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2.5三元一次方程组及其解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知方程组的解，使成立，则的值是( )
A．0 B． C．1 D．2
2．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支，共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
4．利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
5．设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”处只放“■”，那么应放“■”（ ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如，对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
8．下列不是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
9．在等式中，当时，；当时，；当时，，则的值为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
10．解方程组，最简便的消元方法是（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数项
11．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C．－12 D．12
二、填空题
13．方程组的解是 ．
14．方程组的解为 ．
15．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙2件、丙1件，则需525元；若购买甲2件、乙3件、丙4件，则需675元；若购买甲、乙、丙各1件，则需 元．
16．从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是 ．
17．方程组的解是 ．
三、解答题
18．解下列方程组．
(1)；
(2)．
19．解方程组：
20．三兄弟带着西瓜到农贸市场去卖：老大带了个，老二带了个，老三带了个．上午他们按同一价格卖了若干个西瓜（西瓜按整个出售，均大于等于个，且均有剩余），过了中午，怕西瓜卖不完，他们降价把所有剩余的西瓜仍按同一价格全部卖掉了，回家后，他们清点卖瓜款后发现，三人卖瓜所得的钱数一样多，每人都卖得元，问他们的西瓜到底上、下午各按什么价格卖出的？
21．设线段x、y、z满足，求x、y、z的值．
22．解下列三元一次方程组：
(1)
(2)
23．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员 小丽 小华
月销售件数（件） 200 150
月总收入（元） 1400 1250
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
(1)求x、y的值；
(2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
24．在等式中，当时，；当时，；当与时，y的值相等，求的值．
《2.5三元一次方程组及其解法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D C A A B D B
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】先利用方程组得出用含m的代数式表示x、y，再把x、y的值代入到，解方程即可得到m的值．
【详解】解：由题意可知，①，②，
由①+②并化简，可得，
由②×2-①并化简，可得，
将，的值代入，可解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组的知识，解题关键是熟练掌握加减消元法和代入消元法．
2．B
【分析】设铅笔的单件为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，根据题意列方程解方程即可解答．
【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，
根据题意可得，
由②①得，，
由②①得，，
由⑤④③得，，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用三元一次不定方程组解实际问题的运用，熟练三元一次方程组的解法是解题的关键．
3．A
【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答本题．
【详解】解：
得，，
得：，
∴三元一次方程组消去未知数后，得到的二元一次方程组是，
故选A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确题意，会用消元法解方程组．
4．D
【分析】设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，建立关于h，x，y的方程组求解．
【详解】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80，
由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=72，
两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152，
解得：h=76cm．
故选 D．
【点睛】此题主要考查了方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力．关键是看懂图的意思，找出图中所表示的等量关系．
5．C
【分析】设■，▲，●，由题可得，则可求解．
【详解】解：设■，▲，●，
，
，
又，
，
，
，
故选：C．
【点睛】题目主要考查三元一次方程的应用，理解题意，列出方程得出未知数的关系是解题关键．
6．A
【分析】可设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）的等量关系可列出方程，用y分别表示出x和z即可得出结论．
【详解】解：设●、■、▲分别为x，y，z，由（1）（2）可知：
，
解得：，
∴，
即■的个数为5个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查方程组的应用，根据题意列出符合条件的方程组是解题的关键．
7．A
【分析】根据题意逐步求解三元一次方程即可
【详解】解：
由，得，
由，得，
由，得，
∴，
由，得，
由，得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应．
8．B
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义，根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解．
【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
B、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意．
C、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
故选：B．
9．D
【分析】本题主要考查三元一次方程组，把当时，；当时，；当时，代入中，解出的值即可求出结果．
【详解】解：根据题意：，
解得：，
∴，
故选：D．
10．B
【解析】略
11．A
【分析】本题考查了三元一次方程组以及加减消元法，运用加减消元法消去c即可得到答案，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
【详解】解：，
②﹣①，得，即④
②×3+③，得，即⑤
由④⑤可知，A选项正确，
故选：A．
12．C
【分析】根据代入法解三元一次方程组即可求解．
【详解】解：，且，
由①得，,
将代入②得,
即,
,
故选C．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握代入法是解题的关键．
13．
【分析】直接利用代入消元法求解即可．
【详解】解：，
由②得，④，
由③得，⑤，
将④⑤代入①得，，
解得：，
将代入④得，，
将代入⑤得，，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，观察方程组，选用合适的方法解方程组是解题的关键．
14．
【分析】根据三元一次方程组的解法求解即可．
【详解】解：
由①得：④，
由③得：⑤，
把④和⑤代入到②得：，解得，
把代入④得：，
把代入⑤得：，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟知解三元一次方程组的方法是解题的关键．
15．240
【分析】本题考查三元一次方程组的应用．设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，再利用加减法求出的值即可．
【详解】解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元，
根据题意，得，
得：，
整理，得．
∴购买甲、乙、丙各1件，则需240元；
故答案为：240．
16．、、
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据“全程，地到地用了，从地到地用了”分别列出方程，组成方程组，再求解即可．解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
【详解】解：设地到地，上坡、下坡、平路分别是千米，千米，千米，根据题意得：
解得：，
答：从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是、、．
故答案为：、、．
17．
【分析】先计算得：，然后再用，，，进行计算即可解答.
【详解】解：，
得，，
即，
得，；
得，；
得，，
∴原方程组的解为：，
故答案为：.
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，先计算得：是解题的关键.
18．(1)
(2)
【分析】（1）用代入消元法把三元一次方程组化简为二元一次方程组求解即可；
（2）用加减消元法把三元一次方程组化简为二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：
把①代入②得：，
化简得：，
把①代入③得：，
化简得：，
解得：，
把代入④得：，
把，代入①得：，
∴原方程的解为
（2）解：
得：，
得：，
把代入②得：，
把，代入①得：，
∴原方程的解为
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法、代入消元法是解题关键．
19．
【分析】利用加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行解答．
【详解】由得：④
由得：⑤
由得：
将代入④得：
将，代入①得：
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，得到由另外两个未知数组成的二元一次方程组．
20．上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元
【分析】设老大、老二、老三上午卖掉的西瓜个数分别为 ，，，（，，均为正整数），下午卖掉的西瓜个数依次为 ，，．上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元．根据题意可得出关于x、y、z、m、n的方程组，结合，， 均为整数，且 ，以及整数的特性讨论求解即可．
【详解】设老大、老二、老三上午卖掉的西瓜个数分别为 ，，，（，，均为正整数），下午卖掉的西瓜个数依次为 ，，．上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元．（）
则 ，
，
，
，， 均为整数，且 ，
， 都是正整数，可设 ，（ 为正整数），
，．
，
，，，．
，
解得 ；
上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元．
【点睛】本题考查了方程组的应用，正确理解题意、结合所设相关未知数为正整数讨论求解是关键．
21．．
【分析】设＝＝＝k，从而可得x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，进而可得x+y+z＝k，然后根据x+y+z＝18，求出k的值，从而求出x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，最后进行计算即可解答．
【详解】解：设＝＝＝k，
∴x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，
∴x+y+z+x+y+z＝9k，
∴2x+2y+2z＝9k，
∴x+y+z＝k，
∵x+y+z＝18，
∴k＝18，
∴k＝4，
∴x+y＝8，z+x＝12，y+z＝16，
∴z＝10，y＝6，x＝2，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是令＝＝＝k，并求出k值．
22．(1)
(2)
【详解】5.（1）
①＋②，得4x＋z＝5，④
③＋④，得5x＝10，解得x＝2
把x＝2代入①，得2×2－y＝4，解得y＝0
把x＝2代入③，得2－z＝5，解得z＝－3
所以原方程组的解为．
（2）
①＋②，得x＋z＝2，④
②＋③，得5x－8z＝36，⑤
④×5－⑤，得13z＝－26，解得z＝－2
把z＝－2代入④，得x＝4
把x＝4，z＝－2代入②，得y＝0
所以原方程组的解是．
23．(1)x的值为800，y的值为3
(2)购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元
【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；
（2）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱，即可求解．
【详解】（1）解：设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．
由题意得，
解得，
即x的值为800，y的值为3；
（2）解：设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．
则可列方程组：，
将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150，
答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
24．37
【分析】由当与时，y的值相等，得出a和b的关系，再将x与y的2对值代入等式，得出关于a，b，c的方程组求解即可．
【详解】解：∵当与时，y的值相等，
∴，即，
把当时，；当时，代入等式得
，
①-②得：，即，
将代入③得：，
将代入①得：，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
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