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2024-2025学年广东省茂名一中高三（下）质检数学试卷（一）（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某小区随机调查了位业主月份每户的天然气使用量，数据如下单位：：，，，，，，，，，估计该小区业主月均用气量的样本数据的分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知直线、，平面、，给出下列命题：
若，，且，则；若，，且，则；
若，，且，则；若，，且，则．
其中正确的命题是( )
A. B. C. D.
4.已知正项数列，令，则“为等差数列”是“为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.若，，则( )
A. B. C. D.
6.现有，，，，五人站成一排，则，相邻且，不相邻的排法种数共有( )
A. B. C. D.
7.已知函数的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数，满足，，则( )
A. B. C. D.
10.若等边三角形的边长为，，为的中点，且，交于点，则下列说法正确的是( )
A. 当时， B. 若点为的中点，则
C. 为定值 D. 的最小值为
11.已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有( )
A.
B. 关于点中心对称
C. 关于轴对称
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则的最小值为______．
13.已知函数，若方程在区间内有三个实数根，，，且，则等于______．
14.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，提出如图所示的由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，自上而下，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，，依此类推，最底层有个小球，共有层，并得出小球总数的公式若，小球总个数为，则该长方台形垛积的第六层的小球个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的名学生，其中有名同学的户外活动时间超过小时；名同学中近视的学生有人，这人中每天户外活动时间不足小时的有人．
Ⅰ根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．
近视人数 未近视人数 合计
户外活动时间不足小时
户外活动时间超过小时
合计
Ⅱ用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗已知“物理药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率．
参考公式与数据：，其中．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
Ⅰ求；
Ⅱ若，，，边上的中线，相交于点．
求；
求．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若函数有两个零点，求的范围．
18.本小题分
已知抛物线：，点在的准线上，过焦点的直线与相交于，两点，且为正三角形．
求的面积；
取平面外一点使得，设，为，的中点，若，求二面角的余弦值．
19.本小题分
若无穷数列，的各项均为整数，且满足，则称，是“和谐数列”．
若，求证：，是“和谐数列”；
若是等比数列，求证：，不是“和谐数列”；
若，，，，，，将的所有不同的值按照从小到大排列，构成数列；将的所有不同的值按照从小到大排列，构成数列，求证：，是“和谐数列”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题意可知，名学生，其中有名同学的户外活动时间超过小时，
名同学中近视的学生有人，这人中每天户外活动时间不足小时的有人，
Ⅰ列联表如下：
近视人数 未近视人数 合计
户外活动时间不足小时
户外活动时间超过小时
合计
零假设为：学生患近视与户外活动时间长短无关，
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生患近视与户外活动时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于；
Ⅱ设事件“使用“物理药物”治疗方案并且治愈”，
事件“该近视同学每天户外活动时间超过小时”，“该近视同学每天户外活动时间不足小时”，则
，，且，，
则，
所以该近视学生使用“物理药物”治疗方案被治愈的概率为．
16.解：由正弦定理得，
，
，
，，
，
，，即；
，
；
在中，由余弦定理得，
即，
由题知是的重心，
，，
在中，由余弦定理得．
17.解：由题意可得，
当时，则，在上单调递增；
当时，令，得，
令，解得，所以在单调递增，
令，解得，所以在时单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在内单调递减，在单调递增；
由题意可得：，
令，即，
设，
则，
由，
令，得，令，得，
则在内单调递减，在内单调递增，
由题意可知：有两个零点，则，解得，
若，令，
则，则，
可知在内有且仅有一个零点，
且当趋近于，趋近于，
可知内有且仅有一个零点，
即，符合题意，
综上所述，的取值范围为．
18.解：由已知得，准线方程为，
设直线的方程为，，，弦的中点，如图所示，
联立，消去并整理得，，
则，，所以，
所以，即，
所以，为等边三角形，则，
否则时，不妨设，，
则由等边三角形的对称性可知的坐标只能是，但，
则设直线的方程为，即，所以点，
又，所以，解得，
所以，
又，故；
由题为正三棱锥，即，，
又正三棱锥各侧面三角形都全等，所以，
而，，为，的中点，
从而，
所以，
因此，，，即，，两两垂直，故可将三棱锥补成如图所示的正方体，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：
因为，所以，显然，面，
故可取面的一个法向量，
又为的中点，则，且，
设平面的法向量，即，取，则，
由图可知二面角是锐角，
则二面角的余弦值为．
19.解：证明：当为正偶数时，设，因为，
所以；
当为正奇数时，设，
因为，
所以．
综上所述，，
因此，所以数列，是“和谐数列”；
证明：由于，因此，，
假设数列，是“和谐数列”，那么存在，使得，
由于数列是等比数列，因此，从而，因此．
由于存在，使得，又因为或，
因此或，
如果，由于，且数列是等比数列且各项均为整数，那么，，
因此公比为，所以，显然，与假设矛盾；
如果，由于，且数列是等比数列且各项均为整数，
那么，为数列中的相邻两项，并且公比为，
因此不是整数，
因此数列中存在不是整数的项，与题意不符．
综上所述，数列，不是“和谐数列”；
证明：对于任意，必存在，使得，
由于，，，，，，
那么中最大的值为，
最小的值是，共个不同的值，
因此可以取到中的所有整数．
由于，对每一个，存在唯一一组，，，，，，
使得，
若为奇数，令，
则，
其中为中一项，
设为为中一项，设为，所以；
若为偶数，令，则，
其中为中一项，
设为为中一项，设为，所以．
综上所述，对于，
所以是“和谐数列”．
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