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2025年河南省鹤壁高中高考数学十模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.若复数是纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.若向量，满足，且，，则( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足，，函数，若，则的值可以是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，为的最小正周期，且，若在区间上恰有个极值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足对任意的，且都有，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.至年我国国内生产总值及其增长速度如图所示，则( )
A. 至年我国国内生产总值逐年增长
B. 至年我国国内生产总值的分位数是亿元
C. 至年我国国内生产总值年增长速度的极差是
D. 至年我国国内生产总值年增长速度的平均数大于
10.如图，菱形的边长为，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是( )
A. 点到平面的距离为
B. 与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11.函数的导函数和函数都是上偶函数，且，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 是周期函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的终边经过点，则的值为______
13.高二甲、乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件：甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率 ______．
14.年月日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新如图所示，设计师的灵感来源于曲线：当，，时，下列关于曲线的判断正确的有______．
曲线关于轴和轴对称；
曲线所围成的封闭图形的面积小于；
曲线上的点到原点的距离的最大值为；
设，直线交曲线于、两点，则的周长小于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，．
Ⅰ求；
Ⅱ若点在线段上，且，求．
16.本小题分
已知，且．
当时，求证：恒成立；
令，当时，无零点，求的取值范围．
17.本小题分
如图所示，三棱柱中，平面平面，，，点为棱的中点，动点满足．
当时，求证：；
若平面与平面所成角的正切值为，求的值．
18.本小题分
“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采用最大似然估计的方法最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，其原理是从总体中抽出具有个值的采样，，，，求出似然函数，似然函数表示样本同时取得，，，的概率，当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值．
已知一工厂生产产品的合格率为，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取件进行检测，有件不合格；
估计该批次产品合格率；
若用随机变量表示产品是否合格，表示不合格，表示合格，求合格率的最大似然估计值，并判断与中估计值是否相等；
设一次试验中随机变量的概率分布如下：
现做次独立重复试验，出现了次，出现了次，出现了次，求的最大似然估计值；
泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为，设一次试验中随机变量的取值服从泊松分布，进行次试验后得到的值分别为，，，，已知的最大似然估计值为，求数列的前项和．
19.本小题分
已知上下顶点分别为，的椭圆经过点为直线上的动点，且不在椭圆上，与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为均不与椭圆上下顶点重合．
求椭圆的方程；
证明：直线过定点；
设问中定点为，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：Ⅰ因为，
所以由正弦定理可得，即；
根据余弦定理得：，
因为，所以．
Ⅱ设，则，；
在中，由余弦定理可得：；
化简得：．
在中，由余弦定理可得：；
化简得：．
联立化简得：
在中，由余弦定理可得：；
化简得：
将代入得：．
16.证明：依题意：当时，，则．
令，则恒成立．在上单调递增，
，即恒成立，在上单调递增，
，得证．
解法：，，
当时，在递增，，，所以存在使，
当，单调递减，当，单调递增，
又，
故存在唯一的零点使，
当时，由得，
令，在上恒成立，
在上单调递增，
，
在上恒成立．故在无零点．
综上所述：的取值范围是．
解法：，令，则，
设，则，
令，则，
，恒成立，
在上单调递减，又，所以恒成立，
，即在上单调递减，则，
无零点，
即函数与函数的图象无交点，，
即的取值范围是．
17.证明：由可得，，
即，即，
如图：
因为平面平面，平面平面，
所以过作于，则平面，
连接，因为，所以，
，，
在中，，，．
所以，则，，
，
，
当时，，
，
所以；
解：如图，由得，，两两垂直，
故可以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系：
平面中，，，
，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则；
平面中，由可知，，
设，因为，，
所以，可得，
所以，
，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则；
由题意，设平面与平面所成角为，且，可得，
，
，，
，解得，
即平面与平面所成角的正切值为时，的值为．
18.解：根据题目：已知一工厂生产产品的合格率为，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取件进行检测，有件不合格；
(ⅰ)由题该批次产品合格率；
(ⅱ)由题意得，似然函数，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则当时，取得最大值，即的最大似然估计值为，与(ⅰ)中的估计值相等；
，
令，
则，令，解得，
易知在上单调递减，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则时，取得最大值，所以的最大似然估计值为．
，
设，
则函数与单调性相同，因为为减函数，
令，得，则时，
函数单调递增；时，函数，单调递减，
所以为极大值点也及最大值点，
所以为极大值点也及最大值点，
则由题的最大似然估计值为，即．
19.解：因为椭圆：经过点，代入可得，解得，
所以椭圆的方程为；
证明：由题意，直线的斜率一定存在，设，，直线的方程为，
联立椭圆和直线的方程得，
由韦达定理可得，，
由点斜式可知直线的方程为，直线的方程为，
两式相比得，因为点在直线上，所以，
又点在椭圆上，所以，变形得，所以，
将直线方程代入得，即，
将韦达定理结果代入得，解得或，
因为，均不与椭圆上下顶点重合，所以舍去，即，
直线的方程为，过定点．
由题意可知，，显然，在直线的两侧，不妨设，
则，，，
设存在常数，使得，，为等比数列，则，
即，
由可知，，
代入化简可得，
由知联立后的方程，
所以，解得，
所以存在，使得，，总为等比数列．
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