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重庆市95中初2025届九年级下期二诊模拟
数 学 试 题
命题人，审题人：李桂伦、谢劲松、傅筱晶、张兰
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1．的绝对值是
A．2 B． C． D．
2．下面的图形是以数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．斐波那契螺旋线 D．阿基米德曲线
3．如果反比例函数y＝经过点（－3，4），则的值是
A．1 B．－7 C．12 D．－12
4．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4∶3，则OB∶OE的值为
A．4∶7 B．4∶3
C．3∶4 D．16∶9
5．一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2的度数为
A．35° B．30°
C．25° D．20°
6．估计的值在
A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
7．下列图形是由相同的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5枚棋子，第②个图形中一共有11枚棋子，第③个图形中一共有17枚棋子，……，按此规律排列，第⑧个图形中棋子的枚数为
A．50 B．49 C．48 D．47
8．如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数是
A．110° B．120° C．130° D．140°
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与ED，EC分别交于点M，N．则MN的长为
A. B． C． D．
10．若一列数含有n个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为5，7，2，－5，满足7＝5＋2，2＝7+（－5），所以5，7，2，－5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：
①12，3，a为三级浪花数，则a的值为－9；
②任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数；
③2022级浪花数中的所有数之和为0.
下列说法正确的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
11．计算： ．
12．今年是农历乙巳蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ．
13．如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相交于点F．若BD＝4cm，AF＝3cm，则EC的长为 cm．
14．若关于x的分式方程的解为非负整数，且关于y的不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，∠CAB=2∠EAB，过C作CD⊥AB于点D，交AE于点H，若BF=1，sin∠AFE=，则AB=___________，DH=_____________.
M是一个四位数自然数，M各个数位上的数互不相等且都不为0，若，称M为95数，则最小的95偶数M是 ；已知M为95数，若F(M)＝，当F(M)最大且是8的倍数时称M是最美95数，则最大的最美95数是 .
三、解答题（本大题8个小题，第17题16分，第18—24题每题10分，共86分）
17．计算：
（1）
（2）先化简，再求值：，其中.
18.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E．
（1）尺规作图：过点C作CF⊥BD于F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：BF=DE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE= ① ，
AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB= ② ，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF,
∴BE= ④ ，
∴BF=DE．
19.重庆九十五中就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解0≤x＜70；比较了解70≤x＜80；了解80≤x＜90；非常了解90≤x≤100），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生得分统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 79.8 a 82
九年级 79.8 79 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有450名学生，九年级有320名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有多少名？
20．某大型超市花6000元购进甲、乙两种商品共220件，其中甲种商品每件25元，乙种商品每件30元．
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件？
（2）A公司决定花1500元从该超市购买甲商品为员工发福利，B公司决定花1900元从该超市购买乙商品为员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜8元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市能从这次销售中获利多少元？
21．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，E为AC上一点，CE＝3，动点P从E出发，沿E→A→B方向运动，到达点B时停止运动，连接PB，PC．设点P走过的路程为x，△PBC的面积为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）一次函数y1＝kx＋3的图象与y的图象有且仅有1个交点，请直接写出常数k的取值范围．
22．如图，小红和小明家相约去动物园看熊猫，到了动物园大门A处，小明家决定先去B处看恐龙，小红家决定先去D处看金鱼，然后两家人再到C处熊猫馆碰面一起游玩．B在A的北偏西60°方向400米，C在B的北偏东45°方向；D在A的北偏东30°方向，C在D的正西方向，C在A的正北方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73，
（1）求AC的长度；（结果保留整数）
（2）若小明和小红两家人的速度相同（停留在B、D的玩耍时间相同），哪家人先到达C处熊猫馆？请通过计算说明．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax +bx－3（a≠0）与x轴交于点
A（－1，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AC交x轴于点D，PE∥x轴交直线BC于点E，求PE+PD的最大值，及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax +bx－3（a≠0）沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y'，点N（7，4），连接AN，点M是新抛物线上一点，且∠MNA=2∠NAB，直接写出所有符合条件的点M的横坐标.
.
24．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是平面内一点，连接AD，BD，且∠ADB=90°.
（1）如图1，若点D在△ABC内部，∠ABD=30°，延长AD交BC于H，若AD= 时，求DH的长；
（2）如图2，若点D在△ABC内部，将AD绕点A，逆时针旋转90°得到线段AE，直线DE与BC交于点F，证明：BF=CF；
（3）如图3，点P是BC边上一点，连接AP，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ，连接DQ，CD，CQ，若AB=2，在CD取最小值的前提下，DQ最小值时，直接写出△CDQ的面积.2025届九下二诊模拟考试【参考答案】
一、选择题：
1．C 06．C
2．A 07．D
3．D 08．D
4．B 09．A
5．A 10．D
填空题：
11． Π 12．
13． 14． ﹣1
15． AB=8；DH= 16．①1382；②7619.
三．解答题
17．解：（1）；
（2）化简得：
当时原式=.
18.解：①如图所示，即为所求线段， ②证明：四边形是平行四边形， ，， ①， ，， ②， 在、中， ， ， ④， ． 故答案为：①；②；③；④．
19.（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有；
八年级被抽取学生测试得分中“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82，78，20；
（2）八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
(3)（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“不了解”的共有109名．
20.解：（1）设甲种商品购进件，乙种商品购进件，
由题意得：，
解得：，
答：甲种商品购进120件，乙种商品购进100件；
（2）设甲商品的售价为元，则乙商品的售价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（件，
（元，
答：超市能从这次销售中获利650元．
21.解：（1）关于的函数表达式为；理由如下：
在△中，，，，
由勾股定理得：，
，
；
当，即点在上时，过点作于，如图1.1，
由题意得：，
，，
；
当，即点在上时，如图1.2，
，
；
综上所述，；
（2）列表格如下：
0 2 6
6 0
如图2，即为所求；
由函数图象可知，当时，有最大值6；
常数的取值范围为k＞－且k≠0．
22.解：（1）过点作于点，如图，
在的正西方向，在的正北方向，
，
在△中，，
（米，
米，
在△中，，
米，米，
（米；
（2）小明家先到达处熊猫馆．
理由如下：
在△中，，
米，
米，
（米，（米，
，
小明和小红两家人的速度相同（停留在、的玩耍时间相同），
小明家先到达处熊猫馆．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax +bx－3（a≠0）与x轴交于A（－1，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AC交x轴于点D，PE∥x轴交直线BC于点E，求PE+PD的最大值时，及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax +bx－3（a≠0）沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y'，点N（7，4），连接AN，点M是新抛物线上一点，且∠MNA=2∠NAB，直接写出所有符合条件的点M的横坐标.
解：（1）；
（2）
（3）
24.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， 点D是平面内一点，连接AD，BD，且∠ADB=90°.
（1）如图1，若点D在△ABC内部，∠ABD=30°，延长AD交BC于H，若AD= 时，求DH的长；
（2）如图2，若点D在△ABC内部，将AD绕点A，逆时针旋转90°得到线段AE，直线DE与BC交于点F，证明：BF=CF；
（3）如图3，点P是BC边上一点，连接AP，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ，连接DQ，CD，CQ，若AB=2,当CD，DQ均取得最小值时，直接写出△CDQ的面积.
解：（1)
（2）连接EC，过点B作BG//EC，交EF的延长线于点G ∠G=∠CEF，
△ABD≌△ACE（SAS） BD=CE，∠ADB=∠AEC=90° ∠CEF+∠AED=90°，
AE=AD ∠AED=∠ADE ∠CEF+∠ADE=90°，
∠ADB=90° ∠ADE+∠BDG=90° ∠BDG=∠CEF=∠G BG=BD=CE，
△BGF≌△CEF（AAS） BF=CF ；
法二：
法三：
法四：
（3）S△CDQ= －。

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