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2025年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考一模数学试题
1．（2025·长沙模拟）人体的正常体温大约为，如果低于正常体温记作，那么高于正常体温应该记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵低于正常体温记作，
∴高于正常体温应该记作，
故答案为：B ．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．（2025·长沙模拟）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达亿个模型参数，数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
3．（2025·长沙模拟）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”项逐判断解答即可．
4．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2×a3=a2+3=a5，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a2+a2=2a2，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(a-b)2=a2-2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(-a2)3=a2×3=a6，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
5．（2025·长沙模拟）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　）
A． B． C．60 D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为，
∴底面圆的周长为，
∴圆锥侧面展开图的扇形弧长为，
∴扇形面积，
故答案为：B ．
【分析】根据圆锥侧面的展开图是扇形，由扇形面积的公式“扇形弧长扇形半径”计算即可求解．
6．（2025·长沙模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为，
故答案为：D．
【分析】根据正切的定义用含的式子表示的长解题即可．
7．（2025·长沙模拟）一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 一次函数中，k=-2＜0，b=3＞0，
∴此函数经过一、二、四象限，则不经过第三象限；
故答案为：C.
【分析】一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时， 一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时， 一次函数图象经过第二、三、四象限；据此解答即可.
8．（2025·长沙模拟）下列采用的调查方式中，合理的是（　　）
A．对全国所有中小学生进行健康调查，采用普查方式
B．统计成都树德实验中学七年级六班学生视力情况，采用抽样调查
C．检查神舟飞船十七号的各零部件，采用抽样调查
D．了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．对全国所有中小学生进行健康调查，应该采用抽样调查，故A选项不符合题意；
B．统计成都树德实验中学七年级六班学生视力情况，应该采用全面调查，故B选项不符合题意；
C．检查神舟飞船十七号的各零部件，应该采用全面调查，故C选项不符合题意；
D．了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果情况，适合采用抽样调查，故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用抽样调查与全面调查的定义逐项判断解题．
9．（2025·长沙模拟）如图，矩形的顶点D在的图象的一个分支上，点和点在边上，，连接，轴，则k的值为（　　）
A．-2 B．-3 C．-4 D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；A字型相似模型
10．（2025·长沙模拟）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：四边形，和都是正方形，
，∠ADC=∠FDC=∠BCD=90°，
，
，
，
，
∵∠FDC=∠BCD=90°，∠FED=∠BEC，
，
，
，
，
设，，
，
，
在和中
，
（），
，
，
故答案为：A．
【分析】由正方形的性质及相似三角形的判定方法“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的性质“相似三角形的面积的比等于相似比的平方”和开平方可得，设，，结合已知，用可证，由全等三角形的性质得，再根据正切函数的定义tan∠GFI=计算即可求解．
11．（2025·长沙模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用分式有意义的条件分母不等于零求出x的取值范围即可．
12．（2025·长沙模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】观察多项式，每一项都含有公因式ax，于是先提公因式ax，然后用平方差公式将括号内的因式进行因式分解即可求解．
13．（2025·长沙模拟）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为　 　．
【答案】6.3
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为：
，
故答案为：6.3.
【分析】根据用频率估计概率可得，这个区域内黑色部分的总面积=用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可求解.
14．（2025·长沙模拟）如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，作直线分别交于点，若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：是的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
.
故答案为：．
【分析】由题意得是的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AD=BD，根据平角的性质并结合可求出，由等腰三角形的三线合一可得，由直角三角形两锐角互余可求出，然后根据等边对等角求得∠C的度数，在△ACD中，用三角形内角和等于180°计算即可求解．
15．（2025·长沙模拟）如图，点在上，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
．
故答案为：．
【分析】根据圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”可得，然后在△ACD中，根据三角形内角和定理“三角形三内角的和等于180°”可求解．
16．（2025·长沙模拟）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字　 　．
【答案】4
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知，第一行中与第二行中肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，
∴白卡片数字1摆在了标注字母的位置，
∴黑卡片数字1摆在了标注字母的位置，
∵第一行中与第二行中肯定有一张为白2，若第二行中为白2，则只能是黑1，黑2，而为黑1，矛盾，
∴第一行中为白2；
∵第一行中与第二行中肯定有一张为白3，若第一行中为白3，则，只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，
∴第二行中为白3，
∴第二行中为黑2，为黑3；
∵ 第一行中与第二行中肯定有一张为白4，若第一行中为白4，则，只能是黑3，黑4，与为黑3矛盾，
∴第二行中为白4．
故答案为：4．
【分析】根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可求解．
17．（2025·长沙模拟）计算：．
【答案】解：原式
=3．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=3，由特殊角的三角函数值可得sin60°=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（2025-π）0=1，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．（2025·长沙模拟）解不等式组并写出它的非负整数解．
【答案】解：
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出每一个不等式的解，根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，再求出非负整数解即可．
19．（2025·长沙模拟）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明．
（1）请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子；
（2）若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度．
【答案】（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴灯泡离地面的高度为．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】
（1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子；
（2）根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边成比例列得比例式，根据这个比例式可得关于PN的方程，解方程即可求解．
（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴灯泡离地面的高度为．
20．（2025·长沙模拟）为了弘扬科学创新精神，某中学开展了科学知识竞答活动，学校随机抽取了七年级部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：．已知组的数据为：70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查的样本容量为____________，并补全频数分布直方图；
（2）抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为____________；
（3）该校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校七年级1000名学生中获得一等奖的学生人数．
【答案】（1）， 补全频数分布直方如下，
（2）分
（3）解：（人），
估计该校七年级名学生中获得一等奖的学生约为人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：由频数分布直方图可知：组人数为人，
由扇形统计图可知：组人数占比为，
本次随机抽查的学生总人数为：（人），
故答案为：，
由扇形统计图可知：组人数占比为，
组人数为：（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）解：抽取的七年级部分同学排在第名和第名的成绩分别为和，
抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为：（分），
故答案为：分.
【分析】
（1）由频数分布直方图可知，组人数为人，由扇形统计图可知，组人数占比为，然后由样本容量=频数÷百分比可求得本次随机抽查的学生总人数；由扇形统计图可知，组人数占比为，用总人数乘以组人数占比即可求出组人数，然后补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.”即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：由频数分布直方图可知：组人数为人，
由扇形统计图可知：组人数占比为，
本次随机抽查的学生总人数为：（人），
故答案为：，
由扇形统计图可知：组人数占比为，
组人数为：（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）解：抽取的七年级部分同学排在第名和第名的成绩分别为和，
抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为：（分），
故答案为：分；
（3）解：（人），
估计该校七年级名学生中获得一等奖的学生约为人．
21．（2025·长沙模拟）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）求证：；
（2）若，，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，，，
∴，
∴，
在△EBC和△FGC中
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由角的和差可得，结合已知用角边角即可证明；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对角相等”可得，，由角的和差可得∠ECF=90°，由（1）中的全等三角形可得，然后根据等腰直角三角形的定义即可判断求解．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
22．（2025·长沙模拟）北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系式．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表：
水平距离/m 6 7 7.5
竖直高度/m 10 10 6.25
根据上述数据，求出与的函数关系式；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为m，比赛当天入水点与原点的水平距离为m，请比较与的大小．
【答案】（1）解：由表格数据可知，抛物线顶点为，
抛物线过点，
抛物线的对称轴是直线，
抛物线为．
抛物线过点，代入解得，
抛物线为；
（2）解：由题意，平时跳水训练的抛物线为，
令，解得（不合题意，舍去）或，
．
又比赛当天跳水的抛物线为，
令，解得（不合题的意的值已舍去），
即．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
（1）根据表格中的信息，用待定系数法可求解；
（2）根据（1）中求得的函数关系式可分别求出与的值，比较大小即可求解．
（1）解：由表格数据可知，抛物线顶点为，
抛物线过点，
抛物线的对称轴是直线，
抛物线为．
抛物线过点，代入解得，
抛物线为；
（2）解：由题意，平时跳水训练的抛物线为，
令，解得（不合题意，舍去）或，
．
又比赛当天跳水的抛物线为，
令，解得（不合题的意的值已舍去），
即．
23．（2025·长沙模拟）如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴，
∵，
，
，
∴；
（3）解：∵，
∴在中，，
∴．
答：阴影部分的面积为16-.
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】
（1）连接，如图，由圆的切线垂直于经过切点的半径可得OC⊥CE，根据垂径定理并结合为的中点可得为的垂直平分线，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，于海用边边边可证，由全等三角形的对应角相等可得出，再根据切线的判定定理可得与相切；
（2）设的半径为，则，，在Rt△OBD中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得OD=OB可得关于x的方程，解方程求得x的值，于是根据OE=2x可求解；
（3）在Rt△OBD中，用边角关系求得BE的值，由阴影部分面积的构成并结合扇形的面积公式计算即可求解．
（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴，
∵，
，
，
∴；
（3）解：∵，
∴在中，，
∴．
24．（2025·长沙模拟）如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点．
（1）求的度数；
（2）填空：
①______________，②______________，③______________；
（3）记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为．
①若，求的值；
②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在菱形中，，，
，
，，则，
是等边三角形，则，
在和中，
，
，
，
；
（2）1，0，1
（3）解：①由（2）中③可知：，
，
由（2）中②可知：，
，
，
，
，
，
，
设、的高为，
；
②，
，
，
，
，
同理可证明，
，
设，
，
当时，的值最小，最小值为．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
（2）
解：①由（1）知，，
；
②由（1）知，
，
，
是等边三角形，则，
，，
，
，
，
，，
；
③，，
，
，
，则；
，，
，
，
，则；
；
故答案为：①；②；③；
【分析】
（1）先由菱形性质可得∠B=∠D=∠ACD=∠BAC=60°，根据有两个角为60度的三角形是等边三角形可得△ACD是等边三角形，由等边三角形的各边都相等可得AC=DC，用边角边可证△AEC≌△DFC，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据角的和差和等式的性质可求解；
（2）用相似三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定找出线段之间的比例关系进行计算即可求解；
（3）①根据已知条件结合相似三角形的性质可求解；
②根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AFG∽△ACE，△AGE∽△AFC，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得与x之间的函数关系式，将这个关系式配成顶点式，根据二次函数的性质可求解．
（1）解：在菱形中，，，
，
，，则，
是等边三角形，则，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：①由（1）知，，
；
②由（1）知，
，
，
是等边三角形，则，
，，
，
，
，
，，
；
③，，
，
，
，则；
，，
，
，
，则；
；
故答案为：①；②；③；
（3）解：①由（2）中③可知：，
，
由（2）中②可知：，
，
，
，
，
，
，
设、的高为，
；
②，
，
，
，
，
同理可证明，
，
设，
，
当时，的值最小，最小值为．
25．（2025·长沙模拟）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数．
（1）试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由；
（2）已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式；
（3）如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上可得，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，
设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据“属合成”函数的定义，联立方程组求解即可；
（2）设两函数图象的交点横坐标为和，根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据存在“属合成”函数为，得到，即，可求出，再分类讨论计算即可求解；
（3）根据题意，结合（2）的计算方法得到，“2属合成”函数解析式为，根据二次函数顶点坐标可得，，如图，作垂线和，可证，设，可求得，可证，求出，，点在以为圆心，为半径的圆上，设，根据数量关系列式求解即可．
（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
1 / 12025年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团联考一模数学试题
1．（2025·长沙模拟）人体的正常体温大约为，如果低于正常体温记作，那么高于正常体温应该记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·长沙模拟）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达亿个模型参数，数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长沙模拟）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·长沙模拟）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　）
A． B． C．60 D．
6．（2025·长沙模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为，已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·长沙模拟）一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2025·长沙模拟）下列采用的调查方式中，合理的是（　　）
A．对全国所有中小学生进行健康调查，采用普查方式
B．统计成都树德实验中学七年级六班学生视力情况，采用抽样调查
C．检查神舟飞船十七号的各零部件，采用抽样调查
D．了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查
9．（2025·长沙模拟）如图，矩形的顶点D在的图象的一个分支上，点和点在边上，，连接，轴，则k的值为（　　）
A．-2 B．-3 C．-4 D．
10．（2025·长沙模拟）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·长沙模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　.
12．（2025·长沙模拟）因式分解：　 　．
13．（2025·长沙模拟）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为　 　．
14．（2025·长沙模拟）如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，作直线分别交于点，若，则的度数是　 　．
15．（2025·长沙模拟）如图，点在上，，则　 　．
16．（2025·长沙模拟）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字　 　．
17．（2025·长沙模拟）计算：．
18．（2025·长沙模拟）解不等式组并写出它的非负整数解．
19．（2025·长沙模拟）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明．
（1）请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子；
（2）若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度．
20．（2025·长沙模拟）为了弘扬科学创新精神，某中学开展了科学知识竞答活动，学校随机抽取了七年级部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：．已知组的数据为：70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79，根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查的样本容量为____________，并补全频数分布直方图；
（2）抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为____________；
（3）该校要对成绩为E组的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校七年级1000名学生中获得一等奖的学生人数．
21．（2025·长沙模拟）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）求证：；
（2）若，，试判断的形状，并说明理由．
22．（2025·长沙模拟）北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系式．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表：
水平距离/m 6 7 7.5
竖直高度/m 10 10 6.25
根据上述数据，求出与的函数关系式；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，设她平时训练时入水点与原点的水平距离为m，比赛当天入水点与原点的水平距离为m，请比较与的大小．
23．（2025·长沙模拟）如图，是以为直径的上一点，为的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
24．（2025·长沙模拟）如图，在菱形中，，点分别是上的动点，满足，连接与交于点．
（1）求的度数；
（2）填空：
①______________，②______________，③______________；
（3）记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为．
①若，求的值；
②试判断的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
25．（2025·长沙模拟）定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数．
（1）试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由；
（2）已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式；
（3）如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵低于正常体温记作，
∴高于正常体温应该记作，
故答案为：B ．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”项逐判断解答即可．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2×a3=a2+3=a5，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a2+a2=2a2，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(a-b)2=a2-2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(-a2)3=a2×3=a6，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为，
∴底面圆的周长为，
∴圆锥侧面展开图的扇形弧长为，
∴扇形面积，
故答案为：B ．
【分析】根据圆锥侧面的展开图是扇形，由扇形面积的公式“扇形弧长扇形半径”计算即可求解．
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为，
故答案为：D．
【分析】根据正切的定义用含的式子表示的长解题即可．
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 一次函数中，k=-2＜0，b=3＞0，
∴此函数经过一、二、四象限，则不经过第三象限；
故答案为：C.
【分析】一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时， 一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时， 一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时， 一次函数图象经过第二、三、四象限；据此解答即可.
8．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．对全国所有中小学生进行健康调查，应该采用抽样调查，故A选项不符合题意；
B．统计成都树德实验中学七年级六班学生视力情况，应该采用全面调查，故B选项不符合题意；
C．检查神舟飞船十七号的各零部件，应该采用全面调查，故C选项不符合题意；
D．了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果情况，适合采用抽样调查，故D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用抽样调查与全面调查的定义逐项判断解题．
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；A字型相似模型
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：四边形，和都是正方形，
，∠ADC=∠FDC=∠BCD=90°，
，
，
，
，
∵∠FDC=∠BCD=90°，∠FED=∠BEC，
，
，
，
，
设，，
，
，
在和中
，
（），
，
，
故答案为：A．
【分析】由正方形的性质及相似三角形的判定方法“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的性质“相似三角形的面积的比等于相似比的平方”和开平方可得，设，，结合已知，用可证，由全等三角形的性质得，再根据正切函数的定义tan∠GFI=计算即可求解．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用分式有意义的条件分母不等于零求出x的取值范围即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】观察多项式，每一项都含有公因式ax，于是先提公因式ax，然后用平方差公式将括号内的因式进行因式分解即可求解．
13．【答案】6.3
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为：
，
故答案为：6.3.
【分析】根据用频率估计概率可得，这个区域内黑色部分的总面积=用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可求解.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：是的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
.
故答案为：．
【分析】由题意得是的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AD=BD，根据平角的性质并结合可求出，由等腰三角形的三线合一可得，由直角三角形两锐角互余可求出，然后根据等边对等角求得∠C的度数，在△ACD中，用三角形内角和等于180°计算即可求解．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
．
故答案为：．
【分析】根据圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”可得，然后在△ACD中，根据三角形内角和定理“三角形三内角的和等于180°”可求解．
16．【答案】4
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意知，第一行中与第二行中肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，
∴白卡片数字1摆在了标注字母的位置，
∴黑卡片数字1摆在了标注字母的位置，
∵第一行中与第二行中肯定有一张为白2，若第二行中为白2，则只能是黑1，黑2，而为黑1，矛盾，
∴第一行中为白2；
∵第一行中与第二行中肯定有一张为白3，若第一行中为白3，则，只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，
∴第二行中为白3，
∴第二行中为黑2，为黑3；
∵ 第一行中与第二行中肯定有一张为白4，若第一行中为白4，则，只能是黑3，黑4，与为黑3矛盾，
∴第二行中为白4．
故答案为：4．
【分析】根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可求解．
17．【答案】解：原式
=3．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=3，由特殊角的三角函数值可得sin60°=，由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（2025-π）0=1，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出每一个不等式的解，根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，再求出非负整数解即可．
19．【答案】（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴灯泡离地面的高度为．
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】
（1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子；
（2）根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边成比例列得比例式，根据这个比例式可得关于PN的方程，解方程即可求解．
（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子．
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴灯泡离地面的高度为．
20．【答案】（1）， 补全频数分布直方如下，
（2）分
（3）解：（人），
估计该校七年级名学生中获得一等奖的学生约为人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：由频数分布直方图可知：组人数为人，
由扇形统计图可知：组人数占比为，
本次随机抽查的学生总人数为：（人），
故答案为：，
由扇形统计图可知：组人数占比为，
组人数为：（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）解：抽取的七年级部分同学排在第名和第名的成绩分别为和，
抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为：（分），
故答案为：分.
【分析】
（1）由频数分布直方图可知，组人数为人，由扇形统计图可知，组人数占比为，然后由样本容量=频数÷百分比可求得本次随机抽查的学生总人数；由扇形统计图可知，组人数占比为，用总人数乘以组人数占比即可求出组人数，然后补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.”即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
（1）解：由频数分布直方图可知：组人数为人，
由扇形统计图可知：组人数占比为，
本次随机抽查的学生总人数为：（人），
故答案为：，
由扇形统计图可知：组人数占比为，
组人数为：（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）解：抽取的七年级部分同学排在第名和第名的成绩分别为和，
抽取的七年级部分同学的成绩的中位数为：（分），
故答案为：分；
（3）解：（人），
估计该校七年级名学生中获得一等奖的学生约为人．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，，，
∴，
∴，
在△EBC和△FGC中
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由角的和差可得，结合已知用角边角即可证明；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对角相等”可得，，由角的和差可得∠ECF=90°，由（1）中的全等三角形可得，然后根据等腰直角三角形的定义即可判断求解．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
22．【答案】（1）解：由表格数据可知，抛物线顶点为，
抛物线过点，
抛物线的对称轴是直线，
抛物线为．
抛物线过点，代入解得，
抛物线为；
（2）解：由题意，平时跳水训练的抛物线为，
令，解得（不合题意，舍去）或，
．
又比赛当天跳水的抛物线为，
令，解得（不合题的意的值已舍去），
即．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
（1）根据表格中的信息，用待定系数法可求解；
（2）根据（1）中求得的函数关系式可分别求出与的值，比较大小即可求解．
（1）解：由表格数据可知，抛物线顶点为，
抛物线过点，
抛物线的对称轴是直线，
抛物线为．
抛物线过点，代入解得，
抛物线为；
（2）解：由题意，平时跳水训练的抛物线为，
令，解得（不合题意，舍去）或，
．
又比赛当天跳水的抛物线为，
令，解得（不合题的意的值已舍去），
即．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴，
∵，
，
，
∴；
（3）解：∵，
∴在中，，
∴．
答：阴影部分的面积为16-.
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】
（1）连接，如图，由圆的切线垂直于经过切点的半径可得OC⊥CE，根据垂径定理并结合为的中点可得为的垂直平分线，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，于海用边边边可证，由全等三角形的对应角相等可得出，再根据切线的判定定理可得与相切；
（2）设的半径为，则，，在Rt△OBD中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得OD=OB可得关于x的方程，解方程求得x的值，于是根据OE=2x可求解；
（3）在Rt△OBD中，用边角关系求得BE的值，由阴影部分面积的构成并结合扇形的面积公式计算即可求解．
（1）证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
在中，，
∴，
即，
解得，
∴，
∵，
，
，
∴；
（3）解：∵，
∴在中，，
∴．
24．【答案】（1）解：在菱形中，，，
，
，，则，
是等边三角形，则，
在和中，
，
，
，
；
（2）1，0，1
（3）解：①由（2）中③可知：，
，
由（2）中②可知：，
，
，
，
，
，
，
设、的高为，
；
②，
，
，
，
，
同理可证明，
，
设，
，
当时，的值最小，最小值为．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；二次函数-面积问题
【解析】【解答】
（2）
解：①由（1）知，，
；
②由（1）知，
，
，
是等边三角形，则，
，，
，
，
，
，，
；
③，，
，
，
，则；
，，
，
，
，则；
；
故答案为：①；②；③；
【分析】
（1）先由菱形性质可得∠B=∠D=∠ACD=∠BAC=60°，根据有两个角为60度的三角形是等边三角形可得△ACD是等边三角形，由等边三角形的各边都相等可得AC=DC，用边角边可证△AEC≌△DFC，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据角的和差和等式的性质可求解；
（2）用相似三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定找出线段之间的比例关系进行计算即可求解；
（3）①根据已知条件结合相似三角形的性质可求解；
②根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AFG∽△ACE，△AGE∽△AFC，由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得与x之间的函数关系式，将这个关系式配成顶点式，根据二次函数的性质可求解．
（1）解：在菱形中，，，
，
，，则，
是等边三角形，则，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：①由（1）知，，
；
②由（1）知，
，
，
是等边三角形，则，
，，
，
，
，
，，
；
③，，
，
，
，则；
，，
，
，
，则；
；
故答案为：①；②；③；
（3）解：①由（2）中③可知：，
，
由（2）中②可知：，
，
，
，
，
，
，
设、的高为，
；
②，
，
，
，
，
同理可证明，
，
设，
，
当时，的值最小，最小值为．
25．【答案】（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上可得，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，
设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据“属合成”函数的定义，联立方程组求解即可；
（2）设两函数图象的交点横坐标为和，根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据存在“属合成”函数为，得到，即，可求出，再分类讨论计算即可求解；
（3）根据题意，结合（2）的计算方法得到，“2属合成”函数解析式为，根据二次函数顶点坐标可得，，如图，作垂线和，可证，设，可求得，可证，求出，，点在以为圆心，为半径的圆上，设，根据数量关系列式求解即可．
（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
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