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2025年青海省西宁市高考数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“函数在上为增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分心要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知平行六面体的体积为，若将其截去三棱锥，则剩余部分几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6.用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色在所有着色方案中，着相同色的有( )
A. 种 B. 种
C. 种 D. 种
7.设函数，若在上有且只有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知曲线：，过点作该曲线的条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.经验表明，一般树的胸径树的主干在地面以上处的直径越大，树就越高在研究树高与胸径之间的关系时，某同学收集了某种树的组观测数据如表：
胸径
树高
假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则( )
A.
B. 当胸径时，树高的预测值为
C. 表中的树高观测数据的分位数为
D. 当胸径时，树高的残差为
10.定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有( )
A. ， B.
C. ， D. ，
11.在椭圆中，任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线半圆的方程为，半椭圆的方程为，下列说法正确的是( )
A. 若点在半圆上，点在半椭圆上，且，则面积的最大值为
B. 曲线上的点到原点的距离的最大值与最小值之和为
C. 若，，在半椭圆上的一个动点，则的最小值为
D. 将半椭圆扩充为椭圆后，椭圆的蒙日圆方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的一个动点，点的坐标是，则的最小值为______．
13.已知正方形边长为，为边上一点，则的最小值为 ．
14.已知，为正实数，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
若，求的面积．
16.本小题分
随着网络的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分某地区随机抽取了部分岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如表．
性别 日均刷“抖音”时间超过小时 日均刷“抖音”时间不超过小时
男性
女性
Ⅰ依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？
Ⅱ现从被调查的日均刷“抖音”时间超过小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有人顺利完成知识问答的条件下，这人性别不同的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
17.本小题分
已知正四棱柱底面边长为，点、分别在直线、上，，．
证明：平面；
若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
若，求函数在点处的切线方程；
若恒成立，求实数的取值范围；
求证：，．
19.本小题分
设，两点的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积为记点的轨迹为曲线．
Ⅰ求曲线的方程；
Ⅱ数列，是正项数列，且数列是公差为的等差数列，点在曲线上，求证：；
Ⅲ过点的直线交曲线于，两点两点在轴右侧，在线段上取异于，的点，且满足，证明：点在定直线上．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，，
由余弦定理得，结合，可得．
所以，解得，结合，可得；
由得，
由正弦定理，可得．
所以的面积．
16.解：Ⅰ列联表如下：
性别 日均刷“抖音”时间超过小时 日均刷“抖音”时间不超过小时 合计
男性
女性
合计
零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，
则，
故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，
即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关．
Ⅱ由分层随机抽样可知，抽取男性用户人，女性用户人．
记“有且仅有人顺利完成知识问答”为事件，“人性别不同”为事件，
则，
，
故．
17.证明：，
因为，所以，
所以，平面，平面，
所以平面；
解：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则三棱锥的体积，解得，
则，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值．
18.
19.解：Ⅰ设，
易知，
即，
整理得，
则曲线的方程为；
Ⅱ证明：易知，都在第一象限，
，
两式作差并整理得，
因为，
所以，
设的中点为，
可得，
因为曲线的渐近线方程为，
所以，
则；
Ⅲ证明：易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
已知，
因为，
可得，
整理得，
因为，，
所以，
解得，
代入直线的方程中，
可得．
故点在定直线上．
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