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2025年湖北省十堰市房县一中高考数学模拟试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是( )
A. 或 B. 且
C. ，同号且不为 D. 或
3.已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知为钝角，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.已知，均为正数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知正方体的棱长为，，分别为和的中点，为线段上的动点，为上底面内的动点，下列判断正确的是( )
三棱锥的体积是定值，
若恒成立，则线段的最大值为
当与所成的角为时，点的轨迹为双曲线的一部分
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的左右焦点为，，过的直线与交于，两点，若满足，，成等差数列，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，分别为随机事件，的对立事件，已知，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，是相互独立事件，则
D. 若，是互斥事件，则
10.已知，，是抛物线：上三个不同的点，的焦点是的重心，则( )
A. 的准线方程是 B. 过的焦点的最短弦长为
C. 以为直径的圆与准线相离 D. 线段的长为
11.如果一个人爬楼梯的方式只有两种，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上级台阶的方法数为，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的二项展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______．
13.设是函数的一个极值点，则______．
14.如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正项数列，其前项和满足．
求的通项公式；
证明：．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．
求证：平面平面；
试求的长，使平面与平面所成的锐二面角为．
17.本小题分
甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的个黑球和个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为．
求，；
设，证明：；
求的数学期望的值．
18.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
设，若，且对任意，，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线：的离心率为，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和，的面积为．
求曲线的方程；
如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于、两点，直线过且垂直于轴，直线、分别与交于、两点，若、、、四点共圆，求点的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：正项数列，其前项和满足．
可得，
当时，，
，；
当时，，
，
，
，
，，
；
证明：
．
16.解证明：
平面，平面，
，
为矩形，，
又，，平面，
平面，
平面，
，，为线段的中点，
，又，，平面，
平面，又平面，
所以平面平面．
以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设，，
设平面的一个法向量为，
则，，
令，则，
，
设平面的一个法向量为，
则，，
令，则，
，
平面与平面所成的锐二面角为，
，
解得，
，
，即，
当时，平面与平面所成的锐二面角为．
17.解：由题可知：，；
证明：次操作后，甲盒有一个黑球的概率，由全概率公式知：
，
，
，
，
，
，
，
即 ；
解：，，
又，
即 ，
．
18.解：，
当时，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，
由，即在上单调递增，
由，即在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，由知：，
，
对成立，
只要，即对恒成立，
对恒成立，
令，则，
且在上单调递增，上单调递减，
，
，
的取值范围为．
19.解：由得，又，得到，
渐近线方程为，则双曲线方程为，即，
设，则到渐近线的距离分别为，，
两渐近线的夹角为，，，，四点共圆，或，
的面积为
，
曲线的方程为：．
如图，，，，四点共圆，
，
设，，，．
，：，令得，
当的斜率为时不符合题意；
当的斜率不为时，设：，
，
，，
，即，
，
，符合，．
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