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4.3用乘法公式分解因式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．分解因式：（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若，则m的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
4．已知正方形的面积为，则正方形的周长是（ ）．
A． B． C． D．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A．+=(m+n)(m n) B． a=a(a 1)
C．(x+2)(x 2)= 4 D．+2x 1=(x 1)2
6．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　）
A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11
7．若x、y是有理数，设N=3x2+2y2﹣18x+8y+35，则N（ ）
A．一定是负数 B．一定不是负数 C．一定是正数 D．N的取值与x、y的取值有关
8．分解因式2x2－8的最终结果是（ ）
A．2(x2－4) B．2(x+2)(x—2) C．2(x—2)2 D．(2x+4)(x—2)
9．下列多项式：①，②，③，④．其中有一个相同因式的多项式是（ ）
A．①和② B．①和④ C．①和③ D．②和④
10．因式分解x2y-4y的正确结果是（　　）
A．y（x+2）（x-2） B．y（x+4）（x-4） C．y（x2-4） D．y（x-2）2
11．下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
12．若，则括号内应填的代数式是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）
.
（2）
.
试用上述方法分解因式 .
14．已知，，则的值为 ．
15．分解因式： ．
16．已知，，，那么代数式的值是 ．
17．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
；．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
；．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
三、解答题
18．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）
(1) （2）
19．定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．
(1)若，，求a，b的“和积数”c；
(2)若，，求a，b的“和积数”c；
(3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值．
20．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．
(1)上述分解因式的方法是　 　，共应用了　 　次；
(2)若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）2019，则需应用上述方法　 　次，结果是　 　；
(3)分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…x（x+1）n（n为正整数）结果是　 　．
(4)请利用以上规律计算：（1+2x）3．
21．把下列完全平方式因式分解：
（1）；（2）．
22．利用因式分解计算：3.68×15.7-31.4+15.7×0.32.
23．对于任意自然数是否能被24整除？
24．因式分解：
《4.3用乘法公式分解因式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D B B B B C A
题号 11 12
答案 C D
1．A
【分析】利用平方差公式分解即可．
【详解】．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
2．A
【分析】根据十字相乘法进行分解，即可作出判断．
【详解】解：A、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘的结构特征是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得到，即可得出m的值．
【详解】解：，
，
故选：B．
4．D
【分析】首先利用完全平方公式进行因式分解，即可得到正方形的边长，进而可计算出正方形的周长．
【详解】解：∵，
∴正方形的边长为，
∴正方形的周长为：，
故选:D．
【点睛】本题考查了因式分解法的应用，关键是利用完全平方公式进行因式分解，从而得到正方形的边长．
5．B
【详解】A选项：通常情况下，m2+n2不能进行因式分解，故A选项错误.
B选项：，故B选项正确.
C选项：本选项是整式乘法而不是因式分解，故C选项错误.
D选项：本选项左侧的整式x2+2x-1不符合完全平方公式的形式，不能用公式法进行因式分解，故D选项错误.
故本题应选B.
【点睛】本题考查了因式分解的基本概念以及因式分解的常用方法. 因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的变形，它不是一种运算. 要注意理解整式乘法与因式分解之间的区别与联系. 另外，在运用公式法进行因式分解的时候，待分解的整式在形式上必须与平方差公式或完全平方公式的基本特征一致，一旦有不一致的地方就不能用相应的公式进行因式分解.
6．B
【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．
【详解】解：a2-ab-ac+bc=11，
（a2-ab）-（ac-bc）=11，
a（a-b）-c（a-b）=11，
（a-b）（a-c）=11，
∵a＞b，
∴a-b＞0，a，b，c是正整数，
∴a-b=1或11，a-c=11或1．
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
7．B
【分析】把N的式子进行化简，得出3（x-3）2+2（y+2）2，是两个非负数的和，所以N仍为非负数．
【详解】】解：N=3x2+2y2-18x+8y+35，
=3x2-18x+2y2+8y+35
=3（x-3）2-27+2（y+2）2-8+35
=3（x-3）2+2（y+2）2≥0．
故选B．
【点睛】本题考查了非负数的性质．
在初中阶段,共学习了三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
8．B
【详解】试题分析：因式分解，第一步先观察，看是否是提取公因式，还是运用平方差、完全平方和（差）等公式．2x2－8先提取公因式，为2（x2－4），再运用平方差差公式得2（x+1）(x-1)，故选择B.
本题涉及了因式分解，该题较为简单，是常考题，主要考查学生对因式分解步骤和公式的应用，要求学生熟练掌握．
9．C
【分析】分别利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而得出符合题意的答案．
【详解】解：①；
②；
③；
④．
故分解因式后，结果含有相同因式的是：①和③．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式分解因式是解题的关键．
10．A
【分析】先提公因式y，再利用平方差公式分解因式即可求解.
【详解】解：x2y-4y=y（x2-4）=y（x2-22）=y（x+2）（x-2）．
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键.
11．C
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案．
【详解】解：∵，
∴A选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
∵，
∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
∵，即不符合完全平方公式，
∴C选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意；
∵，
∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
故选：C．
12．D
【分析】根据平方差公式进行分解因式，即可得到答案.
【详解】解：；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用平方差公式因式分解，解题的关键是掌握平方差公式进行因式分解.
13．
【详解】试题分析：首先进行分组，然后分别进行因式分解，最后利用提取公因式进行因式分解.
原式=()+(ac+bc)=+c(a+b)=(a+b)(a+b+c)
考点：因式分解
14．6
【分析】直接提取公因式，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案．
【详解】∵，，
∴
=3×2
=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了分解因式的应用以及代数式的求值，正确找出公因式是解题关键．
15．
【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式，
故答案为：．
16．
【分析】根据代数式的结构，分解成，然后计算出，代入代数式即可求解．
【详解】，
又由，，，
得：，
同理得：，，
原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，根据条件化简是解题的关键．
17．
【分析】根据题意，
（1）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数；
（2）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数；
（3）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数；
（4）将式子分解因式，这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数．
【详解】（1）将式子分解因式，
这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，
．
（2）将式子分解因式，
这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，
．
（3）将式子分解因式，
这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，
．
（4）将式子分解因式，
这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，
．
故答案为：（1），（2），（3），（4）．
【点睛】本题主要考查了因式分解－十字相乘法，根据题意可知、是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出、的值是解题的关键．
18．(1)800;(2)3.98.
【详解】试题分析：（1）利用平方差公式得到原式=（201+199）×（201-199），然后进行有理数运算；
（2）利用提公因式得到原式=1.99×（1.99+0.01），然后进行有理数运算．
试题解析：（1）原式=（201+199）×（201-199）
=400×2
=800；
（2）原式=1.99×（1.99+0.01）
=1.99×2
=3.98．
19．(1)；
(2)或；
(3)，有最小值为．
【分析】（1）把，代入c中求值即可；
（2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到c的值；
（3）把a，c的值代入，化简得，分和两种情况讨论，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴a，b的“和积数”；
（2）解：∵，且，，
∴,
∴．
∴或；
即或；
（3）解：由题意，，
∵，
，
∴．
①若，式子变为．
∴b为任何数，不存在最小值；
②若，又，
∴，
∴，
∴
．
∴当时，有最小值为．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用．
20．(1)提公因式法，2
(2)2019，（1+x）2020
(3)（1+x）n+1
(4)8x3+12x2+6x+1
【分析】(1 )根据阅读因式分解的过程即可得结论；
(2)结合(1)和阅读材料即可得结论；
(3 )根据阅读材料的计算过程进行解答即可；
(4)利用规律进而得出答案即可．
【详解】（1）阅读因式分解的过程可知：
上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）原式＝（1+x）2020，则需应用上述方法2019次，结果是（1+x）2020，
故答案为：2019，（1+x）2020；
（3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]
＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]
＝（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1；
（4）（1+2x）3＝1+2x+2x（2x+1）+2x（2x+1）2＝8x3+12x2+6x+1．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法．
21．（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用完全平方公式因式分解得出答案；
（2）将看作整体，之后利用完全平方公式因式分解得出答案．
【详解】解：（1），
，
；
（2），
，
．
【点睛】
此题主要考查了公式法因式分解，正确应用完全平方公式是解题关键．
22．31.4
【详解】试题分析:
3.68×15.7-31.4+15.7×0.32
=3.68×15.7+15.7×0.32-31.4
=15.7(3.68+0.32)-31.4
=15.7×4-31.4
=62.8-31.4
=31.4.
点睛：本题主要考查了用提公因式法简便计算的方法，在进行实数的混合运算时，如果几个积中含有相同的因数，那么可以先提取这个相同的因数后，再进行计算，这样可以使得运算的过程更加简便.
23．能
【分析】本题考查了平方差公式的应用，根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：原式
．
∵n为自然数，
∴能被24整除，
故对于任意自然数能被24整除．
24．
【分析】根据完全平方公式及十字相乘法可进行因式分解．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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