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浙江省杭州市之江实验中学2024-2025学年七年级下学期数学3月阶段自查试题卷
1．（2025七下·杭州月考）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到.下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·杭州月考）下列4组数值中，不是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·杭州月考）和是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·杭州月考）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（　　）
A．14 B．11 C．7 D．4
5．（2025七下·杭州月考）如图，不能判断的条件是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·杭州月考）小丽在用“加减消元法”解时，利用①×a+②×b消去x，则a、b的值可能是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·杭州月考）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·杭州月考）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·杭州月考）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（　　）
A．-2和2 B．-2和4 C．2和-4 D．2和-2
10．（2025七下·杭州月考）如图，将沿AC方向平移得到.设四边形ABED的周长为，四边形BCFE的周长为，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·杭州月考）把方程改写成用含x的代数式表示y，则　 　．
12．（2025七下·杭州月考）如图，已知，点在射线AE上，若，则的度数为　 　.
13．（2025七下·杭州月考）若x，y满足方程组，则的值为　 　.
14．（2025七下·杭州月考）一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力方向的夹角的度数为，则角的度数为　 　.
15．（2025七下·杭州月考）若方程组解为则方程组的解为　 　.
16．（2025七下·杭州月考）已知关于x，y方程组给出下列结论：正确的序号是　 　.
①方程组的解也是的解； ②x，y值不可能是互为相反数；
③不论取什么实数，的值始终不变； ④若，则.
17．（2025七下·杭州月考）解二元一次方程组
18．（2025七下·杭州月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示.现将三角形ABC平移，使点移动到点，点E、F分别是点B、C的对应点.
（1）请画出平移后的三角形DEF；
（2）连接BE和CF；求四边形BCFE的面积．
19．（2025七下·杭州月考）解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由①－②，得；
解法二：由②得③，
把①代入③得.
（1）反思：上述两种解题过程中你发现解法　 　的解题过程有错误（填“一”或“二”）；解二元一次方程组的基本思想是　 　.
（2）请选择你喜欢的方法解方程组
20．（2025七下·杭州月考）如图，在四边形ABCD中.点为AB延长线上一点，点为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点，交AD于点，若，求证：.
证明：
（　 　），
.
（　 　）.
（　 　）.
，
　 　//　 　.
.
21．（2025七下·杭州月考）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数.已知，
（1）求a、b的值；
（2）求的值.
22．（2025七下·杭州月考）已知直线分别与直线相交，且，
（1）直线平行吗？请说明理由。
（2）若，求的度数。
23．（2025七下·杭州月考）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点，如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点.
（1）若，求的度数.
（2）如图2，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H.
①若，求和的度数.
②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）.
24．（2025七下·杭州月考）根据以下素材，探索完成任务
奖品购买方案设计
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知每只钢笔的单价为9元，每本笔记本的单价为6元。
素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支
素材3 学校花费540元后，文具店赠送张（）兑换券（如图）用于商品兑换.兑换后，笔记本数量与钢笔相同.
问题解决
任务一 【探究购买方案】在不使用兄换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量
任务二 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到；
B、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
C、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
D、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到.
故答案为：A.
【分析】根据平移的定义“ 平移是指将一个图形或物体按照一定的方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变的变换 ”解答即可.
2．【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：
A、 把 代入方程的左边，左边 ， 右边 左边≠右边，所以 不是方程 的解，故此选项符合题意；
B、把 代入方程的左边，左边 右边=6，左边=右边，所以 是方程 的解，故此选项不符合题意；
C、把 代入方程的左边，左边 右边=6， 左边=右边， 所以 是方程 的解，故此选项不符合题意；
D、 把 代入方程的左边，左边 右边 左边=右边，所以 是方程 的解，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】把各选项的x，y的值代入检验解题即可.
3．【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A：是内错角，不符合题意；
B：是同位角，符合题意；
C：不是同位角，不符合题意；
D：不是同位角，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同位角的定义“ 当两条直线被第三条直线（即截线）所截时，在两直线的同侧，并且在截线的同旁的两个角，称为同位角 ”逐项判断解题即可.
4．【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：是关于x，y的二元一次方程
的解，
，
故答案为：B.
【分析】根据题意将x和y的值代入方程 可得 再根据整体代入法，可得
的值.
5．【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：，
故此选项不合题意；
故此选项不合题意；
无法得出 故此选项符合题意；
故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理“ 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，则两直线平行 ”逐项判断解题.
6．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当 时，则 无法消去x，则A错误；
当 时，则 无法消去x，则B错误；
当 时，则 无法消去x，则C错误；
当 时，则 满足题意；
故答案为：D.
【分析】把各选项中a，b的值代入进行计算判断解题即可.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，得：．
故答案为：A．
【分析】根据大长方形的宽为和小长方形的长与宽之间的关系列方程即可．
8．【答案】A
【知识点】猪蹄模型；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OE∥CD
故答案为：A.
【分析】过点O作OE∥AB，则有AB∥OE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等得到然后根据角的和差解题即可.
9．【答案】D
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程 得：
解得：
将 代入方程 中，
故答案为：D.
【分析】把y=4代入方程求出x的值，然后代入第二个方程求出却少的常数项解答即可.
10．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题知，
由平移可知，，
所以
所以
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质可得，求出 C1和C2的值求差解题即可.
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解∶∵，
∴，
∴
故答案为∶．
【分析】通过移项，把含x的项一道等号右边，等式两边再同乘“﹣1”，即可得出答案．
12．【答案】140°
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
∴由平角的定义可得，，
所以 的度数为
故答案为：140°.
【分析】由AB∥CD得. 再由平角的定义求出 解题即可.
13．【答案】29
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
得：
③-②得：
解得：
把 代入①得：
解得：
∴方程组的解为，
，
故答案为：29.
【分析】先根据加减消元法解方程求出x，y的值，然后代入代数式计算解题即可.
14．【答案】
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵重力G的方向竖直向下，
∵摩擦力. 的方向与斜面平行，
故答案为：
【分析】由垂直的定义得到 ，由平行线的性质推出 ，由三角形的外角性质得到 求出即可.
15．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据两个方程组，得，
解得：
故答案为：.
【分析】根据两个方程组的特点，可得 解这个方程即可求解。
16．【答案】①③④
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：①将方程组中两个方程相加，得
∴方程组的解也是 的解，故①正确；
②解方程组 得，
当x，y的值互为相反数时，
即
解得
∴当 时，x，y的值互为相反数，故②不正确；
③原方程组的解为，
∴不论a取什么实数， 的值始终不变，都为 故③正确；
④若 则
解得 故④正确；
综上， ①③④正确.
故答案为：①③④.
【分析】两方程相加计算判断①；求出方程组的解x，y的值，根据互为相反数求出a的值判断②；求出的值判断③；根据求出a的值判断④解答即可.
17．【答案】解：
把②代入①得x+2=4，
解得x=2，
把x=2代入②得2+2y=1，
解得，
∴方程组的解为：；
②×5+①得17x=-20+3，
解得x=-1，
把x=-1代入①得y=2，
∴方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）运用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）运用加减入消元法解二元一次方程组即可.
18．【答案】（1）解：由题意得，三角形ABC向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形DEF，如图，三角形DEF即为所求.
（2）解：如图， 线段BE， CF即为所求.
四边形BCFE的面积为：3×2=6.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】(1)由题意得，三角形ABC向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形DEF，结合平移的性质画图即可.
(2)直接连接BE和CF即可，利用平行四边形的面积公式计算即可.
19．【答案】（1）一；消元思想
（2）解：选解法一：原方程整理得
②-①得x=3
将x=3代入①得3-3y=4
解得
所以方程组的解为
选解法二：原方程整理得
由①得： x-2=3y+2③
把③代入②得
将 代入①得， x+1=4
解得
所以方程组的解为 .
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：上述两种解题过程中解法一的解题过程有错误，
解法一： 由①-②，得
解二元一次方程组的基本思想消元思想，
故答案为：一，消元思想；
【分析】（1）根据加减消元或代入消元法的运算过程判断即可；
（2）先整理，然后利用加减消元法或代入消元法解题即可.
20．【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；CF；EA
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】证明： (对顶角相等)， (已知)。
(等量代换)。
(同位角相等，两直线平行)。
(两直线平行，同旁内角互补)。
(已知)，
(等量代换)。
(同旁内角互补，两直线平行)。
(两直线平行，内错角相等)。
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；CF，EA.
【分析】先得到，然后根据同位角相等，两直线平行得到AD∥BC，即可得到同旁内角互补，然后等量代换得到 ，即可得到，进而得到结论即可.
21．【答案】（1）解：由题意可知：
解得：；
（2）解：
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】(1)根据题意列出方程组即可求出a与b的值；
(2)根据新运算的定义即可求出答案.
22．【答案】（1）解： 理由如下：
如图1，
（2）解：如图2，
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先得到∠1=∠5，然后根据同位角相等，两直线平行得到结论即可；
（2）先根据两直线∥内错角相等求出∠5，然后根据邻补角解题即可.
23．【答案】（1）解：如图1， 由翻折的性质得：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，FN∥EM，
（2）解：①如图2，
∵AB∥CD，
由翻折的性质得：
∵AB∥CD，
∵继续沿PM进行第二次折叠，
②如图3，
∵AB∥CD，
由翻折得
∵继续沿PM进行第二次折叠，
，
∵AB∥CD，
.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据翻折得到然后根据两直线平行，同位角相等得到即可解题；
（2）①根据平行得到即可求出∠BMP的度数，然后根据翻折得到∠NMA的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可；
②根据平行得到根据翻折得到求出∠PMG的度数，然后表示∠2的度数解答即可.
24．【答案】解：(1)设购买钢笔a支，购买笔记本b本，
由题意得：，
解得，
答：购买钢笔30支，笔记本45本；
(2)设其中y张用来兑换钢笔，则( 张兑换笔记本，
由题意得：
整理得：
∵1≤m < 10， m、 y均为正整数，
∴或 或；
∴有3种兑换方案：
①3张兑换钢笔；
②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；
③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购买钢笔a支，购买笔记本b本，根据某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设其中y张用来兑换钢笔，则(m-y)张兑换笔记本，根据兑换后，笔记本数量与钢笔相同.列出二元一次方程，求出正整数解， 即可解决问题.
1 / 1浙江省杭州市之江实验中学2024-2025学年七年级下学期数学3月阶段自查试题卷
1．（2025七下·杭州月考）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到.下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到；
B、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
C、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
D、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到.
故答案为：A.
【分析】根据平移的定义“ 平移是指将一个图形或物体按照一定的方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变的变换 ”解答即可.
2．（2025七下·杭州月考）下列4组数值中，不是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否为二元一次方程的解
【解析】【解答】解：
A、 把 代入方程的左边，左边 ， 右边 左边≠右边，所以 不是方程 的解，故此选项符合题意；
B、把 代入方程的左边，左边 右边=6，左边=右边，所以 是方程 的解，故此选项不符合题意；
C、把 代入方程的左边，左边 右边=6， 左边=右边， 所以 是方程 的解，故此选项不符合题意；
D、 把 代入方程的左边，左边 右边 左边=右边，所以 是方程 的解，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】把各选项的x，y的值代入检验解题即可.
3．（2025七下·杭州月考）和是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A：是内错角，不符合题意；
B：是同位角，符合题意；
C：不是同位角，不符合题意；
D：不是同位角，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同位角的定义“ 当两条直线被第三条直线（即截线）所截时，在两直线的同侧，并且在截线的同旁的两个角，称为同位角 ”逐项判断解题即可.
4．（2025七下·杭州月考）已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（　　）
A．14 B．11 C．7 D．4
【答案】B
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：是关于x，y的二元一次方程
的解，
，
故答案为：B.
【分析】根据题意将x和y的值代入方程 可得 再根据整体代入法，可得
的值.
5．（2025七下·杭州月考）如图，不能判断的条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：，
故此选项不合题意；
故此选项不合题意；
无法得出 故此选项符合题意；
故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理“ 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，则两直线平行 ”逐项判断解题.
6．（2025七下·杭州月考）小丽在用“加减消元法”解时，利用①×a+②×b消去x，则a、b的值可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当 时，则 无法消去x，则A错误；
当 时，则 无法消去x，则B错误；
当 时，则 无法消去x，则C错误；
当 时，则 满足题意；
故答案为：D.
【分析】把各选项中a，b的值代入进行计算判断解题即可.
7．（2025七下·杭州月考）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，得：．
故答案为：A．
【分析】根据大长方形的宽为和小长方形的长与宽之间的关系列方程即可．
8．（2025七下·杭州月考）如图是一汽车探照灯纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线OB，OC经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】猪蹄模型；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OE∥CD
故答案为：A.
【分析】过点O作OE∥AB，则有AB∥OE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等得到然后根据角的和差解题即可.
9．（2025七下·杭州月考）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（　　）
A．-2和2 B．-2和4 C．2和-4 D．2和-2
【答案】D
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：将 代入方程 得：
解得：
将 代入方程 中，
故答案为：D.
【分析】把y=4代入方程求出x的值，然后代入第二个方程求出却少的常数项解答即可.
10．（2025七下·杭州月考）如图，将沿AC方向平移得到.设四边形ABED的周长为，四边形BCFE的周长为，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题知，
由平移可知，，
所以
所以
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质可得，求出 C1和C2的值求差解题即可.
11．（2025七下·杭州月考）把方程改写成用含x的代数式表示y，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解∶∵，
∴，
∴
故答案为∶．
【分析】通过移项，把含x的项一道等号右边，等式两边再同乘“﹣1”，即可得出答案．
12．（2025七下·杭州月考）如图，已知，点在射线AE上，若，则的度数为　 　.
【答案】140°
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
∴由平角的定义可得，，
所以 的度数为
故答案为：140°.
【分析】由AB∥CD得. 再由平角的定义求出 解题即可.
13．（2025七下·杭州月考）若x，y满足方程组，则的值为　 　.
【答案】29
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
得：
③-②得：
解得：
把 代入①得：
解得：
∴方程组的解为，
，
故答案为：29.
【分析】先根据加减消元法解方程求出x，y的值，然后代入代数式计算解题即可.
14．（2025七下·杭州月考）一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若摩擦力与重力方向的夹角的度数为，则角的度数为　 　.
【答案】
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵重力G的方向竖直向下，
∵摩擦力. 的方向与斜面平行，
故答案为：
【分析】由垂直的定义得到 ，由平行线的性质推出 ，由三角形的外角性质得到 求出即可.
15．（2025七下·杭州月考）若方程组解为则方程组的解为　 　.
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据两个方程组，得，
解得：
故答案为：.
【分析】根据两个方程组的特点，可得 解这个方程即可求解。
16．（2025七下·杭州月考）已知关于x，y方程组给出下列结论：正确的序号是　 　.
①方程组的解也是的解； ②x，y值不可能是互为相反数；
③不论取什么实数，的值始终不变； ④若，则.
【答案】①③④
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：①将方程组中两个方程相加，得
∴方程组的解也是 的解，故①正确；
②解方程组 得，
当x，y的值互为相反数时，
即
解得
∴当 时，x，y的值互为相反数，故②不正确；
③原方程组的解为，
∴不论a取什么实数， 的值始终不变，都为 故③正确；
④若 则
解得 故④正确；
综上， ①③④正确.
故答案为：①③④.
【分析】两方程相加计算判断①；求出方程组的解x，y的值，根据互为相反数求出a的值判断②；求出的值判断③；根据求出a的值判断④解答即可.
17．（2025七下·杭州月考）解二元一次方程组
【答案】解：
把②代入①得x+2=4，
解得x=2，
把x=2代入②得2+2y=1，
解得，
∴方程组的解为：；
②×5+①得17x=-20+3，
解得x=-1，
把x=-1代入①得y=2，
∴方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）运用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）运用加减入消元法解二元一次方程组即可.
18．（2025七下·杭州月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示.现将三角形ABC平移，使点移动到点，点E、F分别是点B、C的对应点.
（1）请画出平移后的三角形DEF；
（2）连接BE和CF；求四边形BCFE的面积．
【答案】（1）解：由题意得，三角形ABC向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形DEF，如图，三角形DEF即为所求.
（2）解：如图， 线段BE， CF即为所求.
四边形BCFE的面积为：3×2=6.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】(1)由题意得，三角形ABC向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形DEF，结合平移的性质画图即可.
(2)直接连接BE和CF即可，利用平行四边形的面积公式计算即可.
19．（2025七下·杭州月考）解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由①－②，得；
解法二：由②得③，
把①代入③得.
（1）反思：上述两种解题过程中你发现解法　 　的解题过程有错误（填“一”或“二”）；解二元一次方程组的基本思想是　 　.
（2）请选择你喜欢的方法解方程组
【答案】（1）一；消元思想
（2）解：选解法一：原方程整理得
②-①得x=3
将x=3代入①得3-3y=4
解得
所以方程组的解为
选解法二：原方程整理得
由①得： x-2=3y+2③
把③代入②得
将 代入①得， x+1=4
解得
所以方程组的解为 .
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：上述两种解题过程中解法一的解题过程有错误，
解法一： 由①-②，得
解二元一次方程组的基本思想消元思想，
故答案为：一，消元思想；
【分析】（1）根据加减消元或代入消元法的运算过程判断即可；
（2）先整理，然后利用加减消元法或代入消元法解题即可.
20．（2025七下·杭州月考）如图，在四边形ABCD中.点为AB延长线上一点，点为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点，交AD于点，若，求证：.
证明：
（　 　），
.
（　 　）.
（　 　）.
，
　 　//　 　.
.
【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；CF；EA
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】证明： (对顶角相等)， (已知)。
(等量代换)。
(同位角相等，两直线平行)。
(两直线平行，同旁内角互补)。
(已知)，
(等量代换)。
(同旁内角互补，两直线平行)。
(两直线平行，内错角相等)。
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；CF，EA.
【分析】先得到，然后根据同位角相等，两直线平行得到AD∥BC，即可得到同旁内角互补，然后等量代换得到 ，即可得到，进而得到结论即可.
21．（2025七下·杭州月考）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数.已知，
（1）求a、b的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由题意可知：
解得：；
（2）解：
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】(1)根据题意列出方程组即可求出a与b的值；
(2)根据新运算的定义即可求出答案.
22．（2025七下·杭州月考）已知直线分别与直线相交，且，
（1）直线平行吗？请说明理由。
（2）若，求的度数。
【答案】（1）解： 理由如下：
如图1，
（2）解：如图2，
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先得到∠1=∠5，然后根据同位角相等，两直线平行得到结论即可；
（2）先根据两直线∥内错角相等求出∠5，然后根据邻补角解题即可.
23．（2025七下·杭州月考）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点，如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点.
（1）若，求的度数.
（2）如图2，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H.
①若，求和的度数.
②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）.
【答案】（1）解：如图1， 由翻折的性质得：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，FN∥EM，
（2）解：①如图2，
∵AB∥CD，
由翻折的性质得：
∵AB∥CD，
∵继续沿PM进行第二次折叠，
②如图3，
∵AB∥CD，
由翻折得
∵继续沿PM进行第二次折叠，
，
∵AB∥CD，
.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据翻折得到然后根据两直线平行，同位角相等得到即可解题；
（2）①根据平行得到即可求出∠BMP的度数，然后根据翻折得到∠NMA的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可；
②根据平行得到根据翻折得到求出∠PMG的度数，然后表示∠2的度数解答即可.
24．（2025七下·杭州月考）根据以下素材，探索完成任务
奖品购买方案设计
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知每只钢笔的单价为9元，每本笔记本的单价为6元。
素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支
素材3 学校花费540元后，文具店赠送张（）兑换券（如图）用于商品兑换.兑换后，笔记本数量与钢笔相同.
问题解决
任务一 【探究购买方案】在不使用兄换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量
任务二 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案。
【答案】解：(1)设购买钢笔a支，购买笔记本b本，
由题意得：，
解得，
答：购买钢笔30支，笔记本45本；
(2)设其中y张用来兑换钢笔，则( 张兑换笔记本，
由题意得：
整理得：
∵1≤m < 10， m、 y均为正整数，
∴或 或；
∴有3种兑换方案：
①3张兑换钢笔；
②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；
③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设购买钢笔a支，购买笔记本b本，根据某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设其中y张用来兑换钢笔，则(m-y)张兑换笔记本，根据兑换后，笔记本数量与钢笔相同.列出二元一次方程，求出正整数解， 即可解决问题.
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