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2025年上海市黄浦区高考数学二模试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，那么表明( )
A. 两种证券的收益有反向变动的倾向
B. 两种证券的收益有同向变动的倾向
C. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的
D. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌
2.如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基，则可以是( )
A.
B.
C.
D.
3.设，随机变量取值、、、的概率均为，随机变量取值、、、的概率也均为，随机变量取值、、、的概率也均为若记、分别为、的方差，则( )
A.
B.
C.
D. 与的大小关系与、、、的取值有关
4.给定四面体平面满足：、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一设、、、四个点到平面的距离分别为，那么的所有不同值的个数组成的集合为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设，不等式的解集为______．
6.设，集合，，若，则 ______．
7.抛物线的焦点到其顶点的距离为______．
8.在中，若，，，则 ______．
9.为虚数单位，若复数满足且，则 ______．
10.函数的最大值是______．
11.已知等比数列为严格增数列，其前项和为，若，，则该数列的公比为______．
12.已知为常数，圆与圆有公共点，当取到最小值时，的值为______．
13.某商场要悬挂一个棱长为米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面若平面与平面平行，且点到的距离为米，则直绳索的长度约为______米结果精确到米
14.若从的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为______．
15.设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ______．
16.设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有个零点，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
若，求的值；
是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由．
18.本小题分
在四面体中，，．
若为正三角形，平面平面，求四面体体积；
若，，求二面角的大小．
19.本小题分
一盒子中有大小与质地均相同的个小球，其中白球个，其余为黑球．
当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立；
某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取个球，若其中恰有个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？
20.本小题分
椭圆：的左、右焦点分别为、，过点的直线与交于点．
若，点的坐标为，求点到直线的距离；
当时，求满足的点的个数；
设直线与的另一个交点为，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围．
21.本小题分
设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界．
设，，判断函数，是否具有性质；
设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界；
设，，，若函数，具有性质，求的取值范围；当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围．
参考答案
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17解：因为，
又，即，
令，
则，整理得，解得或舍去，
可得．
假设存在实数使函数是奇函数，其定义域为，
根据奇函数性质，即，解得，此时，
，
所以是奇函数，
故存在实数，使函数是奇函数．
18.解：由题设为等腰直角三角形，且，，
所以，又为正三角形，
故，
若为的中点，连接，则，
又平面平面，平面平面，
平面，故DE平面，
所以是的高，
则其体积；
由，且，，
又，则，
且，又，
所以二面角的平面角为，
且．
所以二面角大小为．
19.解：根据题意，表示事件“第一次取到白球”，表示事件“第二次取到白球”，
则，，
，，
则，
由于，
，
则，则事件、不相互独立，
根据题意，从盒子中一次性随机取个球，设其中恰有个白球的概率为，，
由于，
则有，，
当时，，当时，，
当时，取得最大值，
又由，，则，故是最小值，
因此，当该同学放置个白球时，参与者获奖的可能性最大；当该同学放置个白球时，参与者获奖的可能性最小．
20.解：依题意，，，而，
则直线的方程为，即，
所以点到直线的距离．
由，得点在以线段为直径的圆上，，
联立，消去得，即，
当时，，，因此点，共个；
当时，，解得，，
因此点，共个，
综上所述，当时，点的个数为；当时，点的个数为．
设，由，且在线段上，得，
则，解得，
而，由点，在椭圆上，
所以，即，
整理得，即，
由，得，解得，
所以的取值范围是．
21.解：函数，具有性质，理由如下：
函数，，求导得，
令，得，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以函数在上不是单调函数，
又因为时，，当且仅当，即时取等号，
所以存在常数，使得对任意的成立了，
所以函数，具有性质．
函数求导得，
令，得，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
因为函数，具有性质，且是该函数的一个下界，
所以，
，，
当时，在上不是单调函数，且，满足条件，
所以．
对求导得，
，，
因为，，
所以，
所以，
所以在上单调递增，不满足在上不是单调函数这个条件，考虑边界情况，
当时，，
，在上不单调，
所以在上的值域为，
，，
因为函数在上不是单调函数且具有性质，
所以，
当时，在上的值域为，
所以，
即的取值范围为
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