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2025 年上海市黄浦区高考数学二模试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为 0.8，那么表明( )
A.两种证券的收益有反向变动的倾向
B.两种证券的收益有同向变动的倾向
C.两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的
D.两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌
2.如图，在平行六面体 1 1 1 1中，设 = 1， = 1，若 、 、 组成空间向量的一个基，则
可以是( )
A. 1
B. 1
C.
D. 1
3.设 1 < 2 < 3 <
+ + +
4，随机变量 取值 1、 2、 3、 4的概率均为 0.25，随机变量 取值 1 2、2 3、3 41 2 2 2 、
4+ 1
2 的概率也均为 0.25，随机变量 2取值 2 1 2、2 2 3、2 3 4、2 4 1的概率也均为 0.25.若记
[ 1]、 [ 2]分别为 1、 2的方差，则( )
A. [ 1] < [ 2]
B. [ 1] = [ 2]
C. [ 1] > [ 2]
D. [ 1]与 [ 2]的大小关系与 1、 2、 3、 4的取值有关
4.给定四面体 .平面 满足：① 、 、 、 四个点均不在平面 上，也不在 的同侧；②若平面 与四面
体 的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一.设 、 、 、 四个点到平面
的距离分别为 ( = 1,2,3,4)，那么 的所有不同值的个数组成的集合为( )
A. {1,2,3,4} B. {1,2,3} C. {1,2} D. {1}
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
5.设 ∈ ，不等式 2 < 0 的解集为______．
6.设 ∈ ，集合 = [1,3]， = [ , 4]，若 ∩ = [2,3]，则 = ______．
7.抛物线 2 = 的焦点到其顶点的距离为______．
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8.在△ 中，若 = 45°， = 30°， = 2 6，则 = ______．

9. 为虚数单位，若复数 满足 = 2 且 = ，则 = ______．
10.函数 ( ) = 3 + sin( 2 + )的最大值是______．
11.已知等比数列{ }为严格增数列，其前 项和为
21
，若 1 10 = 8， 4 1 = 4，则该数列的公比为______．
12.已知 为常数，圆( )2 + ( + 2)2 = 2( > 0)与圆 2 + 2 = 1 有公共点，当 取到最小值时，
的值为______．
13.某商场要悬挂一个棱长为 2 米的正方体物件作为装饰，如图， 、 、 、 为该
正方体的顶点， 1、 1、 1为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面 .若平面
与平面 平行，且点 到 的距离为 2 米，则直绳索 1的长度约为______米. (结
果精确到 0.01 米)
14.若从 2025 的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为______．
15.设{ }为等差数列，其前 项和为 ，若( 8 7)( 9 7) < 0，则满足 +1 < 0 的正整数 = ______．
16.设 、 为常数， ( ) = | + | + | |，若对任意的 ∈ (1,2)，函数 = ( ) 在区间[0,2 ]上
恰有 4 个零点，则 的取值范围是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知 ( ) = 2 ．
(1)若 ( ) (2 ) = 3，求 的值；
(2)是否存在实数 ，使函数 = ( ) + ( )是奇函数？请说明理由．
18.(本小题 14 分)
在四面体 中， = = 2， ⊥ ．
(1)若△ 为正三角形，平面 ⊥平面 ，求四面体 体积；
(2)若 = = 4， = 3，求二面角 的大小．
19.(本小题 14 分)
一盒子中有大小与质地均相同的 20 个小球，其中白球 (3 ≤ ≤ 13)个，其余为黑球．
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(1)当盒中的白球数 = 6 时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用 表示事件“第一次取到白球”，
用 表示事件“第二次取到白球”，求 ( | )和 ( )，并判断事件 与 是否相互独立；
(2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取 10 个球，若其中恰有 3 个白球，则获奖，否
则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量 ？
20.(本小题 18 分)
2 2
椭圆 ： 2 +

2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1( , 0)、 2( , 0)( > 0)，过点 1的直线 与 交于点 ．
(1)若 = 2，点 的坐标为(2, 2)，求点 2到直线 的距离；
(2)当 ≤ 时，求满足 1 ⊥ 2的点 的个数；
(3)设直线 与 的另一个交点为 , 1 = ( ∈ )
1
，点 的横坐标为2，若 的离心率 > 2，求 的取值范围．
21.(本小题 18 分)
设 是 的一个非空子集，函数 = ( )的定义域为 ，若 = ( )在 上不是单调函数，且存在常数 ，使得
( ) ≥ 对任意的 ∈ 成立，则称函数 = ( )具有性质 ，称 为该函数的一个下界．
(1)设 ( ) = + 1 ， = ( ∞,0)，判断函数 = ( )， ∈ 是否具有性质 ；
(2)设 1为常数， ( ) = 3
3 + 1， = ( ,2)，当且仅当 满足什么条件时，函数 = ( )， ∈ 具有
性质 1，且 = 3是该函数的一个下界；
(3)设 0 < ≤ 1， ( ) = ln( + 1) + ( 2)， = (0,1)，若函数 = ( )， ∈ 具有性质 ，求 的取
值范围；当 在上述范围内变化时，若 总是该函数的下界，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.(0,2)
6.2
7.14
8.2 3
9. 1
10.2
11.4
12.1
13.3.15
14.25
15.8
16.[ 1 12 , 2 ]
17解：(1)因为 ( ) = 2 ，
又 ( ) (2 ) = 3，即2 22 = 3，
令 = 2 ( > 0)，
4则 = 3，整理得
2 3 4 = 0，解得 = 4 或 = 1(舍去)，
可得 = 2．
(2)假设存在实数 使函数 = ( ) + ( )是奇函数， = 2 + 2 其定义域为 ，
根据奇函数性质 (0) = 20 + 20 = 0，即 1 + = 0，解得 = 1，此时 = 2 2 ，
( ) = 2 2 = (2 2 ) = ( )，
所以 = 2 2 是奇函数，
故存在实数 = 1，使函数 = ( ) + ( )是奇函数．
18.解：(1)由题设△ 为等腰直角三角形，且 = = 2， ⊥ ，
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所以 = 2 2，又△ 为正三角形，
1故 △ = 2 × (2 2)
2 × 60° = 2 3，
若 为 的中点，连接 ，则 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，故 DE⊥平面 ，
所以 = 2是 的高，
则其体积 = 13 △ =
1 2 6；
3 × 2 × 2 3 = 3
(2)由(1) ⊥ ，且 = 2 2， = 2，
又 = = 4，则 = 14，
且 ⊥ ，又 = 3，
所以二面角 的平面角为∠ ，
2
cos∠ = +
2 2 14+2 9 7
且 ．
2 = 2 14× 2 = 4
所以二面角大小为 arccos 7．4
19.解：(1)根据题意， 表示事件“第一次取到白球”， 表示事件“第二次取到白球”，
( ) = 6

则 20 =
3
10， ( ) =
7
10，

( | ) = 519， ( | ) =
6
19，

则 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 310，
由于 ( ) = ( ) ( | ) = 338，
( ) ( ) = 9100，
则 ( ) ≠ ( ) ( )，则事件 、 不相互独立，
(2)根据题意，从盒子中一次性随机取 10 个球，设其中恰有 3 个白球的概率为 ，(3 ≤ ≤ 13)，
3 7
由于 = 20 10 ，20
3 7 = 20 = (14 )则有 3 7 ( 3)(21 )，(4 ≤ ≤ 13)， 1 1 21
当 4 ≤ ≤ 6 时， > 1，当 7 ≤ ≤ 13 时， < 1，
当 = 6 时， 取得最大值，
又由 3 =
2 1
19， 13 = 646，则 3 > 13，故 13是最小值，
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因此，当该同学放置 6 个白球时，参与者获奖的可能性最大；当该同学放置 13 个白球时，参与者获奖的可
能性最小．
20.解：(1)依题意， 1( 2,0)， 2(2,0)，而 (2, 2)，
2
则直线 的方程为 = 4 ( + 2)，即 2 2 + 2 = 0，
= |2 2 2×0+2|所以点 2到直线 的距离 =
4
．
12+( 2 2)2 3
(2)由 ⊥ ，得点 在以线段 为直径的圆 2 + 2 = 2上， 2 = 2 21 2 1 2 ，
2 + 2 = 2
联立 22 2 2 2 2 2，消去 得(
2) 2 = 2( 2 2)，即 2 2 = 2( 2 2)，
+ =
当 = 时， = 0， =± ，因此点 (0, ± )，共 2 个；
2 2 2 4
当 < 时， 2 2 = 2( 2 2) ( ) ，解得 2 = 2 2 ， = 2，
2
( ±
2 2
因此点 , ± )，共 4 个，
综上所述，当 = 时，点 的个数为 2；当 < 时，点 的个数为 4．
(3)设 ( 2 , ), ( , )，由
1 = ，且 1在线段 上，得 1 < < 0，
= 2
则( + , ) = (

2 , )，解得
2 +1


，
= +1
而 = ，由点 ， 在椭圆 上，
2 +
2 2 2
4 2 2 = 1 4 + 2 = 1所以
2( 2)2 2 2
，即 ，
2( 2)2 2 ( +1)2
4 2( +1)2 + ( +1)2 2 = 1 4 2 + 2 = 2
整理得 2( + 1) = 2 + 1 2 = 2 +1，即 +1，
1 1 2 +1
由 > 2，得4 < +1 < 1，解得
1
3 < < 0，
1
所以 的取值范围是( 3 , 0)．
21.解：(1)函数 = ( )， ∈ 具有性质 ，理由如下：
2
函数 ( ) = + 1 1 1 ， ∈ ( ∞,0)，求导得 ′( ) = 1 2 = 2 ，
令 ′( ) = 0，得 = 1，
所以在( ∞, 1)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
在( 1,0)上， ′( ) < 0， ( )单调递减，
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所以函数 ( )在( ∞,0)上不是单调函数，
又因为 ∈ ( ∞,0)时， + 1 1 = [( ) + ( )] ≤ 2，(当且仅当 =
1
，即 = 1 时取等号)，
所以存在常数 = 2，使得 ( ) ≥ 对任意的 ∈ ( ∞,0)成立了，
所以函数 = ( )， ∈ 具有性质 ．
(2)函数 ( ) = 1 33 + 1 求导得 ′( ) =
2 1 = ( + 1)( 1)，
令 ′( ) = 0，得 =± 1，
所以在( ∞, 1)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
在( 1,1)上， ′( ) < 0， ( )单调递减，
在(1, + ∞)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
因为函数 = ( ) 1， ∈ ( , 2)具有性质 ，且 = 3是该函数的一个下界，
1
所以 ( ) ≥ 3，
( 1) = 13 × ( 1)
3 ( 1) + 1 = 53， (1) =
1 3
3 × 1 1+ 1 =
1
3，
当 ∈ ( ∞, 1]时， ( )在( , 2)上不是单调函数，且 ( ) 1 = 3，满足条件，
所以 ∈ ( ∞, 1]．
(3)对 ( ) = ( + 1) + ( 2) = ln( + 1) + 2 2 求导得，
( ) = 1 2
2
+ 2 2 = (2 1)′ +1 +1 ， ∈ (0,1)，
因为 0 < ≤ 1， ∈ (0,1)，
所以 2 2 (2 1) > 0，
所以 ′( ) > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递增，不满足在 上不是单调函数这个条件，考虑边界情况，
当 = 1 时， ( ) = ln( + 1) + 2 2 ，
2
′( ) = 1 2 1 +1 + 2 2 = +1 ，在(0,1)上不单调，
所以 ( )在(0,1)上的值域为( (0), (1))，
(0) = 0， (1) = 2 1，
因为函数 ( )在(0,1)上不是单调函数且具有性质 ，
所以 ∈ (0,1]，
当 ∈ (0,1]时， ( )在(0,1)上的值域为( 2 3 , 2 )，
第 7页，共 8页
所以 ≤ 2 34，
即 3的取值范围为( ∞, 2 4 ].
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