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2024年湖南省岳阳市经开区中考模拟数学试题 (三)
1．（2024九下·岳阳模拟）下列四个实数中，位于 3 和4之间的是（　　）
A． B． C．π D．
2．（2024九下·岳阳模拟）计算 等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·岳阳模拟）下列图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·岳阳模拟）某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（　　）
A．200个 B．180个 C．240个 D．150个
5．（2024九下·岳阳模拟）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·岳阳模拟）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·岳阳模拟）如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A'处，得新正方形A'B'C'D'，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（　　）．
A． B． C．1 D．
8．（2024九下·岳阳模拟）张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米，某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，则可列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024九下·岳阳模拟）下表是二次函数 （b，c均为整数）的自变量x与因变量y的部分对应值.
自变量x 0.07 1.33
因变量y 7.0089 0.1664 1.4025 3.2849 10.0889
给出下列判断，其中错误的是（　　）
A．该抛物线的对称轴是直线
B．该二次函数的最小值为
C．当 、 时，
D．当 时，
10．（2024九下·岳阳模拟）已知实数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是的差倒数是.如果是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数...依次类推，则（　　）
A．48.5 B．49.5 C．50 D．51.5
11．（2024九下·岳阳模拟）若是的算术平方根，而的算术平方根是，则　 　．
12．（2024九下·岳阳模拟）不等式组 的解集是　 　.
13．（2024九下·岳阳模拟）如图，，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2=　 　．
14．（2024九下·岳阳模拟）已知 ，则的余角大小是　 　．
15．（2024九下·岳阳模拟）已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是　 　．
16．（2024九下·岳阳模拟）甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是环，方差分别是 ，则射击成绩较稳定的是　 　(填“甲”或“乙”)．
17．（2024九下·岳阳模拟）将抛物线 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为　 　．
18．（2024九下·岳阳模拟）如图，将一块长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2时共走过的路径长为　 　cm.(结果保留π)
19．（2024九下·岳阳模拟）计算：
20．（2024九下·岳阳模拟）先化简， 再求值：，其中．
21．（2024九下·岳阳模拟）达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m= ，n= ，并把条形统计图补充完整．
（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）
22．（2024九下·岳阳模拟）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
23．（2024九下·岳阳模拟）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内．
（1）求P到的距离；
（2）求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，）
24．（2024九下·岳阳模拟）如图，在中，是边上一点， ，是的外接圆，是的直径，且交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作，垂足为点，延长交于点，若，求的长．
25．（2024九下·岳阳模拟）我们定义：平面直角坐标系中点到x轴的距离称为点P的偏离距离，如的偏离距离为2．已知抛物线 与直线相交于不同的两点A，B，其中点A在y轴负半轴，且偏离距离为点 B的坐标为 其中a，b，c，m，n为实数， 且a，m不为0．
（1）求c的值；
（2）设抛物线 上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为和，求的值；
（3）若函数图象在上所有点的偏离距离的最大值记为d，如函数 在 上的最大偏离距离 求抛物线在上的最大偏离距离d的最小值．
26．（2024九下·岳阳模拟）在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．
（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图2，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：因为，，，，
∴位于3和4之间的数是．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的估算解答即可．
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】原式．
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则运算解题．
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是旋转对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、此选项中的图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设黄球的数量为x，根据题意得
解得．
经检验是方程的解且符合题意 ，
所以袋子中黄球有150．
故答案为：D．
【分析】设黄球的数量为x，根据概率公式列方程解题即可．
5．【答案】B
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A：不是将多项式分解成几个整式的乘积的形式，故选项A错误；
B：，故选项B正确；
C：，故选项C错误；
D：，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的概念“因式分解是将一个多项式分解成几个整式的乘积的形式”逐项判断解题.
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设正比例函数解析式为，
将代入得：，
∴正比例函数解析式为，
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故在该正比例函数图象上，符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求正比例函数解析式，然后代入检验即可解题．
7．【答案】B
【知识点】平移的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：平移后，阴影部分和原正方形位似，位似中心为点，
又重叠部分的正方形对角线是正方形ABCD对角线的一半，因为相似形面积比是线段比的平方，所以重叠部分正方形的面积是正方形ABCD面积的，而正方形ABCD面积是2，所以重叠部分正方形的面积是．
故答案为：B．
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方解答即可．
8．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设张老师骑自行车的速度是x米/分，则李老师骑自行车的速度是1.2x米/分，根据题意可得： .
故答案为：A.
【分析】设张老师骑自行车的速度是x米/分，则李老师骑自行车的速度是1.2x米/分，根据题意可得等量关系：张老师行驶的路程3000÷他的速度-李老师行驶的路程3000÷他的速度=5分钟，根据等量关系列出方程即可.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据表格将和代入二次函数解析式，得：
解得：
故该二次函数解析式为：y=x2 +4x+3 ， 化为顶点式为：y=(x+2)2-1 ；
∴该抛物线的对称轴是直线x=-2 ， 故A正确，不符合题意；
∴该二次函数的最小值为-1，故B正确，不符合题意；
∵x1=-4.29关于对称轴x= -2对称为x0=0.29 ，
∴y1=y0，
∵当x>-2时，y随x的增大而增大，
∴y0>y2， 即y1>y2，故C正确，不符合题意；
∵x3> x4>0，∴y3>y4，
∴x3-x4>0，y3-y4>0，
.(x3-x4)（y3-y4)>0 ， 故D错误，符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用待定系数法求出该二次函数解析式，并改为顶点式，即可判断A和B选项，利用二次函数的对称性和增减性即可判断C和D选项。
10．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：∵a1=-1，
∴a2==，a3==2，a4==-1，……
∴这列数以-1，，2依次循环，且-1++2=，
∵100÷3=33…1，
∴a1+a2+…+a100=33×-1=48.5.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算求出a2、a3、a4的值，发现这列数以-1，，2依次循环，且-1++2=，据此计算.
11．【答案】260
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：是的算术平方根，
，
又的算术平方根是，
，
，
故答案为：．
【分析】利用算术平方根的定义求出、的值，然后代入计算解题．
12．【答案】x≤
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式1-2x≥0 , 得x≤
解不等式3x-1<4 , 得x<
故该不等式组的解集为: x≤
故答案为: x≤
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集,即为不等式组的解集.
13．【答案】54°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
14．【答案】
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵，
∴的余角，
故答案为：．
【分析】根据和为90°的两个角互余解答即可．
15．【答案】15
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设所求n边形边数为n，
则，
解得．
故这个多边形的边数是15．
故答案为：15．
【分析】本根据多边形的内角和公式，进行计算即可．
16．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴乙的射击成绩较稳定，
故答案为：乙．
【分析】比较方差，根据方差越稳定解答即可．
17．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为，
故答案为：．
【分析】利用二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”解答即可．
18．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由图可得
则共走过的路径长
故答案为：
【分析】先根据勾股定理求出AB长，然后利用弧长公式计算解题.
19．【答案】解：原式=（ ）﹣1 ﹣ +8×0.125，
= ，
=1.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊锐角三角函数值、负指数的意义、绝对值的意义、二次根式的性质、乘方的意义分别化简，再根据实数的乘法运算法则计算乘法，最后计算加减法得出答案。
20．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
21．【答案】解：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），
∵n%=×100%=30%，
∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，
∴m=20，n=30；
B等级的人数为40×20％=8（人）
如图：
故答案为：40，20，30；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，
∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用成绩为A等级的人数除以其所占的百分比可求出参加演讲比赛的学生人数，用成绩为D等级的人数除以参加演讲比赛的总人数可求出D等级人数所占的百分比，从而求出n的值；根据各个等级人数所占百分比之和等于1，可求出m的值，用B等级人数所占的百分比乘以参赛的总人数可求出B等级的人数，继而补全统计图；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由树状图可知共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，再利用概率公式即可求得答案．
22．【答案】解：（1）设y=kx+b，
根据题意得
解得：
∴y=－2x+200
∵ 物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元 ，
∴30≤x≤60，
∴y关于x的函数关系式为：y=－2x+200（30≤x≤60）；
（2）该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式：
W=（x－30）（－2x+200）－450
=－2x2+260x－6450
=－2（x－65）2+2000（30≤x≤60）；
（3）W =－2（x－65）2+2000
∵-2＜0，且30≤x≤60在对称轴直线x=65的左侧，
∴w所x的增大而增大，
∴x=60时，w有最大值为1950元
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大利润为1950元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，然后把 当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100 分别代入，可得关于字母k、b得方程组，求解得出k、b的值，从而得到y关于x的函数关系式；进而根据“ 物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元 ”即可得到x的取值范围；
（2）根据利润=每千克化工原料的利润×销售数量-每天支付的其它费用，可建立出w关于x的函数关系式；
（3）根据（2）所得二次函数的增减性并结合x的取值范围求解即可.
23．【答案】（1）解：过点P作于点H，
∵，
∴，
，
∵米，
∴，即，
解得：，
答：点P到的距离为400米．
（2）解：过点P作于点G，
∵米，，
∴米，
∵米，
∴（米），
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∴
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点P作于点H，利用正切的定义求出，，根据BC长列方程解题即可；
（2）过点P作于点G，根据正切的定义求出BH长，即可求出OH长，然后根据为矩形，求出AG长，再利用正切计算解题．
（1）解：过点P作于点H，
∵，
∴，
，
∵米，
∴，即，
解得：，
答：点P到的距离为400米．
（2）解：过点P作于点G，
∵米，，
∴米，
∵米，
∴（米），
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∴．
24．【答案】（1）证明：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴是的切线
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角得到，再根据即可得到，证明结论；
（2）根据等角的余角相等得到，然后根据两角对应相等的两三角形相似得到，得到对应边成比例解题即可．
（1）证明：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：∵点A在y轴负半轴，且偏离距离为
∴，
把代入得：；
（2）解：把代入得：，
∴该直线的解析式为，
把代入得：，
整理得：，
∵点A和点B为不同两点，点A在y轴上，
∴，
∴，
把代入得：，
整理得：，
把代入得：，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，解得：，
∵抛物线上偏离距离为0的两个点在x轴上，
∴和为方程的两根，
∴
（3）解：∵，，
∴抛物线为，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
令，，，
画出的函数图象如图所示：
由图可知，当时，d取最小值

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，代入抛物线解析式计算解题；
（2）把A和B的坐标代入可以得到，把B点坐标代入二次函数解析式求出，再利用根与系数的关系解答即可；
（3）配方得到顶点式即可得到y的最小值，代入x=1和x=-1求出y的值，然后在同一坐标系画出的函数图象，借助图象解答．
（1）解：∵点A在y轴负半轴，且偏离距离为
∴，
把代入得：；
（2）解：把代入得：，
∴该直线的解析式为，
把代入得：，
整理得：，
∵点A和点B为不同两点，点A在y轴上，
∴，
∴，
把代入得：，
整理得：，
把代入得：，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，解得：，
∵抛物线上偏离距离为0的两个点在x轴上，
∴和为方程的两根，
∴；
（3）解：∵，，
∴抛物线为，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
令，，，
画出的函数图象如图所示：
由图可知，当时，d取最小值．
26．【答案】（1）解：①证明：∵AB=AC，B1C=BC，
∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，
旋转后三角形的角不变，
∴∠B1CA1=∠ACB，
∴∠B1CA1=∠AB1C，
∴BB1∥CA1；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图1：
∵AB=AC，AF⊥BC，
∵cos∠ABC=0.6=，
∴BF=CF=3，
∴B1C=BC=6，
∵
∴cos∠ABC=0.6=，
∴ BE=，
∴B1B=2BE=，
AF==4，
S△ABC==12，
∴EC=，
故AB1= B1B －AB=﹣5=，
∴△AB1C的面积为：
（2）解：如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，
此时在Rt△BFC中，CF=，
∴CF1=，
∴EF1的最小值为﹣3=；
如图2，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值；
此时EF1=EC+CF1=3+6=9，
∴线段EF1的最大值与最小值的差为9﹣=
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质和等边对等角得到∠B1CA1=∠AB1C，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据余弦的定义求出BE长，然后根据勾股定理求出AF长，再利用三角形的面积求出EC长，即可得到△AB1C的面积；
（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心，CF为半径画圆交BC于F1，以及以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，求出最大值和最小值求差即可．
（1）解：①证明：∵AB=AC，B1C=BC，
∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，
旋转后三角形的角不变，
∴∠B1CA1=∠ACB，
∴∠B1CA1=∠AB1C，
∴BB1∥CA1；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图1：
∵AB=AC，AF⊥BC，
∵cos∠ABC=0.6=，
∴BF=CF=3，
∴B1C=BC=6，
∵
∴cos∠ABC=0.6=，
∴ BE=，
∴B1B=2BE=，
AF==4，
S△ABC==12，
∴EC=，
故AB1= B1B －AB=﹣5=，
∴△AB1C的面积为：；
（2）解：如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，
此时在Rt△BFC中，CF=，
∴CF1=，
∴EF1的最小值为﹣3=；
如图2，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值；
此时EF1=EC+CF1=3+6=9，
∴线段EF1的最大值与最小值的差为9﹣=．
1 / 12024年湖南省岳阳市经开区中考模拟数学试题 (三)
1．（2024九下·岳阳模拟）下列四个实数中，位于 3 和4之间的是（　　）
A． B． C．π D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：因为，，，，
∴位于3和4之间的数是．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的估算解答即可．
2．（2024九下·岳阳模拟）计算 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】原式．
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则运算解题．
3．（2024九下·岳阳模拟）下列图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是旋转对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、此选项中的图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
4．（2024九下·岳阳模拟）某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（　　）
A．200个 B．180个 C．240个 D．150个
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设黄球的数量为x，根据题意得
解得．
经检验是方程的解且符合题意 ，
所以袋子中黄球有150．
故答案为：D．
【分析】设黄球的数量为x，根据概率公式列方程解题即可．
5．（2024九下·岳阳模拟）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A：不是将多项式分解成几个整式的乘积的形式，故选项A错误；
B：，故选项B正确；
C：，故选项C错误；
D：，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的概念“因式分解是将一个多项式分解成几个整式的乘积的形式”逐项判断解题.
6．（2024九下·岳阳模拟）若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设正比例函数解析式为，
将代入得：，
∴正比例函数解析式为，
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故在该正比例函数图象上，符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求正比例函数解析式，然后代入检验即可解题．
7．（2024九下·岳阳模拟）如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A'处，得新正方形A'B'C'D'，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（　　）．
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】平移的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：平移后，阴影部分和原正方形位似，位似中心为点，
又重叠部分的正方形对角线是正方形ABCD对角线的一半，因为相似形面积比是线段比的平方，所以重叠部分正方形的面积是正方形ABCD面积的，而正方形ABCD面积是2，所以重叠部分正方形的面积是．
故答案为：B．
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方解答即可．
8．（2024九下·岳阳模拟）张老师和李老师住在同一个小区，离学校3000米，某天早晨，张老师和李老师分别于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知李老师骑车的速度是张老师的1.2倍，为了求他们各自骑自行车的速度，设张老师骑自行车的速度是x米/分，则可列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】设张老师骑自行车的速度是x米/分，则李老师骑自行车的速度是1.2x米/分，根据题意可得： .
故答案为：A.
【分析】设张老师骑自行车的速度是x米/分，则李老师骑自行车的速度是1.2x米/分，根据题意可得等量关系：张老师行驶的路程3000÷他的速度-李老师行驶的路程3000÷他的速度=5分钟，根据等量关系列出方程即可.
9．（2024九下·岳阳模拟）下表是二次函数 （b，c均为整数）的自变量x与因变量y的部分对应值.
自变量x 0.07 1.33
因变量y 7.0089 0.1664 1.4025 3.2849 10.0889
给出下列判断，其中错误的是（　　）
A．该抛物线的对称轴是直线
B．该二次函数的最小值为
C．当 、 时，
D．当 时，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据表格将和代入二次函数解析式，得：
解得：
故该二次函数解析式为：y=x2 +4x+3 ， 化为顶点式为：y=(x+2)2-1 ；
∴该抛物线的对称轴是直线x=-2 ， 故A正确，不符合题意；
∴该二次函数的最小值为-1，故B正确，不符合题意；
∵x1=-4.29关于对称轴x= -2对称为x0=0.29 ，
∴y1=y0，
∵当x>-2时，y随x的增大而增大，
∴y0>y2， 即y1>y2，故C正确，不符合题意；
∵x3> x4>0，∴y3>y4，
∴x3-x4>0，y3-y4>0，
.(x3-x4)（y3-y4)>0 ， 故D错误，符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用待定系数法求出该二次函数解析式，并改为顶点式，即可判断A和B选项，利用二次函数的对称性和增减性即可判断C和D选项。
10．（2024九下·岳阳模拟）已知实数，我们把称为的差倒数，如：的差倒数是的差倒数是.如果是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数...依次类推，则（　　）
A．48.5 B．49.5 C．50 D．51.5
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：∵a1=-1，
∴a2==，a3==2，a4==-1，……
∴这列数以-1，，2依次循环，且-1++2=，
∵100÷3=33…1，
∴a1+a2+…+a100=33×-1=48.5.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算求出a2、a3、a4的值，发现这列数以-1，，2依次循环，且-1++2=，据此计算.
11．（2024九下·岳阳模拟）若是的算术平方根，而的算术平方根是，则　 　．
【答案】260
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：是的算术平方根，
，
又的算术平方根是，
，
，
故答案为：．
【分析】利用算术平方根的定义求出、的值，然后代入计算解题．
12．（2024九下·岳阳模拟）不等式组 的解集是　 　.
【答案】x≤
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式1-2x≥0 , 得x≤
解不等式3x-1<4 , 得x<
故该不等式组的解集为: x≤
故答案为: x≤
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集,即为不等式组的解集.
13．（2024九下·岳阳模拟）如图，，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2=　 　．
【答案】54°
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
14．（2024九下·岳阳模拟）已知 ，则的余角大小是　 　．
【答案】
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵，
∴的余角，
故答案为：．
【分析】根据和为90°的两个角互余解答即可．
15．（2024九下·岳阳模拟）已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】15
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设所求n边形边数为n，
则，
解得．
故这个多边形的边数是15．
故答案为：15．
【分析】本根据多边形的内角和公式，进行计算即可．
16．（2024九下·岳阳模拟）甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是环，方差分别是 ，则射击成绩较稳定的是　 　(填“甲”或“乙”)．
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴乙的射击成绩较稳定，
故答案为：乙．
【分析】比较方差，根据方差越稳定解答即可．
17．（2024九下·岳阳模拟）将抛物线 向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为，
故答案为：．
【分析】利用二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”解答即可．
18．（2024九下·岳阳模拟）如图，将一块长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上点A的位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2时共走过的路径长为　 　cm.(结果保留π)
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由图可得
则共走过的路径长
故答案为：
【分析】先根据勾股定理求出AB长，然后利用弧长公式计算解题.
19．（2024九下·岳阳模拟）计算：
【答案】解：原式=（ ）﹣1 ﹣ +8×0.125，
= ，
=1.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊锐角三角函数值、负指数的意义、绝对值的意义、二次根式的性质、乘方的意义分别化简，再根据实数的乘法运算法则计算乘法，最后计算加减法得出答案。
20．（2024九下·岳阳模拟）先化简， 再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
21．（2024九下·岳阳模拟）达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m= ，n= ，并把条形统计图补充完整．
（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）
【答案】解：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），
∵n%=×100%=30%，
∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，
∴m=20，n=30；
B等级的人数为40×20％=8（人）
如图：
故答案为：40，20，30；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，
∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用成绩为A等级的人数除以其所占的百分比可求出参加演讲比赛的学生人数，用成绩为D等级的人数除以参加演讲比赛的总人数可求出D等级人数所占的百分比，从而求出n的值；根据各个等级人数所占百分比之和等于1，可求出m的值，用B等级人数所占的百分比乘以参赛的总人数可求出B等级的人数，继而补全统计图；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由树状图可知共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，再利用概率公式即可求得答案．
22．（2024九下·岳阳模拟）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【答案】解：（1）设y=kx+b，
根据题意得
解得：
∴y=－2x+200
∵ 物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元 ，
∴30≤x≤60，
∴y关于x的函数关系式为：y=－2x+200（30≤x≤60）；
（2）该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式：
W=（x－30）（－2x+200）－450
=－2x2+260x－6450
=－2（x－65）2+2000（30≤x≤60）；
（3）W =－2（x－65）2+2000
∵-2＜0，且30≤x≤60在对称轴直线x=65的左侧，
∴w所x的增大而增大，
∴x=60时，w有最大值为1950元
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大利润为1950元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，然后把 当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100 分别代入，可得关于字母k、b得方程组，求解得出k、b的值，从而得到y关于x的函数关系式；进而根据“ 物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元 ”即可得到x的取值范围；
（2）根据利润=每千克化工原料的利润×销售数量-每天支付的其它费用，可建立出w关于x的函数关系式；
（3）根据（2）所得二次函数的增减性并结合x的取值范围求解即可.
23．（2024九下·岳阳模拟）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内．
（1）求P到的距离；
（2）求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，）
【答案】（1）解：过点P作于点H，
∵，
∴，
，
∵米，
∴，即，
解得：，
答：点P到的距离为400米．
（2）解：过点P作于点G，
∵米，，
∴米，
∵米，
∴（米），
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∴
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点P作于点H，利用正切的定义求出，，根据BC长列方程解题即可；
（2）过点P作于点G，根据正切的定义求出BH长，即可求出OH长，然后根据为矩形，求出AG长，再利用正切计算解题．
（1）解：过点P作于点H，
∵，
∴，
，
∵米，
∴，即，
解得：，
答：点P到的距离为400米．
（2）解：过点P作于点G，
∵米，，
∴米，
∵米，
∴（米），
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∴．
24．（2024九下·岳阳模拟）如图，在中，是边上一点， ，是的外接圆，是的直径，且交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）过点作，垂足为点，延长交于点，若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴是的切线
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角得到，再根据即可得到，证明结论；
（2）根据等角的余角相等得到，然后根据两角对应相等的两三角形相似得到，得到对应边成比例解题即可．
（1）证明：连接，如图，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．（2024九下·岳阳模拟）我们定义：平面直角坐标系中点到x轴的距离称为点P的偏离距离，如的偏离距离为2．已知抛物线 与直线相交于不同的两点A，B，其中点A在y轴负半轴，且偏离距离为点 B的坐标为 其中a，b，c，m，n为实数， 且a，m不为0．
（1）求c的值；
（2）设抛物线 上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为和，求的值；
（3）若函数图象在上所有点的偏离距离的最大值记为d，如函数 在 上的最大偏离距离 求抛物线在上的最大偏离距离d的最小值．
【答案】（1）解：∵点A在y轴负半轴，且偏离距离为
∴，
把代入得：；
（2）解：把代入得：，
∴该直线的解析式为，
把代入得：，
整理得：，
∵点A和点B为不同两点，点A在y轴上，
∴，
∴，
把代入得：，
整理得：，
把代入得：，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，解得：，
∵抛物线上偏离距离为0的两个点在x轴上，
∴和为方程的两根，
∴
（3）解：∵，，
∴抛物线为，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
令，，，
画出的函数图象如图所示：
由图可知，当时，d取最小值

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，代入抛物线解析式计算解题；
（2）把A和B的坐标代入可以得到，把B点坐标代入二次函数解析式求出，再利用根与系数的关系解答即可；
（3）配方得到顶点式即可得到y的最小值，代入x=1和x=-1求出y的值，然后在同一坐标系画出的函数图象，借助图象解答．
（1）解：∵点A在y轴负半轴，且偏离距离为
∴，
把代入得：；
（2）解：把代入得：，
∴该直线的解析式为，
把代入得：，
整理得：，
∵点A和点B为不同两点，点A在y轴上，
∴，
∴，
把代入得：，
整理得：，
把代入得：，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，解得：，
∵抛物线上偏离距离为0的两个点在x轴上，
∴和为方程的两根，
∴；
（3）解：∵，，
∴抛物线为，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
令，，，
画出的函数图象如图所示：
由图可知，当时，d取最小值．
26．（2024九下·岳阳模拟）在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C．
（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；
（2）如图2，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．
【答案】（1）解：①证明：∵AB=AC，B1C=BC，
∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，
旋转后三角形的角不变，
∴∠B1CA1=∠ACB，
∴∠B1CA1=∠AB1C，
∴BB1∥CA1；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图1：
∵AB=AC，AF⊥BC，
∵cos∠ABC=0.6=，
∴BF=CF=3，
∴B1C=BC=6，
∵
∴cos∠ABC=0.6=，
∴ BE=，
∴B1B=2BE=，
AF==4，
S△ABC==12，
∴EC=，
故AB1= B1B －AB=﹣5=，
∴△AB1C的面积为：
（2）解：如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，
此时在Rt△BFC中，CF=，
∴CF1=，
∴EF1的最小值为﹣3=；
如图2，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值；
此时EF1=EC+CF1=3+6=9，
∴线段EF1的最大值与最小值的差为9﹣=
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质和等边对等角得到∠B1CA1=∠AB1C，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，根据余弦的定义求出BE长，然后根据勾股定理求出AF长，再利用三角形的面积求出EC长，即可得到△AB1C的面积；
（2）过C作CF⊥AB于F，以C为圆心，CF为半径画圆交BC于F1，以及以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，求出最大值和最小值求差即可．
（1）解：①证明：∵AB=AC，B1C=BC，
∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，
旋转后三角形的角不变，
∴∠B1CA1=∠ACB，
∴∠B1CA1=∠AB1C，
∴BB1∥CA1；
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图1：
∵AB=AC，AF⊥BC，
∵cos∠ABC=0.6=，
∴BF=CF=3，
∴B1C=BC=6，
∵
∴cos∠ABC=0.6=，
∴ BE=，
∴B1B=2BE=，
AF==4，
S△ABC==12，
∴EC=，
故AB1= B1B －AB=﹣5=，
∴△AB1C的面积为：；
（2）解：如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，
此时在Rt△BFC中，CF=，
∴CF1=，
∴EF1的最小值为﹣3=；
如图2，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值；
此时EF1=EC+CF1=3+6=9，
∴线段EF1的最大值与最小值的差为9﹣=．
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