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2025年陕西省渭南市高考数学质检试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长与底面半径的比为( )
A. B. C. D.
5.若双曲线的焦距为，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，的平均数为
B. 数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C. 若随机变量，且，则
D. 若随机变量，且，则
10.如图，正三棱柱的所有棱长均为，点在棱上运动，点在正三棱柱的表面运动，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为
B. 若为的中点，则到平面的距离为
C. 的周长的最小值为
D. 若，则点的轨迹的长度为
11.设直线系：，则下列四个命题为真的是( )
A. 中所有直线均经过一个定点
B. 存在定点不在中的任一条直线上
C. 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
D. 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，若，，则的面积为______．
13.若函数，则 ______．
14.如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中药是中华民族的瑰宝，除用来治病救人外，在调理身体、预防疾病等方面也发挥着重要的作用某研究机构为了解草药对某疾病的预防效果，随机调查了名人员，数据如下：
未患病 患病 合计
服用草药
未服用草药
合计
依据小概率值的独立性检验，分析草药对预防该疾病是否有效；
已知草药对该疾病的治疗有效的概率的数据如下：对未服用草药的患者治疗有效的概率为，对服用草药的患者治疗有效的概率为若用频率估计概率，现从患此疾病的人中随机抽取人使用草药进行治疗，求治疗有效的概率．
附：参考公式：，其中．
参考数据：
16.本小题分
已知等差数列满足，是关于的方程的两个根．
Ⅰ求；
Ⅱ求数列的通项公式；
Ⅲ设，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，是棱的中点，．
Ⅰ求证：平面．
Ⅱ求二面角的余弦值．
Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积．
Ⅱ若函数有两个零点，求实数的取值范围．
Ⅲ若不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是，，以为圆心以为半径的圆与以为圆心以为半径的圆相交，且交点在椭圆上．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于，两点，射线交椭圆于点．
求的值；
求面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：零假设为：草药对预防该疾病无效，根据列联表中数据，得，因为当假设成立时，，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为服用草药对预防该疾病有效，此推断犯错误的概率不大于；
设事件表示“草药的治疗有效”，事件表示“患者未服用草药”，事件表示“患者已服用草药”，
则，
，
所以由全概率公式得：，
．
16.解：Ⅰ已知等差数列满足，是关于的方程的两个根．
则，
则，，
设等差数列的公差为，
则，
即，
则，
即；
Ⅱ由得：，
则，
即；
Ⅲ由可得：，
则．
17.解：Ⅰ证明：取为中点，连接，，由中位线定理易得：，
，又，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面；
Ⅱ取的中点为，连接，，由，，，
可得四边形为矩形，所以，又，又平面平面，
所以即为二面角的平面角，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，在中，由，，得，又，，
所以，
即二面角的平面角的余弦值为；
Ⅲ以为原点，，分别为轴，轴正向，垂直面向上为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，即，
取，可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：Ⅰ当时，，所以．
又，所以，则切线方程为．
令得，令得，所以切线与坐标轴围成三角形的面积为．
Ⅱ由得，显然不是方程的解，所以．
设函数，，
则，
令，得或，令，得或，
所以在上单调递增，在和单调递减，在上单调递增．
又当时，，，当时，，
当时，，当时，．
所以的大致图象如图，
若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，
由图象可知，或，即的取值范围为．
Ⅲ由，得，
显然当时，不等式恒成立．
当时，有恒成立，由可得，
当时，有恒成立，由可得．
综上，的取值范围为．
19.解：Ⅰ由题意可知，，可得，
又，，
可得，即有椭圆的方程为；
Ⅱ由Ⅰ知椭圆的方程为，
设，，由题意可知，
，由于，
又，即，
所以，即；
设，，将直线代入椭圆的方程，可得
，由，可得，
则有，，所以，
由直线与轴交于，
则的面积为
，设，则，
将直线代入椭圆的方程，可得，
由可得，
由可得，则在递增，即有取得最大值，
即有，即，取得最大值，
由知，的面积为，
即面积的最大值为．
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