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2025年上海市杨浦区高考数学二模试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中，“”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
2.名同学报名参加社团活动，有个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中个社团，则这位同学可能的报名结果共有种．
A. B. C. D.
3.已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.设是由个二次函数组成的集合，对于连续的正整数，，，，，存在二次函数可重复，使得，，，，是等差数列，则的最小可能值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.已知集合，，则 ______．
6.不等式的解集为______．
7.函数的最小正周期是______．
8.已知，则 ．
9.已知，且，则的最大值为______．
10.在的二项展开式中，常数项的值为______．
11.已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为______．
12.不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为______．
13.植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度单位：厘米与生长期单位：天之间的关系，随机统计了某天的植物高度，并制作了如下对照表：
生长期
植物高度
由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是天时，植物高度约为______厘米
14.如图，点、分别是直角三角形的边、上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为______．
15.如图，阿基米德椭圆规是由基座、带孔的横杆、两条互相垂直的空槽、两个可动滑块、组成的一种绘图工具，横杆的一端上装有铅笔，假设两条互相垂直的空槽和带孔的横杆都足够长，将滑块、固定在带孔的横杆上，令滑块在中一条空槽上滑动，滑块在另一条空槽上滑动，铅笔随之运动就能画出椭圆当、之间的距离为厘米时，若需要画出一个离心率为的椭圆，则、之间的距离为______厘米．
16.由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则、、、的并集，其面积为______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数．
当时，，求时，的表达式；
当时，，若实数满足，求的取值范围．
18.本小题分
座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承如图，、分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知，．
求证：；
求点到平面的距离．
19.本小题分
为弘扬中华民族传统文化、增强民族自豪感，某学校开展中华古诗词背诵比赛，分为初赛和复赛全校同学都参加了初赛，并随机抽取一个班级进行初赛成绩统计，已知该班级共有位学生，他们的初赛分数的频率分布直方图如图所示：
计算的值，并估计该校这次初赛的平均分数．
初赛分数达到及以上的同学，称为优秀参赛选手，现从班级中随机选出位同学，用代表其中的优秀参赛选手人数，求的分布；
为增加比赛的趣味性，复赛规则如下：复赛试题将从题库中随机抽取，每位参赛选手将有机会回答填空、选择和简答各题；每答对题得分，答错或不答得分，每位选手可以自行选择回答问题的顺序，若答对一题可继续答下一题，直到题全部答完；若答错或不答则比赛结束例如：选手甲可自行按“简答一填空一选择”顺序答题，甲答对第一题得分，并继续回答第二题且答错得分，结束比赛，总分为分．
小杨作为优秀参赛选手，代表班级参加复赛根据他初赛的答题正确频率，可估计他填空、选择和简答的答题正确概率分别为：
题型 填空 选择 简答
答题正确概率
若小杨每次答题的结果都相互独立，那么为尽量在比赛中获得较高分数，小杨应该采用怎样的答题顺序？请说明理由．
20.本小题分
已知双曲线的标准方程为，点是双曲线右支上的一个动点．
求双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
过点分别向两条渐近线作垂线，垂足为点，，求的值；
若，如图，过作圆：的切线，切点为，交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点、设，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”．
判断是否为“超导函数”，并说明理由；
若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有、，记，求证：函数是“超导函数”；
已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.
17.解：因为是定义在上的偶函数，
当时，，
则时，，
所以，
即时，；
当时，单调递增，
又为偶函数，故时，单调递减，
若实数满足，则，
解得，即不等式解集为
18.解：证明：如图，
连接，因为底面为正八边形，所以，
又正八棱柱侧棱底面，底面，
所以，，，平面，
所以平面，
又平面，所以F.
如图，
连接，，
因为，，
由正八边形的性质可得，，
为到底面的距离，，
所以，
由勾股定理可得，，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，即，
设点到平面的距离为，
则，即，即，解得，
所以点到平面的距离为．
19.解：由频率分布直方图中小矩形的面积和为可得：，
解得；该校这次初赛的平均分数为．
初赛分数达到及以上的同学为人，
非优秀为人，由题意可得的可能取值为，，，
，
，
，所以的分布列为：
按照不同题目顺序分类讨论：填空，选择，简答：
得零分的概率：，得一分的概率：，
得两分的概率：，
得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，选择，填空”的期望与之相同；
填空，简答，选择：得零分的概率：，
得一分的概率：，
得两分的概率：，
得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“简答，填空，选择”的期望与之相同；
选择，填空，简答：得零分的概率：，
得一分的概率：，
得两分的概率：，
得三分的概率：，
期望为分；
因为填空和简答的正确率相同，所以“选择，简答，填空”的期望与之相同；
所以小杨应采用“选择，填空，简答”或“选择，简答，填空”的顺序．
20.解：双曲线的标准方程为，
则，
所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为；
设，则，
由，
解得，
所以，
由，
解得，
所以，
所以，，
所以
，
即；
设切点，则切线的方程为，且，
由，解得，所以，
设，，，，
由，消去得，
所以；
由，消去得，
所以；
所以，
所以
，
又，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
即．
21.解：函数，
求导得，
则，
所以是“超导函数”．
证明：函数，
求导得，
则，
由函数与都是“超导函数”，
得，，
由对任意，都有，，得，
因此，即，
所以函数是“超导函数”．
由函数是“超导函数”，得对任意，，
令，求导得，
函数在上单调递增，且，
由，
得，
即，
因此，即，
令，
由有且仅有一个实数满足，
得直线与函数的图象有且只有个交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，函数值的集合为
在上单调递减，函数值的集合为
因此当或时，直线与函数的图象有且只有个交点，
所以的取值范围或
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