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江苏省新高考基地学校2025届高三第二次大联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，若对应的点在第二象限，则对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，向量在上的投影向量，则( )
A. B. C. D.
4.将数列和的公共项从小到大排列得到数列，则下列所给的值中，使得的前项和最小的为( )
A. B. C. D.
5.若是定义在上的增函数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，若，，，，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7.设函数的周期为，将的图象向左平移个单位后关于原点对称，且在区间内的零点与极值点恰好共有个，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的两个焦点为，，，是的右支上两点若，，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.赋分是根据考生原始分数在全体考生中的排名比例进行转化的，在一次模拟考试中，某班名同学的地理科目的原始分与赋分如下表：
学号
原始分
赋分
记这名同学在这次模拟考试中的地理科目的原始分为数据甲，赋分为数据乙，则( )
A. 甲的平均数小于乙的平均数 B. 甲的中位数小于乙的中位数
C. 甲的极差小于乙的极差 D. 甲的方差小于乙的方差
10.在正四棱锥中，侧棱与底面边长相等，，分别是和的中点，则( )
A. B. 平面 C. D. 平面
11.在直角坐标系中，，，是曲线上一点，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数且是偶函数，则 ．
13.在正三棱台中，，经过三条侧棱中点的平面将正三棱台分成两部分若两部分的体积之差为，则该三棱台的体积为 ．
14.记的内角，，的对边分别为，，，为的中点，为边上一点，设，且，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点．
证明：平面平面
若，平面与平面夹角的余弦值为，求该三棱柱的体积．
16.本小题分
袋中装有个红球和个黑球，第一次随机取出个小球，若是红球则放回，否则不放回．
第二次随机取出个小球，求两次取出的球颜色相同的概率
第二次随机取出个小球，记两次取出红球的个数为，求的概率分布列及数学期望．
17.本小题分
已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点．
若是，的等比中项，求直线的方程
若是上一点，且直线的斜率为，证明：直线经过定点．
18.本小题分
设，曲线在处的切线方程为．
求，的值
证明：
若存在两根，，且，证明：．
19.本小题分
在数列中，，记，且．
证明：是等差数列
求数列的前项和
数列的前项组成集合，集合，的元素个数记为设，，若，求的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.证明： 在正三棱柱中，，分别是和的中点．
是等腰三角形， 则．
设的中点为，则，．
四边形是平行四边形 ．
是的中点且．
．
又，平面，平面，
平面．
又平面，
平面平面．

以直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，平面一个法向量为，
则，取得
又平面与平面夹角的余弦值为，
，
三棱柱的体积为．
16.解：第一次取红球概率，放回后第二次取红球的概率仍为，对应概率为，
第一次取黑球概率，不放回后第二次取黑球的概率为，对应概率为，
颜色相同的概率为．
不可能第二次取球至少红，故，
第一次取红放回，第二次取红：，
第一次取黑不放回，第二次取红：，
总概率，
第一次取红放回，第二次取红黑：，
第一次取黑不放回，第二次取红：，
总概率，
第一次取红放回，第二次取红：，
．
17.解：由题意，
设直线的方程为，
代入可得：，
设，
则．，解得或，
，，
，
因为，
因为是，的等比中项，所以，
则，解得：，舍去，
故直线的方程为．
设，
因为直线的斜率为，
所以，则．
即．
直线的斜率，
直线的方程为：，
即得．
化简得．
而
因为，，代入上式得，
所以，
所以直线经过定点．
18.解：因为，所以，即，
因为，所以点在直线上，
即，所以．
由知，切线的方程为，
所以要证，即证，
设，
则，
当时，，，递增
当时，，，递减，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以．
因为，当时，，递减
当时，，递增所以
又当趋于负无穷时，，
所以存在两根，，
有，且，
首先证明：，即证，
因为在上递减，所以只要证，
即证，
设，，
因为，
所以在上递增，所以，
所以，
其次证明：，
因为在处的切线为，
由知，，当且仅当时等号成立，
所以，
即，所以，
综上，．
19.解：由，两边平方得，
因为，同理，
两式相减：，
即，
因为，约去，得，
又，故是以为首项，为公差的等差数列．
由知，
累加法得：，
所以，
则，
前项和：．
数列前项为，，，，，
设对应下标集合，
需满足对应，
取，此时，
而，满足条件，
故，即的最大值为．
设，，，且，
因为
都是的元素，所以至少个元素．
因为都为的元素，所以至少个元素，所以至少个元素．
因为，的最小元素为，最大元素为，且任意两个元素的差的绝对值不小于，元素个数不超过，
所以，所以，即．
取，共个元素，此时，，满足，所以的最大值为综上，集合的元素个数的最大值为．

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