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2025年贵州省遵义市高考数学三模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某班名学生的物理成绩按从小到大的顺序排列如下：，，，，，，则这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
3.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与直线位于第三象限的图象重合，则( )
A. B. C. D.
4.航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移单位：千米：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数和其中且，若与的图象有一个交点的横坐标为，则实数( )
A. B. C. D.
7.已知的周长为，，当的面积最大时，则的内切圆半径为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，在线段上运动，是棱的中点，则下列选项正确的是( )
A. 直线与直线是异面直线
B. 直线与平面所成角为，则的最大值是
C. 动点在正方体的表面上运动，若，则点的轨迹长度是
D. 以点为球心，为半径的球面与侧面的交线长度是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为虚数单位，则下列选项正确的是( )
A. 若，，则为纯虚数
B. 若，则
C. 若，则
D. 若且，则在复平面内对应的点位于第四象限
10.已知曲线：，则下列选项正确的是( )
A. 若，则曲线的离心率为
B. 若，则曲线为椭圆
C. 若，则曲线的实轴长为
D. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则焦点到渐近线的距离为
11.六艺是中国古代君子的六门必修课，即礼、乐、射、御、书、数礼记射义：“射者，仁之道也射求正诸己，已正而后发；发而不中，则不怨胜己者，反求诸己而已矣”若甲、乙两人玩射箭游戏，规则如下：每次由其中一人射箭，若中靶，则此人继续射箭；若未中靶，则换对方射箭已知甲每次射箭命中的概率均为，乙每次射箭命中的概率均为，由抽签确定第次射箭的人，甲、乙抽中的机会均等，则下列选项正确的是( )
A. 第次射箭的人是甲的概率为
B. 在第次射箭的人是甲的条件下，第次射箭的人是乙的概率为
C. 在前次射箭中，甲只射箭次的概率为
D. 若第次射箭的人是甲的概率为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点在抛物线：上，的焦点为，则 ______．
13.某市举行数学“”节竞赛活动，某学校有名数学成绩优秀的学生，其中名男生名女生，该学校需从中选派人组成代表队参赛，其中男生甲和女生乙至少有一人入选，不同的选派方法共有______种数字作答．
14.蝴蝶曲线是一种优美的数学曲线，因其形状宛如一只蝴蝶而得名，由美国南密西西比大学的坎普尔费伊于年发现它不仅是数学与美学结合的经典案例，也是非线性动力学系统的典型案例，更在计算机编程、艺术设计、科学研究和工程领域，展现了跨学科的应用潜力其核心价值在于将抽象的数学方程转化为可视化的动态图形，成为连接理性与感性的桥梁已知某种蝴蝶曲线，如图所示，在平面直角坐标系中，曲线的方程为：若点在上运动，为坐标原点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数在点处的切线方程；
若，求的最小值和最大值．
16.本小题分
为进一步满足居民“五一”假期的消费需求，营造欢乐的节日氛围，某商场计划月日发起“年欢乐购普惠消费券”活动据悉，本次消费券分别为“满元减元”和“满元减元”两种类型节日期间每位进该商场的顾客可抽取两种不同类型的消费券各次，已知抽中消费券“满元减元”的概率为，抽中消费券“满元减元”的概率为，且各次是否抽中消费券互不影响．
求某天某顾客至少抽中一次消费券的概率；
设某天某顾客获得的消费券奖金如：满元减元，记消费券奖金为元为随机变量，求的分布列及数学期望．
17.本小题分
在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，，，，平面平面，为线段的中点．
若平面平面，求证：；
在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
在数列中，若以相邻三项，，为线段长度能构成一个三角形，则记这个三角形为且这三边所对的角分别为，，．
在中，以，，为线段长度，能否构成一个三角形？并说明理由；
在中，，，成等差数列，且是等比数列判断的形状，并证明；
若是等差数列，，公差，且存在，使得的最大内角为，求公差的值．
19.本小题分
在复平面上，复数对应的点为，且复数满足的方程为．
判断点的轨迹是什么曲线？并说明理由；
记点的轨迹为曲线，是上任意一点，定义变换：，变换后的点形成曲线，再将曲线沿向量平移得到曲线．
求曲线在平面直角坐标系下的方程；
已知，，设过点的直线与曲线交于，两点异于点，的外心为设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
参考答案
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15.解：函数，则，
则，又，
所以函数在点处的切线方程为，即；
，，
令，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值也是最小值为，
又，
，
所以的最大值为，最小值为．
16.解：设事件“某天某顾客至少抽中一次消费卷”，
事件“某天某顾客抽中满元减元消费卷”，
事件“某天某顾客抽中满元减元消费卷”，
则，
所以某天某顾客至少抽中一次消费券的概率为；
的可能取值为：，，，，
，
，
随机变量的分布列为：


，
所以的数学期望为．
17.证明：连接，与交于点，连接，
因为正方形，所以是的中点，
又为线段的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
解：存在，，理由如下：
由题意知，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又，，所以，
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，
因为平面平面，
所以，解得，
即．
18.解：能．由正弦定理，可得，
所以：：：：，
因为，，是的三边，
所以，，为边长的三角形与相似．
故以，，为线段长度，能构成一个三角形．
证明：经判断，是等边三角形．
证明如下：由题意可得，又，
所以，又因为是等比数列，
所以由余弦定理，可得，
即即，
所以又因为，所以三角形是等边三角形．
因为，，，，
由余弦定理得，
即化简得，
即因为，，故解得，
当时，；当时，；当时，，舍去．
验证：当时，三边为，符合题意．当时，三边为，，，符合题意．
综上，的值为或．
19.解：设，则，
表示点到距离之和为，
所以点的轨迹为，长轴为的椭圆．
由，，，则：，
因为是上任意一点，
所以设，
由题
，
设点在实平面内的坐标为，，
则，
所以．
又沿向量平移得到曲线，
在平面直角坐标系下的方程为：．
由题，设，，
由已知直线的斜率存在，且显然不为零，
可设直线方程为：，
由，
消去并化简可得：，
判别式，
，，
设过，，三点的圆方程为：，
又，
所以，
所以，
因为，在椭圆上，
所以，，
所以，
所以，
，
，
因为，所以，
所以，
化简得，
由圆的一般方程可知三角形的外接圆的圆心为，
则，又，
所以．
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