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第四章因式分解
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对于任意的有理数,我们规定 ,如 ．求的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知a＝2 002x＋2 003，b＝2 002x＋2 004，c＝2 002x＋2 005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．多项式各项的公因式是
A． B． C． D．
4．不能用十字相乘法分解的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．把10a2(x+y)2-5a(x+y)3因式分解时，应提取的公因式是( )
A．5a B．(x+y)2 C．5(x+y)2 D．5a(x+y)2
6．多项式8x2n﹣4xn的公因式是（　　）
A．4xn B．2xn﹣1 C．4xn﹣1 D．2xn﹣1
7．因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
8．如果多项式的一个因式是，那么另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式是完全平方公式的是（ ）
A．16x -4xy+y B．m +mn+n
C．9a -24ab+16b D．c +2cd+c
10．下列四个多项式：①﹣a2+b2；②﹣x2﹣y2；③1﹣（a﹣1）2；④m2﹣2mn+n2，其中能用平方差公式分解因式的有（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
11．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
12．已知为任意实数，则多项式的值为（ ）
A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．正数或负数或零
二、填空题
13．把多项式-16x3+40x2y提出一个公因式-8x2后，另一个因式是 ．
14．分解因式 ．
15．分解因式：3x+15= ．
16．若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是 ．
17．分解因式：x2-2x+1= ．
三、解答题
18．把下列各式分解因式：
（1）（a+b）-（a+b）2；
（2）x（x-y）+y（y-x）；
（3）6（m+n）2-2（m+n）；
（4）m（m-n）2-n（n-m）2；
（5）6p（p+q）-4q（q+p）．
19．
20．运用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．因式分解：
（1）x2-4
（2）a3b-2a2b+ab
22．把下列各式因式分解：
(1)
(2)
23．
24．计算：
(1)；
(2)．
《第四章因式分解》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D B D A C A C B
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】根据新规定得出再根据提公因式法分解因式即可得出答案．
【详解】解：
故选A
【点睛】本题考查了新定义运算，涉及到提公因式法分解因式，灵活运用因式分解的方法是解题的关键．
2．D
【分析】先求出（a-b）、（b-c）、（a-c）的值，再把所给式子整理为含（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，代入求值即可．
【详解】解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，
∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca），
=[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]，
=[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，
=×（1+1+4），
=3．
故选D．
【点睛】本题主要考查公式法分解因式，达到简化计算的目的，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键．
3．D
【分析】本题考查多项式的公因式，先找出系数的公约数，再找出相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【详解】解：∵系数的公约数是，相同字母的最低指数次幂是，
∴多项式各项的公因式是，
故选D．
4．B
【分析】根据十字相乘法逐一判断可得．
【详解】A、x2+x-2=（x-1）（x+2），此选项不符合题意；
B、3x2-10x2+3x不能利用十字相乘法分解，此选项符合题意；
C、x2-3x+2=（x-1）（x-2），此选项不符合题意；
D、x2-6xy-7y2=（x-7y）（x+y），此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】此题考查因式分解-十字相乘法，解题的关键是掌握某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．
5．D
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【详解】解：10a2（x+y）2-5a（x+y）3因式分解时，公因式是5a（x+y）2
故选D．
6．A
【分析】本题考查公因式的定义．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【详解】8x2n﹣4xn＝4xn（2xn﹣1），
∴4xn是公因式．故选A．
【点睛】本题考查公因式的定义，难度不大，要根据找公因式的要点进行．
7．C
【分析】先提公因式，进而根据平方差公式因式分解即可．
【详解】
故选C．
【点睛】本题考查了综合运用提公因式和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．A
【分析】多项式先提取公因式，提取公因式后剩下的因式即为所求．
【详解】解：，
故另一个因式为，
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．也是解本题的难点，要注意符号．
9．C
【详解】A.16x -4xy+y ，不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误；
B.m +mn+n 不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误；
C.9a -24ab+16b =(3a-4b)2，故本选项正确；
D.c +2cd+c 不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误.
故选C.
10．B
【分析】能用平方差公式分解的式子的特点是：二项，且两项的符号相反，据此逐项分析即可．
【详解】①﹣a2+b2，③1﹣(a﹣1)2，符合公式特点，能用平方差公式分解因式；
②﹣x2﹣y2中两项的符号相同，④m2﹣2mn+n2有3项，不符合公式特点，不能用平方差公式分解因式．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握a2-b2=(+b) (a-b)是解答本题的关键．
11．C
【分析】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
【详解】解：多项式的公因式是，
故选C．
12．B
【分析】利用完全平方公式进行转化即可得出结果．
【详解】解：
∵
∴
故选：
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键．
13．2x-5y /-5y+2x
【详解】解：﹣16x3+40x2y
=﹣8x2 2x+（﹣8x2） （﹣5y）
=﹣8x2（2x﹣5y）
所以另一个因式为2x﹣5y
故答案为2x﹣5y
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，把多项式的各项写成公因式与另一个因式相乘的形式是解题的关键．
14．（x-6y）2
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：原式=（x-6y）2．
故答案为：（x-6y）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
15．3（x+5）
【分析】原式提取3进行因式分解即可．
【详解】解：3x+15=3（x+5）．
故答案为3（x+5）．
【点睛】此题考查了实数范围内分解因式--提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
16．
【分析】利用因式分解得到，利用非负性，求出的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
设：，
∵直角三角形的斜边大于直角边，
∴边上高，
∴当时，的面积最大，最大值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．
17．（x-1）2
【详解】由完全平方公式可得：
故答案为．
【点睛】错因分析 容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底.
18．（1）（a+b）（1-a-b）;（2）（x-y）2 ;（3）2（m+n）（3m+3n-1）;（4）（m-n）3 ;（5）2（p+q）（3p-2q）
【分析】根据提公因式法进行因式分解，据此计算求解.
【详解】(1)原式＝(a＋b)[1－(a＋b)]
＝(a＋b)(1－a－b)，
(2)原式＝x(x－y)－y(x－y)
＝(x－y)(x－y)
＝(x－y)2，
(3)原式＝2(m＋n)[3(m＋n)－1]
＝2(m＋n)(3m＋3n－1)，
(4)原式＝m(m－n)2－n(m－n)2
＝(m－n)2(m－n)
＝(m－n)3，
(5)原式＝2(p＋q)(3p－2q).
故答案为
(1)(a＋b)(1－a－b)；
(2)(x－y)2；
(3)2(m＋n)(3m＋3n－1)；
(4)(m－n)3；
(5)2(p＋q)(3p－2q).
【点睛】本题考查了提公因式法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
19．．
【分析】综合利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解即可得．
【详解】原式，
，
．
【点睛】本题考查了综合利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
20．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；
（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；
（3）同（2）；
（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
21．(1)(x+2)(x-2)；（2）ab(a-1)2
【分析】（1）利用平方差公式分解因式得出即可；（2）先提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式得出即可.
【详解】（1）原式=(x+2)(x-2)
（2）原式=ab(a2-2a+1)
=ab(a-1)2
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.熟练应用乘法公式是解题关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）原式提取公因式后，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式后，再利用完全平方公式分解即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23．
【详解】试题分析：观察可得：10=2×5，2+5=7，由此即可进行因式分解.
试题解析：a2+7a+10=(a+2)(a+5).
24．(1)；
(2)．
【分析】（1）提取公因式，再将剩余的一项合并同类项化简即可；
（2）根据平方差公式展开，再将完全平方公式展开计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练掌握提公因式，完全平方公式，平方差公式对式子进行简便计算．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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