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2025年陕西省名校教育联盟高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是( )
A. B. C. D.
2.已知甲船位于灯塔的北偏东方向，且与相距的处乙船位于灯塔的北偏西方向上的处若两船相距，则乙船与灯塔之间的距离单位：为( )
A. B. C. D.
3.现有名男生和名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住人，男女不同住一个房间，则女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是( )
A. B. C. D.
4.若的展开式中常数项为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若，则正实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，如图如图，已知为椭圆：的左焦点，为坐标原点，直线为椭圆的任一条切线，为在上的射影，则点的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲性 D. 抛物线
7.已知数列满足，记数列的前项和为，设集合，对恒成立，则集合的元素个数是( )
A. B. C. D.
8.设，，则满足条件，的动点的变化范围图中阴影部分含边界是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知直四棱柱，底面是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确( )
A. 当平面时，
B. 当时，的最小值为
C. 若，则的轨迹长度为
D. 当时，若点为三棱锥的外接球的球心，则的取值范围为
11.从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前天内，它们的变化规律如图所示均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型：
记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则( )
A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最小的
B. 第天时，智力曲线与情绪曲线都处于上升期
C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D. 不存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列满足，则 ．
13.激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数函数是常用的激活函数之一、其解析式为则对于任意实数，函数至少有一个零点______．
14.已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数，均有，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验研究人员将疫苗注射到只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示试验发现小白鼠体内产生抗体的共有只，其中该项指标值不小于的有只假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于有关单位：只
抗体 指标值 合计
小于 不小于
有抗体
没有抗体
合计
为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有只小白鼠产生抗体．
用频率估计概率，求一只小白鼠注射次疫苗后产生抗体的概率；
以中确定的概率作为人体注射次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射次疫苗后产生抗体的数量为随机变量试验后统计数据显示，当时，取最大值，求．
参考公式：其中为样本容量参考数据：
16.本小题分
如图，圆柱的底面半径和母线长均为，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面上的一个动点若建系，请以，，为坐标轴建系
求平面与平面的夹角的余弦值；
若，求动点的轨迹形状和长度；
若点只在上底面上的圆周上运动，求当的面积取得最大值时，点的位置可用坐标表示
17.本小题分
函数与圆锥曲线是我们高中最常见的只是板块，现进行探究：
化简，并求方程表示的曲线所围成的图形的周长．
已知曲线：，试研究曲线的范围．
已知抛物线：上一点到焦点的距离为，抛物线上一点的纵坐标为，过点的直线与抛物线交于，两个不同的点均与点不重合，连接，，若，所成角为直角，求关于直线对称点．
18.本小题分
教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金，用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策若你的父母在你岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入元，并且每年在你生日当天存入元，连续存年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为．
在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？参考数据：
为了鼓励学生参与社会实践，银行与某企业合作，为参与勤工俭学的学生提供以下三种薪资调整方案每月按天计算：
方案甲：每天工资固定为元方案乙：第天工资元，从第天起每天比前一天多元方案丙：第天工资元，以后每天工资是前一天的倍学生小张计划勤工俭学个月，试分析小张应如何根据的值选择薪资方案．
19.本小题分
函数同样也是高中数学的一大板块，现进行探究：
已知函数，若，则函数是否存在零点？
已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”
试判断函数是否为“自均值函数”．
若函数，有且仅有个“自均值数”，求实数的值．
若函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像；
试判断函数是否为“自均值函数”并说明理由．
是否存在，使得，，按照某种顺序成等差数列？若存在，请求出该数列公差绝对值的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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15.解：由题意可得：该项指标值不小于的有只，所以列联表为：
抗体 指标值 合计
小于 不小于
有抗体
没有抗体
合计
零假设注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于无关，
根据表中数据可得，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于有关．
由题意可得：，因为随机变量，
则，即随机变量的方差为．
16.解：由题意得，，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为圆柱的底面半径和母线长均为，，
所以，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，解得，，
故平面的法向量为，
易知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则．
设，则，，
因为，所以，则，
化简得，即，
即动点的轨迹是圆心在原点，半径为的圆，轨迹长度为．
由已知得，，
由模长公式得，
由题意得圆的方程为，
故设，
设到的距离为，而，
故当最大时，只需要保证最大即可，而，
则，
，
故，
由点到直线的距离公式得，
，
，
令，
则，
由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得最大值，则值最大，的面积最大，此时，
由同角三角函数的基本关系得，
故．
17.解：表示到和的距离之和为，
那么这是以和为焦点，长轴长度为的椭圆，
那么焦距，，所以，，所以，
所以可化简为．
根据得：或或或，
因此方程表示、、、为顶点的正方形，如下图所示，
那么正方形边长为，周长为：．
当时，方程为，
当时，方程为，
所以由两条射线和组成，如下图所示，
所以，无最小值，所以的范围为，．
因为点到焦点的距离为，所以，解得，所以点，
所以，又因为，所以，所以，抛物线方程为，
根据题意知：过点的直线斜率不为，
那么可设直线：，，，
因为直线，所以，所以；
根据得：，
所以根的判别式，根据韦达定理可得，，
因为，所以，
所以
，
所以
化简得：，所以，
解得：或；
当时，，所以；
设，则，解得：，所以；
当时，，所以，满足直线；
设，那么，解得：，所以．
综上所述：或．
18.解：根据题目：若你的父母在你岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入元，并且每年在你生日当天存入元，
连续存年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为．
得
，
即在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为元．
设小张参与勤工俭学的天数为，，
方案甲领取的报酬为；
方案乙每天的报酬与天数成首项为，公差为的等差数列，
由等差数列的求和公式可得领取的报酬为；
方案丙每天报酬与天数成首项为，公比为的等比数列，
由等比数列的求和公式可得领取的报酬为．
先令，即，解得舍去或，
所以当时，；当时，；
再比较和，当时，，，；
当时，，，；
最后比较和，由函数的增长快慢可得当时，，，；
当时，，，．
综上，当天时，即个月时选择方案甲；
当天时，选择方案丙，即个月时选择方案丙．
19.解：，，
令，，则．
因为的定义域为，故的零点与的零点相同，
所以下面研究函数在上的零点个数．
由，，得．
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，故此时有唯一零点；
当时，，
令，得，令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，则，
令，则，
易得在上单调递增，在上单调递减，
又，所以当时，，
当，即时，，
此时有唯一零点；
当，即时，则．
因为，所以在上有唯一的零点．
，
令，则，
所以，由知，，又，
所以在上存在唯一零点，不妨设，
所以在上有唯一的零点，
故在上有两个零点；
当，即时，且，
由函数零点存在定理可得在上有唯一零点，
故在上各有一个唯一零点．
综上所述，函数存在零点．
假定函数是“自均值函数”，显然定义域为，
则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在上的值域应包含函数在上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是，显然不包含，
所以函数不是“自均值函数”．
依题意，存在，对于，存在，有，
即，
当时，的值域是，
因此在的值域包含，并且有唯一的值，
当时，在单调递增，在的值域是，
由，得，
解得，此时的值不唯一，不符合要求，
当时，函数的对称轴为，
当，即时，在单调递增，在的值域是，
由，得，
解得，要的值唯一，
当且仅当，即，则，
当，即时，，，
，，
由且得：，此时的值不唯一，不符合要求，
由且得，，要的值唯一，当且仅当，解得，此时．
综上得：或，
所以函数，有且仅有个“自均值数”，实数的值是或．
因为的周期，所以，
又是的一个对称中心，所以，，
解得，，因为，所以，
从而，
函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变后的解析式为：，
从而再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数．
函数不是“自均值函数”，理由如下：
假定函数是“自均值函数”，显然定义域为，
则存在，对于，存在，有，
即，依题意，函数在上的值域应包含函数在上的值域，
而当时，值域是，当时，的值域是，显然不包含，
所以函数不是“自均值函数”；
由知，，，
假设存在，使得、、按照某种顺序成等差数列，
当时，，则，，
所以，
故，即，
令，，
则，
故在上单调递增，且在上连续，
故存在唯一的，使得，即成立，
即存在，使得，，或，，成等差数列，
所以公差的绝对值；
又，所以，
即该等差数列公差的绝对值的取值范围为．
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