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2025年广东省肇庆市高要县新桥中学高考二模
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.若集合，集合，则的非空真子集个数为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，满足，则实数( )
A. B. C. D.
4.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知动点到定点，的距离之和为，直线：与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.若，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，点为轴上一点三点不共线，满足的面积是面积的倍，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则( )
A. 这两个球体的半径之和的最大值为
B. 这两个球体的半径之和的最大值为
C. 这两个球体的表面积之和的最大值为
D. 这两个球体的表面积之和的最大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是( )
A.
B. 数列为等比数列
C.
D. 若，则数列的前项和为
10.已知某人掷骰子次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，，，，，若，，成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数的是( )
A. 该组数据的中位数为，众数是 B. 该组数据的平均数为，分位数是
C. 该组数据的平均数为，方差小于 D. 该组数据的极差为，方差大于
11.已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为当时，，其中为自然对数的底数，则( )
A. 在上有且只有个零点 B. 在区间上单调递增
C. D.
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.二项式，若，则 ______．
13.若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是______．
14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点点在第一象限，且是腰长为的等腰三角形，则双曲线的离心率为______；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调性和极值；
作出函数的大致图象参考数据
16.本小题分
在长方体中，，为的中点，平面，且．
求的值；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆交于，两点均异于点，且直线与的斜率之和为证明：直线的斜率为定值，并求出该定值．
18.本小题分
某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为合格品，小于为次品，现抽取这种元件件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数件
现从这件样品中随机抽取件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；
关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．
若，证明：；
由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？注：当随机事件发生的概率小于时，可称事件为小概率事件
19.本小题分
若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，．
若是正整数，求，，的值；
若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列；
若是正整数，判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由参考数据：，
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：函数定义域为，求导得，
由，得或；由，得且；
所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是，
函数的极大值为，函数的极小值为．
大致图象如图．

16.解：连接由平面平面，且平面平面，
平面平面，所以．
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，设，
则，，，
由，得，即，
则，又，
所以．
由知，，，
所以，，
设为平面的法向量，
则，即，
令，得为平面的一个法向量．
又，
所以点到平面的距离．
17.解：因为椭圆：的焦距为，点在椭圆上，
所以，
解得，
则椭圆的方程为．
证明：当直线斜率不存在时，直线与的斜率之和不会为．
设点，，直线：，
由，
消去并整理，得，
则，
则
，
则，
整理，得，
因直线不过点，则，所以．
故直线的斜率为定值，定值为．
18.记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，
，，
；
若，
则，，
又，
所以或，
由切比雪夫不等式可知，，
所以，
设随机抽取件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，
所以，，
由切比雪夫不等式知，，
即在假设下个元件中合格品为个的概率不超过，此概率极小，由小概率原理可知，
一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．
19.解：根据题目定义：若数列，，其中，
对任意正整数都有，
则称数列为数列的“接近数列”．
已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，．
设，且，
所以，即，，
，即，，
，即，，
所以，，；
证明：由题：数列是公差为的等差数列，
设，则，
所以，，则，
所以，，，
所以，故，即数列是等差数列；
当为奇数时，，则，
由，即，，则；
当为偶数时，，则，
由，即，，则；
所以且，则且，
而，
要使，则，
当且，则，
所以，则，可得；
当，且，则，
所以，则，显然不成立；
综上，当是正整数，存在正整数，时的最小值为．
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