资源简介

湖北省武汉市2025届高中毕业生四月调研考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.若向量，满足，，且，则向量和向量的夹角为( )
A. B. C. D.
4.随着的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，位评委分别对甲、乙进行打分满分分，得到如图所示的统计表格，则下列结论不正确的是( )
甲
乙
A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数
C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的侧棱长为，当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A. B. C. D.
8.已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象( )
A. 关于直线对称 B. 关于直线对称
C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则( )
A.
B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限
D. 复数满足，则的最大值为
10.已知数列满足，的前项和为，则( )
A. B. 数列是等比数列
C. ，，构成等差数列 D. 数列前项和为
11.已知曲线，为曲线上任一点，则下列说法中正确的有( )
A. 曲线与直线恰有四个公共点 B. 曲线与直线相切
C. 是关于的函数 D. 是关于的函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的离心率为，则 ．
13.为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第年底光伏太阳能板的保有量单位：万块满足模型，其中为饱和度，为初始值，为年增长率若该地区年底的光伏太阳能板保有量约为万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为万块，那么年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，
14.在各棱长均相等的正四面体中，取棱上一点，使，连接，，三棱锥的内切球的球心为，三棱锥的内切球的球心为，则平面与平面的夹角的正弦值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，上的点满足．
求证：平面
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数．
若在处的切线斜率为，求
若恒成立，求的取值范围．
17.(本小题15分)
13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌,正面标有1~8,此外还有五张字母牌,正面标有A~E,将这十三张牌随机排成一行.
(1)求五张字母牌互不相邻的概率;
(2)求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率;
(3)对于给定的整数k(1k8),记“在标有k的数字牌左侧,没有标号比k小的数字牌”为事件,求发生的概率.(结果用含k的式子表示)
18.本小题分
已知集合，集合满足且．
判断，，，中的哪些元素属于
证明：若，，则
证明：若，则．
19.本小题分
如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．
求与的标准方程
过点作直线，交于点，交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求上述各点均不重合
点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点，求点坐标，使直线与直线的斜率之积为定值上述各点均不重合
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
因为平面，
所以．
因为，，，平面
所以平面B.
因为平面，
所以．
因为，，，平面C.
所以平面C.
由知，，两两垂直，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
已知，，
则，，．，
设平面的法向量为，，设，
因为，
，，由，
即，解得，所以．
由，将向量坐标代入可得，令，
则平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，，．
由，将向量坐标代入可得，令，则，，
所以平面的一个法向量为．
则，．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16.解：，
则，
因为函数在处的切线斜率为，
所以，
解得．
恒成立，
即为恒成立，
即恒成立，
令，
则，
可知函数在上单调递减，
且，，
则存在，使得，
当时，，此时；
当时，，此时；
则函数在上单调递增，在上单调递减，
可得，
由，可得，，
即，，
则，可得，
即实数的取值范围为．
17.解：（1）13张牌全排列，共有种排法.
五张字母牌互不相邻，
先排八张数字牌，共有种排法.
将8张数字牌排好, 形成8+1=9个间隔.
从这9个间隔中选5个放置字母牌,共有种排法.
则五张字母牌互不相邻的排法有种.
所以五张字母牌互不相邻的概率为==；
（2）当标有8的卡牌在左端第一个时，剩下12张牌可以随意排列，共有种排法.
当标有8的卡牌在左端第二个时，先从5个字母牌里选一个排在左端第一位，再将剩下11张牌全排列，共有种排法.
当标有8的卡牌在左端第三个时，先从5个字母牌里选两个排在标有8的卡牌的左侧，再将剩下10张牌全排列，共有种排法.
当标有8的卡牌在左端第四个时，先从5个字母牌里选三个排在标有8的卡牌左侧，再将剩下9张牌全排列，共有种排法.
当标有8的卡牌在左端第五个时，先从5个字母牌里选四个排在标有8的卡牌左侧，再将剩下8张牌全排列，共有种排法.
当标有8的卡牌在左端第六个时，将5个字母牌排在标有8的卡牌左侧，再将剩下7张牌全排列，共有种排法.
所以在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率为
==；
（3）当k=1时，显然此时=1，
当k=2时，标有2的牌左侧无更小数字牌,即2一定在标有1的牌的左侧，此时共有种情况，
所以==，
当k=3时，标有3的牌左侧无更小数字牌,即3一定在标有1，2这两张牌的左侧，此时共有种情况，
所以==，
当标有k的数字牌左侧,没有标号比k小的数字牌时，即标有k的牌必须位于这k-1张牌的最左侧，此时共有种情况，所以==，
综上所述，发生的概率为.
18.解：，属于，，不属于．
因为，且满足，故；
因为，而，故；
因为，而无意义，故；
因为，且满足，故；
若，，
不妨设，，，，，，
由，得，即，，
由，得，即，，
则，
由，，，可知，，故；
，
由，，，，
可得，
，
故，即满足且，故，得证；
若，
则，且，
则，
故，，且，，
记，则存在，，使得，，
则，即，
又，，，，故
当时，，即，
当为偶数时，设，，
，即能被整除；
当为奇数时，设，，
，即被整除余．
故为能被整除或被整除余的数；
当为偶数时，设，，
，即被整除余；
当为奇数时，设，，
，即被整除余．
故为能被整除余或余的数，
所以不存在与使得成立，
故，证毕．
19.解：由题意可得：，解得
所以椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为．
先证结论：已知关于原点对称，对于椭圆上任一点可得有意义的前提下，
因为，
且在椭圆上，则，两式相减可得，
整理可得，所以，
由题意可知：直线的斜率存在且不为，设为，
则，
所以；
由设直线，，，
联立方程，消去可得，
由题意可得：，即，
可得，即，
又，则直线的斜率，
可得直线：，
同理可得，
又则直线的斜率，
可得直线：，
同理可得，
则直线的斜率，
可得直线：，
联立方程，解得
即，可得
设，，
整理可得
，
由题意可得，解得
即存在点，使得．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑