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2025年贵州省铜仁市高考数学三模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.若复数为纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.在处理一组数据时，若未计入数值，计算所得的平均值为，方差为若将数值纳入分析，则该组数据( )
A. 平均数等于，方差等于 B. 平均数等于，方差小于
C. 平均数大于，方差小于 D. 平均数小于，方差大于
5.随机变量，若，则的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，已知平面，，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于、两点若，且，则的渐近线夹角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，用表示，的最大值，记若对任意，恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 是的对称轴
C. 在区间上单调递增 D. 是有实根的充要条件
10.已知圆：，圆：，则( )
A.
B. 若，则圆与圆有且仅有个公共点
C. 若圆与圆的相交弦长为，则
D. 当时，若动圆与圆外切，同时与圆内切，则点的轨迹方程为
11.已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且若，则( )
A. B. 数列为等差数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的一个零点为，则的单调减区间是______．
13.数列满足，若，则 ______．
14.一袋中装有个红球，个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作，则第二次取出的球是黑球的概率为______；在第一次取出的球是红球的条件下，第次和第次取出的球都是黑球的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，，其中内角，，的对边分别为，，．
求角的大小；
若为的中点，且，求的最大值．
16.本小题分
已知函数．
若，求曲线在处的切线方程；
若函数有极小值，且极小值不大于，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，四边形是棱长为的菱形，，点是棱上的动点，恒成立．
若，分别为线段，的中点，求证：直线平面；
已知三棱柱的体积为，求面与面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，短轴长为，过右焦点的直线与交于，两点．
求的标准方程；
已知点，
当时，求面积的取值范围；
当时，证明：．
19.本小题分
近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力．
某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡下表为活动开展后近个月社区居民的睡眠改善情况统计．
月份
睡眠质量显著改善人数
若睡眠质量显著改善人数与月份变量具有线性相关关系月份变量依次为，，，，，请预测第个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？
该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为．
经过次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望；
定义：已知数列，若对于任意给定的正数不论它多么小，总存在正整数，使得当时，是一个确定的实数，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理为外接圆半径，
将代入，
可得，
化简后得到，即，
根据余弦定理，把代入可得，
因为，所以；
在中，根据余弦定理，
因为为中点，设，已知，
则，即，
根据基本不等式当且仅当时取等号，
所以，即，当且仅当时取等号，
将代入，可得，
解得，，满足条件，所以的最大值为．
16.解：当时，，
，
，，
所以切线方程为，即．
，
当时，，则，在上单调递增，无极值，不符合题意．
当时，令，即，解得．
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
所以在处取得极小值，．
因为的极小值不大于，即．
令，，对求导得．
令，解得．
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
所以在处取得最大值，
且当或时，，
因此对于，均有，
所以，即实数的取值范围是．
17.解：证明：连接B、，
在三棱柱中，侧面为平行四边形，
因为是中点，则为与的交点，为棱的中点，
因为是中点，所以，
又平面，平面，
所以直线平面；
因为点是棱上的动点，恒成立，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
因为三棱柱的体积为，
设三棱柱的高为，
所以，
因为四边形是棱长为的菱形，，
所以，
所以，
所以平面，
以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，
取，
所以，
设平面的法向量，
则，
取，
所以，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：因为椭圆：的短轴长，所以，
又离心率，且，把代入，得，
再结合，即，可得，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
当时，右焦点坐标为，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，
联立，消去得，恒成立，
设，则，，
所以
，
点到直线的距离．
．
令，则，因为当且仅当即时取等号，
所以．
当直线的斜率为时，直线的方程为，
此时，，则，，
则；
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，
由知，，
则，
则
，
令，由，则该函数是开口向上的二次函数，
则，
所以恒成立，
又，则．
综上所述，．
19.解：，
，
，
，
，
所以回归直线方程为，
当时，，
即预测第个月睡眠质量显著改善的大约有人；
的可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为：


；
第次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为，，
当时，，
，
得：，
由得：，
，，
，其中，
是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，
由聚点数列的定义知：，
当时，，
所以，对于任意给定的正数不论它多么小，总存在正整数，使得当时，，
所以数列是聚点数列，且聚点．
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