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2025年浙江省衢州市衢江区中考一模数学试卷
1．（2025·衢江模拟）下列各数中最大的数是（　　）
A．1 B．0 C． D．
2．（2025·衢江模拟）如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·衢江模拟）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·衢江模拟）下列式子的运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·衢江模拟）为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（　　）
A．9.2 B．9.4 C．9.5 D．9.6
6．（2025·衢江模拟）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·衢江模拟）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·衢江模拟）（我国古代算题）马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马，牛各价几何？设马价为每匹两，牛价为每头两，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·衢江模拟）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·衢江模拟）如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·衢江模拟）要使有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．（2025·衢江模拟）因式分解：　 　．
13．（2025·衢江模拟）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球　 　个．
14．（2025·衢江模拟）已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为　 　．
15．（2025·衢江模拟）如图，在中，，点是边上的一点，满足．若，则的度数为　 　°．（请用含的代数式表示）
16．（2025·衢江模拟）如图，在中，将沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为　 　．
17．（2025·衢江模拟）计算：
18．（2025·衢江模拟）解方程：
19．（2025·衢江模拟）小明研究一道尺规作图题：作一边上的高线．他的作法如下：如图，在中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线．
（1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
（2）若，，，求的面积．
20．（2025·衢江模拟）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）本次随机抽取多少名学生进行调查？并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中C对应圆心角的度数；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
21．（2025·衢江模拟）如图，中．，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（2025·衢江模拟）无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）求联合表演时长；
（2）求线段所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？
23．（2025·衢江模拟）已知二次函数，
（1）若抛物线的对称轴为直线，
①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式；
②当时，函数的最小值为，求的最大值．
（2）若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围．
24．（2025·衢江模拟）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点．
（1）如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：；
（2）若，点是边上的点，连结交于点，点是的中点，
①如图（2），若，求的长；
②如图（3），连接，当，且时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵；
∴最大的数是1；
故答案为：A．
【分析】根据有理数大小的比较法则"负数小于0，0小于正数，两个负数，绝对值大的反而小"判断即可求解．
2．【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，再根据邻补角互补即可求解.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1290000000=1.29×109.
故答案为：C.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴此选项不符合题意；
B、∵，∴此选项不符合题意；
C、∵，∴此选项不符合题意；
D、∵，∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据（7个）按照从小到大的顺序重新排列为：8.8，9.2，9.4，9.4， 9.5，9.5，9.6，
∴这组数据的中位数是9.4.
故答案为：B.
【分析】首先把收据按照从小到大的顺序重新排列，然后找到第4个数据也就是它们的中位数.
6．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
7．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，且点C的坐标为，
∴点坐标为，即：；
故答案为：C．
【分析】根据关于原点为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标关系“横、纵坐标变为原来的2倍”计算即可求解．
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意，可列方程组为：
；
故答案为：D．
【分析】根据题中的相等关系"四匹马的价格+六头牛的价格=四十八两，三匹马的价格+五头牛的价格=三十八两"列出关于x、y的方程组并结合各选项即可判断求解．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：将，两点分别代入和
得：，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由题意，将，两点分别代入和可将x1、x2用含a、k1、k2的代数式表示出来，计算x1-x2的值，结合"，"即可判断符号，然后根据不等式的性质即可求解．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设交于点，过点作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
∴；
故答案为：B．
【分析】设交于点，过点作，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，同理可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据这个比例式可将BH用含x的代数式表示出来，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可得y与x之间的函数关系式．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式要有意义，
∴，
∴，
故答案为；．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
13．【答案】12
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设红球有x个，由题意可得，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
故答案为：12．
【分析】设红球有x个，根据频率=红球个数÷总数可得关于x的方程，解方程即可求解．
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意，得：圆锥的侧面积为；
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可求解．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形内角和定理得，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】设，由等边对等角得∠B=，在△ABC中，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接，
∵和是圆周角所对的弧，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴，，
在，，
故答案为：．
【分析】延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，根据等腰三角形三线合一性质，得到，设，则，结合已知根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，整理可得，在中，利用勾股定理得到，即，解方程求出a的值，在Rt△ABH中，用勾股定理计算即可求解.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得20250=1，由特殊角的三角函数值可得tan60°=，由二次根式的性质可得=2，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：
，
解得： ，
经检验 是方程的解，
∴原方程的解为
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程的两边都乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出答案.
19．【答案】（1）解：同意，理由如下：连接，
由作图可知：，
∴垂直平分，
∴，即：为边上的高线．
（2）由（1）知：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】勾股定理；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）由作图可知：，根据线段的垂直平分线的判定“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可得垂直平分，则结论可得证；
（2）在Rt△AFC中，用勾股定理求出，在Rt△ABF中，用勾股定理求出的值，由线段的和差BC=BF+CF求出的长，再根据三角形的面积公式S△ABC=BC·AF计算即可求解．
（1）解：同意，证明如下：
连接，
由作图可知：，
∴垂直平分，
∴，即：为边上的高线．
（2）由（1）知：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
20．【答案】（1）解：本次调查的样本容量为：；
最喜欢“B足球”的学生人数为：人，
补全条形统计图，如图：
；
（2）解：扇形统计图中C对应圆心角的度数为：
；
（3）解：人，
即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分数可得，样本容量=用最喜欢“D羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比；根据各小组的频数之和等于样本容量可求出最喜欢“B足球”的学生人数，然后可将条形图补充完整；
（2）根据圆心角=360°×最喜欢“C排球”的学生人数所占的百分比计算即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：本次调查的样本容量是；
最喜欢“B足球”的学生人数为人，
补全条形统计图，如图：
；
（2）解：扇形统计图中C对应圆心角的度数为；
（3）解：人，
即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人．
21．【答案】（1）解：连接，则，
∵以点为圆心，为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
在Rt△OBD和Rt△OBC中
∴（HL），
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，，
∴的长为：．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】
（1）连接，由题意，用HL定理可证，由全等三角形的对应边相等可得，∠OBC=∠OBD，于是可得垂直平分，根据同角的余角相等得即可求证；
（2）根据特殊角的三角函数值tan∠ABC=可求得，结合（1）的结论可得，根据锐角三角函数tan∠OBC=求出的长，然后用弧长公式L=计算即可求解.
（1）解：连接，则，
∵以点为圆心，为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，，
∴的长为：．
22．【答案】（1）解：由图可知：乙无人机的速度为：，
∴当乙无人机到达距离地面时，所用时间为：，
∴联合表演时长；
答：联合表演时长为；
（2）由（1）可知：，
联合表演前：甲无人机的速度为：，
设直线的解析式为：，
把代入，
得：，
解得：；
∴；
（3）由题意可分三种情况：
①当甲无人机单独表演之前：，解得：；
由（2）知：直线的解析式为：，
当时，，即：无人机甲从到，进而单独表演，
②当甲无人机单独表演时：时，；
③当甲无人机单独表演之后，时，；
综上可得：两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）求出乙无人机的速度，进而求出乙无人机到达距离地面的高度为48米时的时间，用表演完成时的时间减去开始表演的时间，求解即可；
（2）求出甲无人机的速度，结合点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分甲单独表演之前和单独表演时和单独表演之后，三种情况进行讨论求解即可．
（1）解：由图可知：乙无人机的速度为：，
∴当乙无人机到达距离地面时，所用时间为：，
∴联合表演时长；
答：联合表演时长为；
（2）由（1）可知：，
联合表演前：甲无人机的速度为：，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
解得：；
∴；
（3）①当甲无人机单独表演之前：，解得：；
由（2）知：直线的解析式为：，
当时，，即：无人机甲从到，进而单独表演，
②当甲无人机单独表演时：时，；
③当甲无人机单独表演之后，时，；
综上：两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米．
23．【答案】（1）解：①由题意，得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为：；
∵时，函数的最小值为，
∴，
解得：，
∴的最大值为；
（2）解：∵当时，取值范围是，
∴当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大，
∵二次函数图象经过，两点，且，
∴，
解得：或；
故或．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①由题意，用待定系数法即可求解；
②根据①中求得的解析式得：当时，有最小值为，根据当时，函数的最小值为，得到，解之即可求解；
（2）根据时，取值范围是，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，求出的取值的范围即可．
（1）解：①由题意，得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为：；
∵时，函数的最小值为，
∴，
解得：，
∴的最大值为；
（2）解：∵当时，取值范围是，
∴当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大，
∵二次函数图象经过，两点，且，
∴，
解得：或；
故或．
24．【答案】（1）证明：连接交于点，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接交于点，连接，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即的长为2；
②设，则，
连接，，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；四边形的综合；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，根据矩形的性质可得，由三角形中位线的性质“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式即可求解；
（2）①连接交于点，连接，由三角形中位线定理求得，，再证明四边形是平行四边形，据此求解即可；
②设，则，连接，，作于点，求得，证明是线段的垂直平分线，求得，得到，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式求解．
（1）证明：连接交于点，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接交于点，连接，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即的长为2；
②设，则，连接，，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 12025年浙江省衢州市衢江区中考一模数学试卷
1．（2025·衢江模拟）下列各数中最大的数是（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵；
∴最大的数是1；
故答案为：A．
【分析】根据有理数大小的比较法则"负数小于0，0小于正数，两个负数，绝对值大的反而小"判断即可求解．
2．（2025·衢江模拟）如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，再根据邻补角互补即可求解.
3．（2025·衢江模拟）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1290000000=1.29×109.
故答案为：C.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
4．（2025·衢江模拟）下列式子的运算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴此选项不符合题意；
B、∵，∴此选项不符合题意；
C、∵，∴此选项不符合题意；
D、∵，∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
5．（2025·衢江模拟）为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（　　）
A．9.2 B．9.4 C．9.5 D．9.6
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把这组数据（7个）按照从小到大的顺序重新排列为：8.8，9.2，9.4，9.4， 9.5，9.5，9.6，
∴这组数据的中位数是9.4.
故答案为：B.
【分析】首先把收据按照从小到大的顺序重新排列，然后找到第4个数据也就是它们的中位数.
6．（2025·衢江模拟）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
7．（2025·衢江模拟）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，且点C的坐标为，
∴点坐标为，即：；
故答案为：C．
【分析】根据关于原点为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标关系“横、纵坐标变为原来的2倍”计算即可求解．
8．（2025·衢江模拟）（我国古代算题）马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马，牛各价几何？设马价为每匹两，牛价为每头两，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意，可列方程组为：
；
故答案为：D．
【分析】根据题中的相等关系"四匹马的价格+六头牛的价格=四十八两，三匹马的价格+五头牛的价格=三十八两"列出关于x、y的方程组并结合各选项即可判断求解．
9．（2025·衢江模拟）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：将，两点分别代入和
得：，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由题意，将，两点分别代入和可将x1、x2用含a、k1、k2的代数式表示出来，计算x1-x2的值，结合"，"即可判断符号，然后根据不等式的性质即可求解．
10．（2025·衢江模拟）如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设交于点，过点作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
∴；
故答案为：B．
【分析】设交于点，过点作，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，同理可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据这个比例式可将BH用含x的代数式表示出来，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可得y与x之间的函数关系式．
11．（2025·衢江模拟）要使有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式要有意义，
∴，
∴，
故答案为；．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．（2025·衢江模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
13．（2025·衢江模拟）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球　 　个．
【答案】12
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设红球有x个，由题意可得，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
故答案为：12．
【分析】设红球有x个，根据频率=红球个数÷总数可得关于x的方程，解方程即可求解．
14．（2025·衢江模拟）已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意，得：圆锥的侧面积为；
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可求解．
15．（2025·衢江模拟）如图，在中，，点是边上的一点，满足．若，则的度数为　 　°．（请用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由三角形内角和定理得，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】设，由等边对等角得∠B=，在△ABC中，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
16．（2025·衢江模拟）如图，在中，将沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接，
∵和是圆周角所对的弧，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴，，
在，，
故答案为：．
【分析】延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，根据等腰三角形三线合一性质，得到，设，则，结合已知根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，整理可得，在中，利用勾股定理得到，即，解方程求出a的值，在Rt△ABH中，用勾股定理计算即可求解.
17．（2025·衢江模拟）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得20250=1，由特殊角的三角函数值可得tan60°=，由二次根式的性质可得=2，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．（2025·衢江模拟）解方程：
【答案】解：
，
解得： ，
经检验 是方程的解，
∴原方程的解为
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程的两边都乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出答案.
19．（2025·衢江模拟）小明研究一道尺规作图题：作一边上的高线．他的作法如下：如图，在中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线．
（1）你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）解：同意，理由如下：连接，
由作图可知：，
∴垂直平分，
∴，即：为边上的高线．
（2）由（1）知：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】勾股定理；线段垂直平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）由作图可知：，根据线段的垂直平分线的判定“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可得垂直平分，则结论可得证；
（2）在Rt△AFC中，用勾股定理求出，在Rt△ABF中，用勾股定理求出的值，由线段的和差BC=BF+CF求出的长，再根据三角形的面积公式S△ABC=BC·AF计算即可求解．
（1）解：同意，证明如下：
连接，
由作图可知：，
∴垂直平分，
∴，即：为边上的高线．
（2）由（1）知：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
20．（2025·衢江模拟）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
（1）本次随机抽取多少名学生进行调查？并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中C对应圆心角的度数；
（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数．
【答案】（1）解：本次调查的样本容量为：；
最喜欢“B足球”的学生人数为：人，
补全条形统计图，如图：
；
（2）解：扇形统计图中C对应圆心角的度数为：
；
（3）解：人，
即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分数可得，样本容量=用最喜欢“D羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比；根据各小组的频数之和等于样本容量可求出最喜欢“B足球”的学生人数，然后可将条形图补充完整；
（2）根据圆心角=360°×最喜欢“C排球”的学生人数所占的百分比计算即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：本次调查的样本容量是；
最喜欢“B足球”的学生人数为人，
补全条形统计图，如图：
；
（2）解：扇形统计图中C对应圆心角的度数为；
（3）解：人，
即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人．
21．（2025·衢江模拟）如图，中．，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：连接，则，
∵以点为圆心，为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
在Rt△OBD和Rt△OBC中
∴（HL），
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，，
∴的长为：．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】
（1）连接，由题意，用HL定理可证，由全等三角形的对应边相等可得，∠OBC=∠OBD，于是可得垂直平分，根据同角的余角相等得即可求证；
（2）根据特殊角的三角函数值tan∠ABC=可求得，结合（1）的结论可得，根据锐角三角函数tan∠OBC=求出的长，然后用弧长公式L=计算即可求解.
（1）解：连接，则，
∵以点为圆心，为半径作圆与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，，
∴的长为：．
22．（2025·衢江模拟）无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）求联合表演时长；
（2）求线段所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？
【答案】（1）解：由图可知：乙无人机的速度为：，
∴当乙无人机到达距离地面时，所用时间为：，
∴联合表演时长；
答：联合表演时长为；
（2）由（1）可知：，
联合表演前：甲无人机的速度为：，
设直线的解析式为：，
把代入，
得：，
解得：；
∴；
（3）由题意可分三种情况：
①当甲无人机单独表演之前：，解得：；
由（2）知：直线的解析式为：，
当时，，即：无人机甲从到，进而单独表演，
②当甲无人机单独表演时：时，；
③当甲无人机单独表演之后，时，；
综上可得：两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）求出乙无人机的速度，进而求出乙无人机到达距离地面的高度为48米时的时间，用表演完成时的时间减去开始表演的时间，求解即可；
（2）求出甲无人机的速度，结合点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分甲单独表演之前和单独表演时和单独表演之后，三种情况进行讨论求解即可．
（1）解：由图可知：乙无人机的速度为：，
∴当乙无人机到达距离地面时，所用时间为：，
∴联合表演时长；
答：联合表演时长为；
（2）由（1）可知：，
联合表演前：甲无人机的速度为：，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
解得：；
∴；
（3）①当甲无人机单独表演之前：，解得：；
由（2）知：直线的解析式为：，
当时，，即：无人机甲从到，进而单独表演，
②当甲无人机单独表演时：时，；
③当甲无人机单独表演之后，时，；
综上：两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米．
23．（2025·衢江模拟）已知二次函数，
（1）若抛物线的对称轴为直线，
①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式；
②当时，函数的最小值为，求的最大值．
（2）若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围．
【答案】（1）解：①由题意，得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为：；
∵时，函数的最小值为，
∴，
解得：，
∴的最大值为；
（2）解：∵当时，取值范围是，
∴当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大，
∵二次函数图象经过，两点，且，
∴，
解得：或；
故或．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①由题意，用待定系数法即可求解；
②根据①中求得的解析式得：当时，有最小值为，根据当时，函数的最小值为，得到，解之即可求解；
（2）根据时，取值范围是，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，求出的取值的范围即可．
（1）解：①由题意，得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为：；
∵时，函数的最小值为，
∴，
解得：，
∴的最大值为；
（2）解：∵当时，取值范围是，
∴当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大，
∵二次函数图象经过，两点，且，
∴，
解得：或；
故或．
24．（2025·衢江模拟）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点．
（1）如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：；
（2）若，点是边上的点，连结交于点，点是的中点，
①如图（2），若，求的长；
②如图（3），连接，当，且时，求的值．
【答案】（1）证明：连接交于点，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接交于点，连接，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即的长为2；
②设，则，
连接，，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；四边形的综合；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，根据矩形的性质可得，由三角形中位线的性质“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式即可求解；
（2）①连接交于点，连接，由三角形中位线定理求得，，再证明四边形是平行四边形，据此求解即可；
②设，则，连接，，作于点，求得，证明是线段的垂直平分线，求得，得到，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式求解．
（1）证明：连接交于点，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接交于点，连接，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即的长为2；
②设，则，连接，，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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