，且时，_______；
(2)若，求和的值；
(3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【分析】（）当，且时，分别求出和即可，
（）根据条件列出方程组即可求出的值；
（）由任意数对经过运算又得到数对，得，根据 得到代入方程组即可得到答案；
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．
【详解】（1）当，且时，
，
，
∴，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
解得：，
∴，；
（3）∵任意数对经过运算又得到数对，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
又均不为，
∴．
77．定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”．
(1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”；
(2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值．
【答案】(1)．
(2)，．
【分析】（1）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解，理解概念即可解题．
（2）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“共轭二元一次方程”，再将，代入这两个二元一次方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，二元一次方程的“共轭二元一次方程”是，
（2）解：二元一次方程的“共轭二元一次方程”是，
∵二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，
，
解得，
，．
78．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组．
(1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）；
①；②；③；④．
(2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值；
(3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值．
【答案】(1)②③
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解；
（2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解；
（3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解．
【详解】（1）解：①，解得：，此时；
②，解得：，此时；
③，解得：，此时；
④，解得：，此时；
故答案为：②③；
（2）解：，
由得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∵关于x，y的方程组是“美好”方程组，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组，
∴，
联立得：，
解得：或，
把代入得：
，
∴，
∵m为任意有理数，
∴，解得：，
∴；
把代入得：
，
∴，
∵m为任意有理数，
∴，解得：，
∴；
综上所述，得值为或．
79．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如与，，则M与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3．
(1)下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是________（填序号）；
①与；②与；③与．
(2)多项式与（m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”；
(3)关于x的多项式与的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)②③
(2)
(3)能，，
【分析】本题主要考查了整式四则混合运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键．
（1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
（2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解；
（3）先求得，，再将根据“组合数”为0，列方程解方程即可；
【详解】（1），不是常数，
①组多项式不是互为“组合多项式”；
，是常数，
②组多项式是互为“组合多项式”；
，2是常数，
③组多项式是互为“组合多项式”，
故答案为：②③
（2）
，
，
与（m，n为常数）互为“组合多项式”，
，，为常数，
解得：，，
，
它们的“组合数”为3；
（3）能为0，理由如下：
，，
，
若C和D的“组合数”能为0，
解得：．
80．定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为．
(1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；
(2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
(3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键．
（1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可；
（2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可；
（3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解．
【详解】（1）解：与它的“变更方程”为，
∴联立方程组为，
解得，，
故答案为：；
（2）解：根据题意，的”变更方程”为，
∴联立方程组得，，
解得，，
∵，则，
∴，即，
∵是二元一次方程的一个解，
∴，则，
∴
；
（3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，则，
∵是整数，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题 二元一次方程组的解法80道计算题专训（8大题型）
题型一 二元一次方程组的简单计算问题
题型二 二元一次方程组的特殊解法问题
题型三 二元一次方程组的错解复原问题
题型四 同解方程组
题型五 构造二元一次方程组求解
题型六 解含参的二元一次方程组
题型七 解三元一次方程组
题型八 二元一次方程组的新定义问题
【经典例题一 二元一次方程组的简单计算问题】
1．解方程组：
(1)
(2)
2．用适当的方法解下列方程组：
(1)；
(2)．
3．解方程组
(1)
(2)
4．解方程组
(1)
(2)
5．解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
6．用合适的方法解二元一次方程组
(1)
(2)
7．解二元一次方程方程组：
(1)；
(2)
8．用加减消元法解方程组：
(1)
(2)
9．解二元一次方程组：
(1)
(2)
10．解方程组：
(1)；
(2)．
【经典例题二 二元一次方程组的特殊解法问题】
11．利用换元法解下列方程组：
(1)
(2)
12．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用．
(1)解方程；
(2)在（1）的基础上，求方程组的解．
13．学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组．
让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解：将②变形为，③
把①代入③，得，解得．
把代入①，解得．
方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组
14．阅读理解题．
解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法：
将方程②变形为：，即：③
把①代入③得，所以，
把代入①得，
因此，原方程组的解是：．
请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：．
15．阅读理解：
已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组，则________，_______；
(2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
16．在解二元一次方程组中，如果方程组中含有未知数的比例，那么可以进行参数换元法，如解二元一次方程组：，设，那么，将a代入于②中，得，
∵且，
∴原方程组的解为，请用这种方法完成下列各题：
(1)【学以致用】解二元一次方程组：．
(2)【能力提升】解二元一次方程组：．
(3)【拓展训练】，求x和y的值．
17．阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知，满足方程组，求的值．
18．先阅读，然后解方程组：
解方程组 时， 可由①得③， 然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组
19．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题方法就是通常所说的“整体代入法”求值．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，请用“整体代入法”求和的值；
(2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
20．[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组
解：把②代入得①，，
解得，
把代入②得，
所以方程组的解为
（2）已知求的值．
解：，得，
，得．
[类比迁移]
（1）求方程组的解．
（2）已知 ，求的值．
【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】
21．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答：
(1)求出正确的a，b的值
(2)求出原方程组的正确解．
22．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ．
(1)求正确的a，b的值；
(2)求原方程组的正确解．
23．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．
(1)求a，b的值；
(2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值．
24．甲乙两位同学在解同一个关于，的二元一次方程组时，甲看错了②中的解得，乙看错了①中的解得．请回答：
(1)求，的值；
(2)求该二元一次方程组正确的解．
25．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)原方程组中的和各是多少？
(2)求原方程组的解．
26．甲、乙两人同时解方程组甲解题时看错了中的，解得乙解题时看错了中的，解得，试求原方程组的解．
27．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算的值．
28．甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得的解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程的正确的解．
29．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为．
(1)求正确的，，的值；
(2)求原方程组的解．
30．嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为．
(1)求m和n的值；
(2)求方程组的正确的解．
【经典例题四 同解方程组】
31．关于x， y的方程组 与 有相同的解，求a，b的值．
32．已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值．
33．已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值．
34．已知方程组与方程组解相同．
(1)求a，b的值
(2)求的值．
35．已知关于x 、y的方程组和的解相同，求 的值．
36．已知方程组和方程组有相同的解，求，的值．
37．已知方程组和方程组的解相同，求，的值．
38．已知方程组和方程组的解相同，求的平方根．
39．已知关于x，y的方程组和有相同的解．
(1)求出它们的相同解；
(2)求的值．
40．关于、方程组和方程组的解相同，求的值．
【经典例题五 构造二元一次方程组求解】
41．若，求的值．
42．小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中a前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求a，b的值；
(2)计算出正确的结果．
43．在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值．
44．已知，当时，；当时，．求，的值．
45．（在的结果中，x的一次项系数为13，且二次项系数为1，求p，q的值．
46．甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值．
47．已知关于、的二元一次方程的解为和
(1)求、的值；
(2)当时，求的值．
48．已知代数式．
(1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示．
(2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值．
49．在计算时，甲错把看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中的系数，得到结果：．
(1)求出，的值；
(2)在（1）的条件下，计算的结果．
50．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
(1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______；
(2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值；
(3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．
【经典例题六 解含参的二元一次方程组】
51．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值．
52．已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值．
53．已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值．
54．已知关于，的方程组
(1)若方程组的解满足，求的值；
(2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？
(3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值．
55．已知关于、的方程组（1）的解、比（2）相应的解、正好都小，而（3）的解满足，
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
56．已知关于x，y的方程组的解满足方程，求m的值．
57．已知满足的方程，且，求的值．
58．阅读理解．
【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．
例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式．
【知识应用】
(1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______；
(2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值；
(3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值．
59．关于，的方程组，其中常数．
(1)直接写出的值（结果用含的代数式表示）；
(2)无论取何值，试说明的值总是不变的．
60．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求这个二元一次方程的正整数解．
解：，得：，根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为或．
问题：已知关于x，y的方程组
(1)请你直接写出方程的一组正整数解： ；
(2)若为自然数，则满足条件的正整数x的值有 ．
A．3个 B．4个 C．5个
(3)若方程组的解满足，求a的值．
【经典例题七 解三元一次方程组】
61．解方程组：
(1)
(2)
62．解方程组：．
63．解方程组：
(1)
(2)
64．已知，且，求的值．
65．解方程组：
66．解方程组：
67．解方程组：．
68．解方程组：
69．解方程组：．
70．阅读材料：
已知方程组，求的值．
解法一：由原方程组，得
，得．③
把③代入①，得
．
所以．
解法二：
将原方程组整理得
，得③
把③代入①，得．
请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值．
【经典例题八 二元一次方程组的新定义问题】
71．对于实数a，b，定义新运算：，，若关于x，y的方程组的解满足方程，求m的值．
72．若整式只含有字母，且的次数不超过次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的相关点，我们规定次数超过次的整式没有相关点．
例如，若整式，则，，，，故的相关点为．
(1)若，则的相关点坐标为______；
(2)若整式是只含有字母的整式，整式是与的乘积，若整式的相关点为，求整式的表达式．
73．对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，．
(1)求、的值；
(2)若，，求的值．
74．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
75．对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．
例如：，已知，．
(1)求，的值．
(2)在（）的条件下，若关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
76．现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，．
(1)当，且时，_______；
(2)若，求和的值；
(3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值．
77．定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”．
(1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”；
(2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值．
78．对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组．
(1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）；
①；②；③；④．
(2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值；
(3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值．
79．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如与，，则M与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3．
(1)下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是________（填序号）；
①与；②与；③与．
(2)多项式与（m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”；
(3)关于x的多项式与的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；若不能，请说明理由．
80．定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为．
(1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；
(2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
(3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值．
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