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2025 年青海省西宁市高考数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ， ∈ ， + 3 = ( ) ，则( )
A. = 1， = 3 B. = 1， = 3
C. = 1， = 3 D. = 1， = 3
2.若集合 = { || | < 3}， = { | = 2 + 1, ∈ }，则 ∩ =( )
A. ( 1,1) B. ( 3,3) C. { 1,1} D. { 3, 1,1,3}
3.已知向量 = (1, 2)， = ( , )，且 ⊥ ，则 =( )
A. 2 B. 12 C.
1
2 D. 2
4.“ = 2”是“函数 ( ) = ( )2在(2, + ∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分心要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知平行六面体 1 1 1 1的体积为 1，若将其截去三棱锥 1 1 1，则剩余部分几何体的体
积为( )
A. 712 B.
2
3 C.
3
4 D.
5
6
6.用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在
所有着色方案中，①③⑤着相同色的有( )
A. 96 种 B. 24 种
C. 48 种 D. 12 种
7.设函数 ( ) = sin( 6 )( > 0)，若 ( )

在(0, 2 )上有且只有 2 个零点，则 的取值范围是( )
A. ( 7 7 7 13 7 133 , 3) B. ( 3 , 3] C. ( 3 , 3 ) D. ( 3 , 3 ]
8.已知曲线 ： 2 + 2 2 1 = 0 (2, 2，过点 2 )作该曲线的 5 条弦，这些弦的长度构成一个递增的等
差数列，则该数列公差的取值范围是( )
A. ( ∞, 2 2 2 24 ] B. (0, 4 ] C. (0, 5 ] D. [ 5 , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上 1.3 处的直径)越大，树就越高.在研究树高 与胸径 之间
的关系时，某同学收集了某种树的 5 组观测数据(如表)：
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胸径 / 8 9 10 11 12
树高 / 8.2 10 11 12 13.8

假设树高 与胸径 满足的经验回归方程为 = 2.2，则( )

A. = 1.32
B.当胸径 = 15 时，树高 的预测值为 14
C.表中的树高观测数据 的 40%分位数为 10
D.当胸径 = 11 时，树高 的残差为 0.32
10.定义：已知函数 ( )在其定义域上的最大值为 ，最小值为 ，若 = 2，则称 ( )是“2 间距函数”，
则下列函数是“2 间距函数”的有( )
A. ( ) = 2 ， ∈ B. ( ) = +1 2 , ∈ [ 5 , 2]
C. ( ) = 2 + 4 ， ∈ [0,4] D. ( ) = 22 2 ， ∈ [0,1]
11.在椭圆中，任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆.如图，
“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线 .半圆 1的方程为 2 + 2 = 16( ≥ 0)，半椭圆 2的方
2 2
程为
16 + 25 = 1( ≤ 0)，下列说法正确的是( )
A.若点 在半圆 1上，点 在半椭圆 2上，且 ⊥ ，则△ 面积的最大值为 10
B.曲线 上的点到原点的距离的最大值与最小值之和为 8
C. (0, 3) (0,3) cos∠ 7若 ， ， 在半椭圆 2上的一个动点，则 的最小值为25
2 2
D.将半椭圆 2扩充为椭圆

′： 16 + 25 = 1( 5 ≤ ≤ 5)后，椭圆 ′的蒙日圆方程为
2 + 2 = 41
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知抛物线 2 = 4 的焦点为 ，点 为抛物线上的一个动点，点 的坐标是(2,4)，则| | + | |的最小
值为______．
13.已知正方形 边长为 2， 为 边上一点，则 的最小值为 ．
14.已知 1， 为正实数， + = ，则 + 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记△ 2内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2 ，
2 + 2 2 = 3 ．
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(1)求 ；
(2)若 = 2 2，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
随着网络 的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分 20～40 岁的
“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如表．
性别 日均刷“抖音”时间超过 2 小时 日均刷“抖音”时间不超过 2 小时
男性 48 72
女性 24 56
(Ⅰ)依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？
(Ⅱ)现从被调查的日均刷“抖音”时间超过 2 小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取 3
3 4
名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为4，5，每个人是否顺
利完成知识问答相互独立，求在有且仅有 2 人顺利完成知识问答的条件下，这 2 人性别不同的概率．
( )2
参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题 15 分)
已知正四棱柱 1 1 1 1底面边长为 3，点 、 分别在直线 、 上， = 13， = 1．
(1)证明： //平面 1 ；
(2)若三棱锥 1
5
的体积为2，求直线 1与平面 1 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 1．
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(1)若 = 0，求函数 ( )在点( , ( ))处的切线方程；
(2)若 ( ) ≤ 0 恒成立，求实数 的取值范围；
(3) 1求证： ∈ ，(1 + 2 )(1 +
1
22 ) (1 +
1
2 ) < ．
19.(本小题 17 分)
设 1， 2两点的坐标分别为( 1,0)，(1,0).直线 1， 2相交于点 ，且它们的斜率之积为 4.记点 的轨迹
为曲线 ．
(Ⅰ)求曲线 的方程；
(Ⅱ)数列{ }，{ }是正项数列，且数列{ }是公差为 4 的等差数列，点 ( , )( ∈ )在曲线 上，求证：
0 < +1 < 2；
(Ⅲ)过点 (1,1)的直线 交曲线 于 ， 两点( , 两点在 轴右侧)，在线段 上取异于 ， 的点 ，且满足
| | | | = | | | |，证明：点 在定直线上．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.3
14.[2, + ∞)
15.解：(1)在△ 中， 2 + 2 2 = 3 ，
2+ 2 2 3
由余弦定理得 = 2 = 2 ，结合 0 < < ，可得 = 6．
所以 = 22 =
1 2
2，解得 = 2 ，结合 0 < < ，可得 = 4；
(2)由(1)得 = sin( + ) = sin 4 cos

6 + cos
sin = 6+ 24 6 4 ，
2
2 2×
由正弦定理 = ，可得 =
2
= 1 = 4．
2
1
所以△ 的面积 = 2 =
1
2 × 4 × 2 2 ×
6+ 2
4 = 2 3 + 2．
16.解：(Ⅰ)列联表如下：
性别 日均刷“抖音”时间超过 2 小时 日均刷“抖音”时间不超过 2 小时 合计
男性 48 72 120
女性 24 56 80
合计 72 128 200
零假设为 0：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，
2 = 200×(48×56 24×72)
2 25
则 120×80×72×128 = 12 ≈ 2.083 < 6.635，
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故依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，我们推断零假设 0成立，
即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关．
(Ⅱ)由分层随机抽样可知，抽取男性用户 2 人，女性用户 1 人．
记“有且仅有 2 人顺利完成知识问答”为事件 ，“2 人性别不同”为事件 ，
则 ( ) = ( 3 2 4 14 ) × (1 5 ) + 2 × (1
3 ) × 3 × 4 = 334 4 5 80，
( ) = 12 × (1
3
4 ) ×
3 × 4 = 34 5 10，
3
( | ) = ( ) = 10 = 8故 ( ) 33 11．
80
17.(1)证明： = 2 2 = 13 9 = 2, = 1，
1
因为 = 1，所以 = = 2，
所以 / / ， 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 / /平面 1 ；
(2)解：以 为坐标原点，以 ， ， 1所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
1 1 5 5
则三棱锥 1 的体积 = 3 △ 1 = 3 × 2 × 1 = 2，解得 1 = 3，
则 (3,3,0), 1(3,3,3), (1,0,0), (0,1,0), 1 = (0,0,3), 1 = (2,3,3), = ( 1,1,0)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
1 = 2 + 3 + 3 = 0则 ，
= + = 0
取 = 3，则 = 3， = 5，则平面 1 的一个法向量为 = (3,3, 5)，
设直线 1与平面 1 所成角为 ，
= |
1| | 15| 5 43则
| | |
= =
1| 3× 9+9+25 43
，
所以直线 1与平面
5 43
1 所成角的正弦值 ．43
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18.
19.解：(Ⅰ)设 ( , )，
易知 1 2 = 4，

即 +1 × 1 = 4，
2
整理得 2 4 = 1，
2
则曲线 的方程为 2 4 = 1( ≠± 1)；
(Ⅱ)证明：易知 ( , )， +1( +1, +1)都在第一象限，
4 2 2 +1 +1 = 4
4 2
，
2 = 4
= ( +1 )( + 两式作差并整理得 +1 ) +1 4( +1+ )
，
因为 +1 = 4，
+1+ 所以 +1 = +1+
> 0，

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设 +1的中点为 ，

可得 +1 = = ，
因为曲线 的渐近线方程为 =± 2 ，
所以 ∈ (0,2)，
则 0 < +1 < 2；
(Ⅲ)证明：易知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 1 = ( 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( , )，
1 = ( 1)
联立 22 ，消去 并整理得(4
2) 2 + (2 2 2 ) ( 2 2 + 5) = 0，
4 = 1
此时 > 0，
2 2 + = 2
2
= 2 +5由韦达定理得 1 2 2 4 ， 1 2 2 4 ，
已知| | = 1 + 2| 1 1| = 1 + 2( 1 1)，
因为| | | | = | | | |，
可得( 1 1)( 2 ) = ( 1)( 2 1)，
整理得 2 1 2 ( 1 + 2) = ( 1 + 2 2) ，
2 2
因为 1 + =
2 2
2 2 4 ， 1 2 =
2 +5
2 4 ，
2 2 2
所以 2 × 2 +5 2 2 2 2 2 4 2 4 = ( 2 4 2) ，
4 5
解得 = 1，
代入直线 的方程中，
可得 4 4 = 0．
故点 在定直线 4 4 = 0 上．
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