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第二章二元一次方程组
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．小李家去年节余5000元，今年可节余9500元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为元，支出为元，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（ ）
A． B． C． D．或
3．已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．1 B．5 C．－5 D．－1
4．在方程中，二元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知方程组，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．若与互为相反数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．27
8．欣欣幼儿园购买了90张等边三角形彩纸与50张正方形彩纸（如图1），准备制作如图2所示的甲、乙两种图案，如果购买的彩纸刚好全部用完，则可以制作甲、乙两种图案共（　　）
A．10个 B．20个 C．30个 D．40个
9．要把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元的人民币，则换法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．若两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（ ）
A．266 B．288 C． D．
11．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头．正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大小和尚各有几人？那么大和尚比小和尚少多少人？（ ）
A．25 B．35 C．50 D．75
12．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若某个二元一次方程的解为，则这个方程是 ．
14．若关于x、y的二元一次方程组的解是一对相反数，则实数 ．
15．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一个果冻的质量为 克．
16．关于x，y的方程组的解的和为2，则a的值为 ．
17．已知二元一次方程组的解是；那么方程组的解是 ．
三、解答题
18．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？
19．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法如下：
解：将方程②变形：，即③；
把方程①代入③，得：，所以；
把代入①得，，所以方程组的解为．
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组
20．小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”
那么，你能回答以下问题吗？
(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？
(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？
(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
21．先阅读材料：
解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组．
22．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组：．
分析：由于方程组中含有式子和，所以可设．
原方程组可化为．
解得 ，即 ．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
(1)若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是 ；（直接写答案）
(2)已知方程组，求x，y的值．
23．解方程组．
24．某商场购进一种商品，然后在进价的基础上加价出售，平均每天卖出15件，30天一共获利22500元.为了尽快回收资金，商场决定每件打八折销售，结果平均每天比打折前多卖出10件，这样30天仍获利22500元，求这种商品每件的进价和打折前每件的售价．
《第二章二元一次方程组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C C B B C C B
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】根据题意可得等量关系：①去年的收入为元去年的支出元结余5000元；②今年的收入今年的支出今年可节余9500元，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设去年的收入为元，支出为元，根据题意可得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．
2．B
【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可．
【详解】解：
方程①+②，②+③可直接消去未知数y，
即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，
∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，
故选：B．
3．B
【分析】将方程的解代入方程求出a即可．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴
解得a=5．
故选：B．
【点睛】本题考查利用二元一次方程的解求参数问题，解题关键是理解方程的解是使方程成立的未知数的值．
4．C
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解含有两个未知数且未知数的次数是1次的整式方程是二元一次方程是解答关键．
根据二元一次方程的定义来进行判定求解．
【详解】解：中未知数在分母，它不是整式方程，不是二元一次方程，含有三个未知数，它不是二元一次方程，
中的次数是2，它不是二元一次方程，
二元一次方程的有：，，共3个．
故选：C．
5．C
【分析】把三个方程相加即可得到的值．
【详解】解：，
①＋②＋③，得：
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键．
6．B
【分析】五只雀、六只燕，共重斤（等于两），设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，互换其中一只，恰好一样重，由此可确定等量关系列方程．
【详解】解：设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，五只雀、六只燕，共重斤（等于两），
∴，
互换其中一只，恰好一样重，
∴，即，
联立方程组得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题意，找出数量关系，根据等量关系列方程是解题的关键．
7．B
【分析】首先根据与互为相反数，可得：，所以，据此求出、的值各是多少；然后应用代入法，求出的值为多少即可．
【详解】解：与互为相反数，
，
，
①②，可得：，
解得③，
把③代入①，解得，
原方程组的解是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，解题的关键是要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
8．C
【分析】设制作甲种图案x个，乙种图案y个，根据购买的彩纸刚好全部用完，列出方程组，解之即可．
【详解】解：设制作甲种图案x个，乙种图案y个，
由题意可得：，
解得：，
∴可以制作甲、乙两种图案共个，
故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是准确找到等量关系．
9．C
【分析】对换法进行列举，即可进行解题．
【详解】解：换法有：2张5元；1张5元，5张1元；10张1元．
共三种换法，
故选：C．
【点睛】本题主要是对换法进行列举，注意做到不重不漏．
10．B
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设这两个数为x和y，由题意得等量关系：两数之和是36，两数之差是12，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设这两个数为x和y，
依题意得：，
解得，
∴，
故选：B．
11．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设小和尚有x人，大和尚有y人，
由题意得：，
解得：，
即大和尚有25人，小和尚有75人，
（人），
即大和尚比小和尚少多50人，
故选：C．
12．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意，列出方程组即可求解．
【详解】解：设竿长尺，绳索长尺，
由题意可得，，
故选：C．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．根据x与y的值列出方程即可．
【详解】解：若一个二元一次方程的解为，
则这个方程可以是，
故答案为：(答案不唯一)．
14．-2
【分析】由x、y互为相反数可得到x＝ y，从而可求得x、y的值，于是可得到a的值．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是一对相反数，
∴x＝ y．
∴ 2y＋3y＝－2，
解得：y＝－2，则x＝2，
∴a＝x＋2y＝2＋2×（－2）＝－2．
故答案为：－2．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求得x、y的值是解题的关键．
15．
【分析】根据题意可知本题存在两个等量关系式，即三块巧克力的质量等于两个果冻的质量，一个巧克力和一个果冻的质量之和等于克．根据这两个等量关系式列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设巧克力的质量为x克，果冻的质量为y克，则
，
解得，
答：一个果冻的质量为克．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据图中信息正确的列出方程组是解题的关键．
16．2
【分析】先由方程组，利用加减法由①＋②×2，解得4x－7y＝－3，然后与x＋y＝2，组成新方程组求解得出，，然后代入代入②，即可求出a值．
【详解】解：，
由①＋②×2，得4x－7y＝－3，
由题意知x＋y＝2，
联立，得
解得，
将代入②，得3－5＋a＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
17．
【分析】观察发现和形式完全相同，故整体考虑，可得，然后解方程即可．
【详解】解：∵和形式完全相同，
∴，解的，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了整体思想在解二元一次方程组中的应用，善于观察所给两个方程组的特点，整体考虑，是解题的关键．
18．母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁
【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．
【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则
解得
答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．
19．
【分析】将方程变形为，再整体代入其他一个方程得到，进而得出x的值，再进一步得到y的值．
【详解】将方程①变形为：③，
将方程③整体代入②中，得，解得：，
将代入③，得，解得：，
∴方程组的解是．
【点睛】本题考查用整体代换法解二元一次方程组，理解示例并正确运用时关键．
20．(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5
(2)第一次他们拼成的两位数为45
(3)第二次拼成的两位数是54
【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．
第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为．
根据题意得：
，
由②，得：③，
得：．
把代入①得：，
∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．
（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，
所以第一次他们拼成的两位数为45．
（3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是，
所以第二次拼成的两位数是54．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．
21．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先由第一个方程得到，再把③代入②求出x的值，进而求出y的值即可．
【详解】解：
由①得：，
把③代入②得：，解得，
把代入③得：，解得，
∴方程组的解为．
22．(1)；
(2)x=4，y=3．
【分析】（1）根据题意，利用换元法解决此题．
（2）根据题意，利用换元法解决此题．
【详解】（1）解：由题意知，a+b=1，a-b=2．
得．
故答案为：
（2）设．
原方程组可化为．
解得．
即．
解得，x=4，y=3．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，理解阅读材料，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
23．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
所以方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解方程组的方法有代入消元法与加减消元法，会根据方程组的特点选择适当的方法解方程组．
24．这种商品每件的进价是50元，打折前每件的售价是100元
【分析】等量关系：①规定以每件元出售，平均每天卖出15件，30天共可获利22500元，即；②将每件服装降价出售，结果平均每天比减价前多卖出10件，这样30天仍可获利22500元，即．
【详解】解：设这种商品的进价为元，打折前的售价为元，则
得:，
解得．
答：这种商品的进价是50元，打折前的售价是100元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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