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2025年辽宁省丹东市高考数学质检试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.圆：关于轴对称的圆的圆心坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.已知圆台的上，下底面的直径分别为和，母线与下底面所成角为，则圆台的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则的虚部为 D. 若，则
10.已知函数，其中相邻的两条对称轴间的距离为，且经过点，则( )
A. B. 在区间上单调递增
C. D. 在上有个解
11.设正实数，满足，则( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 有最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知实数，满足，，则 ______．
13.将个和个随机排成一行，则个不相邻的排法有______种用数字作答
14.已知，为椭圆的左右焦点，直线：与相切于点点在第一象限，过，作，，垂足分别为，，为坐标原点，，则 ______，的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为调查居民购车倾向与性别的关系，对某地区随机抽查了名居民进行调查，得到如下表格：
购买倾向 合计
新能源车 燃油车
男
女性
合计
求，；
根据小概率值的独立性检验，能否认为居民的购车倾向与性别有关？
从倾向燃油车的人中按性别分层抽样抽取人，再从这人中任选人，求选中男性的人数的分布列和期望．
附：，
16.本小题分
已知函数．
求在处的切线方程；
证明：当时，；
若在上单调递增，求整数的最大值．
17.本小题分
记为数列的前项和，．
求；
求证：数列是常数列；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在三棱锥，点是边长为的等边的重心，，，点在棱上，且，是的中点．
求证：平面；
设过点，，的平面为，与此三棱锥的面相交，交线围成一个多边形．
请在图中画出这个多边形不必说出画法和理由，并求出将三棱锥分成两部分的几何体体积之比；
求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
记为坐标原点，点在抛物线上，在第一象限，，两点位于轴上，已知圆：经过点，且圆内切于．
求抛物线的准线方程；
若，求点的坐标及的长；
求面积的最小值．
参考答案
1.
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7.
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12.
13.
14.
15.解：由表格数据可算得，；
零假设：居民的购车倾向与性别无关联，
计算可得，
根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，
即可以认为居民的购车倾向与性别有关；
从倾向燃油车的人中按性别分层抽样抽取人，则男性有人，
女性有人，设选中男性的人数为，则的所有可能取值为，，，
所以，，，
则随机变量的分布列如下表所示：
所以．
16.解：因为，
则，
所以在处的切线的斜率为，且，
则在处的切线方程为，即；
证明：因为，
令，
在上恒成立，
即在上单调递增，所以，
即时，成立；
由，
由可知，当时，，则在上单调递增，
，
由零点存在定理可知，使得，
则在上单调递减，在上单调递增，
因为，满足，即，所以整数的最大值为．
17.解：因为为数列的前项和，，
所以当时，，所以；
证明：因为为数列的前项和，，
所以当时，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以数列是常数列；
由知，
所以，所以，
所以，
所以，
可得，
所以．
18.解：证明：因为点是等边的重心，连接并延长交于点，
所以是的中点，连接，
在中，，
所以，
平面，平面，
所以平面．
是等边三角形，为重心，是的中点，
所以，，三点共线，连接，
所以的三边是与三棱锥的面的交线，
则两部分的几何体分别为三棱锥和四棱锥，
设，，三棱锥的高为，
则，
，
所以，
即，
所以三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为：．
(ⅱ)取的中点，连接，，，，，，平面，
所以平面，平面，则平面平面，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
可知轴在平面内．
，设，
，解得，
所以，
由，得，
因为，
设平面的法向量，
则，由，可得，
可取，
设平面的法向量，
则，由，可得，
可取，
所以，
设平面与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
19.解：圆经过，有，则，所以抛物线的准线方程为．
因为，由题意可知，点位于点的上方，则直线的倾斜角为，
设与圆切于点，所以由直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半可得与轴的交点为，
设联立，得，则或舍，
所以点的坐标为，
过点作轴，垂足为，，所以是等腰直角三角形，
则，所以，所以，且有，
，
所以，即．
设，，，不妨设，
直线，圆心到直线的距离为，，整理得，
同理直线，得，
所以，是方程的两个根，则有，
则，所以，
所以面积，
令，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以当时，面积的最小值为．
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