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黑龙江省大庆市2025届高三下学期第三次教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则
A. B. C. D.
2.在等差数列中，若，则
A. B. C. D.
3.在复平面内，点对应的复数为，则
A. B. C. D.
4.若随机变量，且，则的最小值为
A. B. C. D.
5.若，则
A. B. C. D.
6.如图所示，在中，，，点是的中点，点在上，且若，则
A. B. C. D.
7.已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为
A. B. C. D.
8.某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则
A. B.
C. D. 无法确定与的大小关系
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于函数的说法正确的是
A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位
B. 函数的图象关于对称
C. 函数在区间上单调递减
D. 若，且，则
10.在长方体中，已知，，分别为的中点，则
A. 平面
B. 若为对角线上的动点包含端点，则三棱锥的体积为定值
C. 棱锥的外接球的体积为
D. 若点为长方形内一点包含边界，且平面，则的最小值为
11.过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.已知定义域为的函数满足，且，则 ．
14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了用于计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它的意思可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，用祖暅原理可求得这个旋转体的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角的对边分别为已知．
求；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，，求实数的值．
17.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，已知在平面的同侧，，平面平面，
求证：；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，过作，交椭圆于点，且．
求椭圆的方程；
已知是椭圆上关于轴对称的两点，点在椭圆上，直线分别交轴于两点．
证明：；
若点的坐标为，点为平面上一动点不在直线上，记直线的斜率分别为，且满足判断动点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．
19.本小题分
若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合．
若是项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
已知记
求取到最大值时的值；
若是两个不同的数列，求随机变量的分布列，并证明：．
参考答案
1.
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4.
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7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：解：已知，
由正弦定理得，即
由余弦定理可知，
又，所以
由，可知．
由正弦定理可知，
所以，
因为，所以，
又，所以，所以又
，
所以的面积为．
16.解：函数定义域为，，
当时，成立，此时在上单调递减；
当时，因为时，，所以在上单调递减；
因为时，，所以在上单调递增．
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由得，当时，，
要使不等式成立，只需使不等式成立，
即不等式成立，
令，，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则恒成立，即恒成立，
所以要使成立，必有．
17.解：如图，取的中点，连接，，
由，得，由，得，
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以．
由知，，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
过作，则平面，又，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
在中，易得，所以，而，所以，
于是，，，，，，
所以，，，
因为，所以，所以
设为平面的法向量，
则，
取，得，
设直线与平面所成角的正弦值为，
所以，，
所以直线与平面所成角的正弦值为
18.解：因为离心率，所以，
所以
由，解得，，
所以椭圆的方程为．
设，，，，则
由，，三点共线可得，
所以，
同理由，，三点共线可得，
所以．，
结合，，故，
所以．
设，直线，
所以，，．
由于，
所以，即，
整理可得，
因为，
，
整理得．
因为不在直线上，
故，因为，
所以，即
所以，即．
由可知，
又，故，故点在定直线上．
19.解：因为是项数列，当且仅当时，，
所以当和时，．
设数列的所有项的和为，
则
，
所以数列的所有项的和为；
，，因为，所以，
所以，
设，，
则，
当，且，，，
当，，
当，且，，
所以取到最大值时，或．
因为数列，为两个不同的项数列，
所以的可能取值为：，，，，．
当时，数列，中有项取值不同，有项取值相同，
又因为集合中有个项数列，
所以，
所以的分布列为：
因为，
所以

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