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4月之一次函数与反比例函数—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·浙江模拟）如图是化学实验仪器圆底烧瓶，现向烧瓶中匀速注水，下列图象中能近似反映烧瓶中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：化学实验仪器圆底烧瓶，当向烧瓶中匀速注水时，烧瓶中水的深度变化情况会随着注水时间的增加，由急到缓，再由缓到急，到烧瓶颈部时会匀速上升，故D符合.
故答案为：D.
【分析】观察烧瓶的形状，再想像加水速度与时间关系，然后作出判断.
2．第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛.下列函数图象可以体现这次比赛过程的是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、乌龟比兔子早出发，兔子后出发，先到了，故不符合题意；
B、乌龟比兔子早出发，早到终点，符合题意；
C、乌龟先出发，兔子先到乌龟后到，不符合题意；
D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据“ 让乌龟先跑一段距离我再去追 ”和“结果兔子又一次输掉了比赛”，可见乌龟早出发到兔子追不上，以此作答.
3．（2023·新昌模拟）已知(，)，(，) (，)是反比例函数的图像上的三点，且，则下列命题是真命题的是（　　）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、且，
，，
则，，
无法确定的正负
故A选项错误；
B、且，又
，，故
但无法确定、的正负
也无法确定的正负
故B选项错误；
C、，且，
且
故C选项正确；
D、
∵，又
，
则，
而无法确定、的正负
无法确定的正负
故D选项错误.
故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上坐标的特点 以及增减性，由各选项的条件及先判断函数值的正负，再判断即可.
4．（2025九下·浙江模拟）函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意可得图象关于y轴对称，
∵，
∴m+6到y轴的距离大于m到y轴的距离，
即m+6>-m，
解得m>-3，
故答案为：A.
【分析】根据对称性得到m+6到y轴的距离大于m到y轴的距离，即可得到m+6>-m，求出m的取值范围即可.
5．（2025·衢江模拟）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：将，两点分别代入和
得：，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由题意，将，两点分别代入和可将x1、x2用含a、k1、k2的代数式表示出来，计算x1-x2的值，结合"，"即可判断符号，然后根据不等式的性质即可求解．
6．（2025·镇海区模拟）在平面直角坐标系中，点一定位于（　　）
A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方
C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在二次函数的图象上，画出函数图象如下：
A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的上方，故A选项不符合题意；
B、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的下方，故B选项不符合题意；
C、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故C选项符合题意；
D、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据点在二次函数的图象上，画出函数图象判断即可．
7．（2025·镇海区模拟）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关）
当联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关），
∴发现点与点关于原点成中心对称，点与点关于原点成中心对称，
∴，
故答案为：B．
【分析】分别联立直线和反比例函数解析式得到两次的交点关于原点成中心对称，则的面积不变，即可求解．
8．（2025·浙江模拟） 已知点 A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点在反比例函数y=的图象上．则下列判断正确的是（　　）
A．若k>0，则m<0
B．若k<0，则m可能小于0也可能大于0
C．若k>0，点A，B在同一象限，则m>0
D．若k<0，点A，B在不同象限，则m>0
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当k>0时，y随x的增大而减小，不知道y1的值在哪个象限，无法判断m<0，故A错误；
当k<0时，点A（x1，y1）与B(x1+m，y1+2)可以在同一象限，也可以不在同一象限，则m可能小于0也可能大于0，故B正确；
当k>0时，点A，B在同一象限，则y随x的增大而减小，所以m<0，故C错误；
当k<0时，点A，B在不同象限，则m<0，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意，判断当k>0和k<0时，反比例函数y=的增减性，确定m的取值范围.
9．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（　　）
A．y=-2x-1 B．y=x+2 C．y= D．y=x2-2
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，
∴y=-x，
对于y=-2x-1，-x=-2x-1，解得x=-1，∴y=1，∴函数的图象中存在“和美点”，故A不符合；
对于 y=x+2，-x=x+2，解得x=-1，∴y=1，∴函数的图象中存在“和美点”，故B不符合；
对于y=，-x=，无解得，∴函数的图象中不存在“和美点”，故C符合；
对于 y=x2-2，-x=x2-2，解得x=1或-2，∴函数的图象中存在“和美点”，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据“和美点”的定义，对四个函数分别求解.
10．（2025·浙江模拟）将函数的图象绕原点逆时针旋转得到图象，在图象上任取两点，下列命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；旋转对称图形
【解析】【解答】解：将函数 的图象绕原点O逆时针旋转 得到图象C，则图象C的解析式为 ，
∵图象C的解析式为
∴图象C关于原点对称，
∴若 则 故①正确；
∵图象C的解析式为
∴当 时，y随x的增大而减小，
∴若 则 故②正确；
∵图象C的解析式为
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴若 则 故③错误；
故答案为：A.
【分析】先得到旋转后的图象，再根据中心对称性和增减性逐项判断解题.
二、填空题
11．（2025九下·宁波模拟）如图所示，已知一次函数与反比例函数交于点为一次函数上一点，作等腰直角三角形与使得在轴正半上，延长交于点，连结，若，为中点，，则　 　
【答案】20
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥x轴于点H，延长HP，过点M作MG⊥PH交PH于点G，
令y=0.则x-1=0，解得x=1，
∴点B的坐标为(1，0)，∴OB=1，
∵BC=6，
∴OC=OB+BC=1+6=7，∴点C的坐标为(7，0)，
把x=7代入得y=7-1=6，∴点A的坐标为(7，6)，
又∵D是AC的中点，∴点D的坐标为(7，3)，
又∵AC=6=BC，∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵PH⊥x轴，
∴∠PHB=90°，
∴△PBH为等要直角三角形，
∴BH=PH，
设OH=m，则BH=OH-OB=m-1，
∴PH=BH=m-1，即点P的坐标为(m，m-1)，
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴MP=PN，
∵MG⊥PH，PH⊥x轴，
∴∠G=∠MPN=∠PHB=90°，
∴∠GMP+∠GPM=∠NPH=∠GPM=90°，
∴∠GMP=∠NPH，
∴△MPG≌△PNH，
∴MG=PH=m-1，PG=NH=CH=OC-OH=7-m，
∴NH=CH=PG，
∵，，
∴点M的坐标为(1，6)，
设直线MD的解析式为y=kx+b，代入得：
，解得，
∴直线MD的解析式为，
把P(m，m-1)代入得到，解得m=5，
∴点P的坐标为(5，4)，
把点P(5，4)代入得到k=5×4=20，
故答案为，20.
【分析】过点P作PH⊥x轴于点H，延长HP，过点M作MG⊥PH交PH于点G，设OH=m，即可得到△MPG≌△PNH，求出点M的坐标，然后求出直线MD的解析式，再求出点P的坐标，代入反比例函数解析式即可解题.
12．（2025·浙江模拟）如图，矩形ABCD在第一象限内，对角线BD所在直线经过点O，AB//y轴，BC//x轴，反比例函数的图象经过点A和点C，把矩形ABCD沿BD折叠，点A的对应点为点E。当点E落在x轴上，且点B的坐标为（2，1）时，k的值为　 　。
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设E（x，0)，
∵AB//y轴，BC//x轴，点B的坐标为（2，1）， 反比例函数的图象经过点A和点C，
∴A（2，），C（k，1），
∴AB=-1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴D（k，），
∴AD=BC=k-2.
∵把矩形ABCD沿BD折叠，点A的对应点为点E，
∴BE=AB=-1，DE=ADk-2.
∴BE2=（x-2)2+12=(-1)2，
DE2=（x-k)2+()2=(k-2)2，
解得：x1=2，x2=.
∵ 反比例函数，，
∴k=4x-8>0，解得：x>2.
∴x=，
∴k=4x-8=.
故答案为：.
【分析】先根据矩形的性质，用k表示出A，C，D，再计算BE2与DE2，求得x，根据x的范围确定x的值，再求出k.
13．（2025·湖州模拟）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是　 　．
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
14．（2025九下·浙江模拟）如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标系中有A （3， 1）， B （2， -2）， C （1， 0）三点， 设直线AB， BC， AC的解析式分别为，，则，中，最大值为　 　 （填具体数值）.
【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ A （3， 1）， B （2， -2）， 直线AB的解析式为，
∴，解得.
∵ B （2， -2）， C （1， 0），直线BC的解析式为，
∴，解得.
∵ A （3， 1）， C （1， 0），直线AC的解析式为，
∴，解得.
∴，，，
∴，，中最大值为4.
故答案为：4.
【分析】先分别求出三直线的解析式，再求出，的值，然后写了最大值.
15．（2025·鄞州模拟）如图，线段与轴平行，点的坐标为，将线段沿着轴水平向左平移到线段，点的对应点的坐标为，反比例函数的图象同时经过点与点．则的值为　 　．
【答案】-9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，线段AB向左平移了2个单位长度，
∵点A的坐标为(
∵点D的坐标为(
∵点B、C都在反比例函数图象上，
解得
故答案为：
【分析】根据平移法则可得点B、C坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，解出a值，可得k值.
16．（2025九下·定海模拟）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第n个等边三角形的边长等于　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线 与x、y轴交于B、C两点，
而 为等边三角形，
在 中，
同理得：
依此类推，第n个等边三角形的边长等于
故答案为：
【分析】根据题目已知条件可推出， 依此类推，得到第n个等边三角形的边长规律即可
三、解答题
17．（2025·衢州模拟）某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示.甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束.已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间（秒）之间的函数关系如图2所示.
（1）求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长.
（2）求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离.
【答案】（1）解：甲机器人速度：30÷6=5（米/秒），
乙机器人速度：（70-7）÷18=3.5（米/秒），
甲机器人表演的时长为18-70÷5=18-14=4秒.
（2）解：当甲，乙机器人同时到达终点时，相遇点距离展展台终点的终点的距离为0；
当甲，乙机器人相遇在甲表演点时，70-30=40；
当甲，乙机器人相遇在甲表演点之前时，
乙机器人的函数表达式：y=+7，
甲机器人的函数表达式：y=5x（0≤x≤6）；
当时，得，当，，
∴，
答：当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先根据图象得出甲、乙机器人的路程和时间，再计算速度，然后计算出甲机器人表演的时长；
（2）结合图象分为“甲机器人表演前”、“表演时”、“到达终点时”三种情况，分别计算．
18．（2025·衢江模拟）无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）求联合表演时长；
（2）求线段所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？
【答案】（1）解：由图可知：乙无人机的速度为：，
∴当乙无人机到达距离地面时，所用时间为：，
∴联合表演时长；
答：联合表演时长为；
（2）由（1）可知：，
联合表演前：甲无人机的速度为：，
设直线的解析式为：，
把代入，
得：，
解得：；
∴；
（3）由题意可分三种情况：
①当甲无人机单独表演之前：，解得：；
由（2）知：直线的解析式为：，
当时，，即：无人机甲从到，进而单独表演，
②当甲无人机单独表演时：时，；
③当甲无人机单独表演之后，时，；
综上可得：两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）求出乙无人机的速度，进而求出乙无人机到达距离地面的高度为48米时的时间，用表演完成时的时间减去开始表演的时间，求解即可；
（2）求出甲无人机的速度，结合点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分甲单独表演之前和单独表演时和单独表演之后，三种情况进行讨论求解即可．
（1）解：由图可知：乙无人机的速度为：，
∴当乙无人机到达距离地面时，所用时间为：，
∴联合表演时长；
答：联合表演时长为；
（2）由（1）可知：，
联合表演前：甲无人机的速度为：，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
解得：；
∴；
（3）①当甲无人机单独表演之前：，解得：；
由（2）知：直线的解析式为：，
当时，，即：无人机甲从到，进而单独表演，
②当甲无人机单独表演时：时，；
③当甲无人机单独表演之后，时，；
综上：两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米．
19．（2025·湖州模拟）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．
例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）求点的“纵横差”；
（2）求函数的“纵横极差”；
（3）若函数的“纵横极差”为4，求h的值．
【答案】（1）5
（2）
（3）或
【知识点】点的坐标；一次函数的概念
20．（2025·金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的、两点，点的坐标为，线段，点为轴正半轴上一点，且．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）根据图象，请直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：
如图所示，过点A作 轴于点F，
∴在 中，
∴A(3，4)，
∵点A(3，4)在反比例函数 的图象上，
∴反比例函数解析式为
∵点 在反比例函数图象上，
即
把点A(3，4)， 代入一次函数得：
解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：已知点A(3，4)， 点 结合图象可得，当 时， 当 时，
∴解集为： 或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)如图所示，过点A作. 轴于点F，根据可求出点A的坐标，由此可求出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入，可求出点B的坐标，运用待定系数法可求出一次函数解析式；
(2)根据点A，B的坐标，图形结合即可求解.
21．（2025·鄞州模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
【答案】（1）解： 将点A坐标代入反比例函数解析式得，
所以反比例函数解析式为
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
所以点B的坐标为(
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
解得
所以一次函数解析式为
（2）解：由函数图象可知，当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即
所以当 x的取值范围是： 或
（3）解：连接AO，令直线AB与x轴的交点为M，
将 代入 得，
所以点M的坐标为(
所以
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对
称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点B和点C关于点O成中心对称，
所以
所以
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出m，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可.
(2)利用数形结合的数学思想即可解决问题.
(3)连接AO，根据反比例函数与正比例函数的对称性，将 的面积转化为 面积的2倍即可解决问题.
22．（2025·萧山模拟）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一个固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2Ω）亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R，RL之间关系为，通过实验得出如下数据：
R（Ω） … 1 a 3 4 6 …
I（A） … 4 3 2.4 2 b …
（1）a=　 　，b=　 　.
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象.
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是 ▲ .
（3）【拓展】结合(2)中函数图象分析，当0时，的解为　 　.
【答案】（1）2；1.5
（2）解：①根据表格数据描点：，，，，，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下：
②不断减小
（3）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】(1)根据题意，
故答案为： 2， 1.5；
(2)②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
(3)如图：
由函数图象知， 当 或 时，
即当 时，
故答案为： 或
【解答】(1)由已知列出方程，即可解得a，b的值；
(2)①描点画出图象即可；
②观察图象可得答案；
(3)同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案.
23．（2025·浙江模拟）在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，小明、小红两人同时出发，小明从B地骑自行车匀速去A地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往C地，小红步行匀速从C地至A地，小明、小红两人距C地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）求小明、小红两人的速度.
（2）求小明从A地前往C地过程中y关于x的函数表达式.
（3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米.
【答案】（1）解：小明骑自行车速度是：（1200-400）÷2=400（米/分）
小红步行速度是：1200÷12=100（米/分）
（2）解：小明从A地骑自行车到C地的时间为1200÷400=3（分）
将（9，1200)，（12，0)代入y=kx+b
得
y=-400x+4800
（3）解： 情况一：小明从A地到C地的途中，两人相距600米；此时，小明行驶的路程为400x+400，小红行驶的路程为100x ，
根据题意，得，解得；
情况二：小明到达C地后，两人相距600米；此时，小明到达C地，小红行驶的路程为100x，
根据题意，得，解得x=6；
情况三：小明到达C地后，小红超过小明600米；此时，小明到达C地，小红行驶的路程为100x，
根据题意，得 ，解得 ，
答：经过或6或分钟后，小明与小红相距600米 .
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图象可得小明从B地到A地， 停留一段时间后，再以相同的速度匀速从A地到C地，行驶的路程为(1200-400)米时，用时2分钟；小红从A地到C地，行驶的路程是1200米，用时12分钟，从而根据速度等于路程除以时间，列式计算即可；
（2）小明从A地到C地的过程是一条直线，因此y关于x的函数关系式为一次函数，根据图象，我们可以得到该段直线上两个坐标点(9，1200)和(12，0)，从而利用待定系数法求解即可；
（3）分类讨论：①小明从A地到C地的途中，两人相距600米；②小明到达C地后，两人相距600米；③小明到达C地后，小红超过小明600米，分别列出方程，求解即可.
1 / 14月之一次函数与反比例函数—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·浙江模拟）如图是化学实验仪器圆底烧瓶，现向烧瓶中匀速注水，下列图象中能近似反映烧瓶中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）
A． B．
C． D．
2．第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛.下列函数图象可以体现这次比赛过程的是(　　).
A． B．
C． D．
3．（2023·新昌模拟）已知(，)，(，) (，)是反比例函数的图像上的三点，且，则下列命题是真命题的是（　　）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且，则
4．（2025九下·浙江模拟）函数的图象上有两点．若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·衢江模拟）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·镇海区模拟）在平面直角坐标系中，点一定位于（　　）
A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方
C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方
7．（2025·镇海区模拟）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
8．（2025·浙江模拟） 已知点 A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点在反比例函数y=的图象上．则下列判断正确的是（　　）
A．若k>0，则m<0
B．若k<0，则m可能小于0也可能大于0
C．若k>0，点A，B在同一象限，则m>0
D．若k<0，点A，B在不同象限，则m>0
9．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（　　）
A．y=-2x-1 B．y=x+2 C．y= D．y=x2-2
10．（2025·浙江模拟）将函数的图象绕原点逆时针旋转得到图象，在图象上任取两点，下列命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
11．（2025九下·宁波模拟）如图所示，已知一次函数与反比例函数交于点为一次函数上一点，作等腰直角三角形与使得在轴正半上，延长交于点，连结，若，为中点，，则　 　
12．（2025·浙江模拟）如图，矩形ABCD在第一象限内，对角线BD所在直线经过点O，AB//y轴，BC//x轴，反比例函数的图象经过点A和点C，把矩形ABCD沿BD折叠，点A的对应点为点E。当点E落在x轴上，且点B的坐标为（2，1）时，k的值为　 　。
13．（2025·湖州模拟）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是　 　．
14．（2025九下·浙江模拟）如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标系中有A （3， 1）， B （2， -2）， C （1， 0）三点， 设直线AB， BC， AC的解析式分别为，，则，中，最大值为　 　 （填具体数值）.
15．（2025·鄞州模拟）如图，线段与轴平行，点的坐标为，将线段沿着轴水平向左平移到线段，点的对应点的坐标为，反比例函数的图象同时经过点与点．则的值为　 　．
16．（2025九下·定海模拟）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第n个等边三角形的边长等于　 　．
三、解答题
17．（2025·衢州模拟）某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示.甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束.已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间（秒）之间的函数关系如图2所示.
（1）求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长.
（2）求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离.
18．（2025·衢江模拟）无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）求联合表演时长；
（2）求线段所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？
19．（2025·湖州模拟）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．
例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）求点的“纵横差”；
（2）求函数的“纵横极差”；
（3）若函数的“纵横极差”为4，求h的值．
20．（2025·金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的、两点，点的坐标为，线段，点为轴正半轴上一点，且．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）根据图象，请直接写出不等式的解集．
21．（2025·鄞州模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
22．（2025·萧山模拟）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一个固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2Ω）亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R，RL之间关系为，通过实验得出如下数据：
R（Ω） … 1 a 3 4 6 …
I（A） … 4 3 2.4 2 b …
（1）a=　 　，b=　 　.
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象.
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是 ▲ .
（3）【拓展】结合(2)中函数图象分析，当0时，的解为　 　.
23．（2025·浙江模拟）在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，小明、小红两人同时出发，小明从B地骑自行车匀速去A地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往C地，小红步行匀速从C地至A地，小明、小红两人距C地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）求小明、小红两人的速度.
（2）求小明从A地前往C地过程中y关于x的函数表达式.
（3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：化学实验仪器圆底烧瓶，当向烧瓶中匀速注水时，烧瓶中水的深度变化情况会随着注水时间的增加，由急到缓，再由缓到急，到烧瓶颈部时会匀速上升，故D符合.
故答案为：D.
【分析】观察烧瓶的形状，再想像加水速度与时间关系，然后作出判断.
2．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、乌龟比兔子早出发，兔子后出发，先到了，故不符合题意；
B、乌龟比兔子早出发，早到终点，符合题意；
C、乌龟先出发，兔子先到乌龟后到，不符合题意；
D、乌龟先出发，与兔子同时到终点，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据“ 让乌龟先跑一段距离我再去追 ”和“结果兔子又一次输掉了比赛”，可见乌龟早出发到兔子追不上，以此作答.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、且，
，，
则，，
无法确定的正负
故A选项错误；
B、且，又
，，故
但无法确定、的正负
也无法确定的正负
故B选项错误；
C、，且，
且
故C选项正确；
D、
∵，又
，
则，
而无法确定、的正负
无法确定的正负
故D选项错误.
故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上坐标的特点 以及增减性，由各选项的条件及先判断函数值的正负，再判断即可.
4．【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意可得图象关于y轴对称，
∵，
∴m+6到y轴的距离大于m到y轴的距离，
即m+6>-m，
解得m>-3，
故答案为：A.
【分析】根据对称性得到m+6到y轴的距离大于m到y轴的距离，即可得到m+6>-m，求出m的取值范围即可.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：将，两点分别代入和
得：，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由题意，将，两点分别代入和可将x1、x2用含a、k1、k2的代数式表示出来，计算x1-x2的值，结合"，"即可判断符号，然后根据不等式的性质即可求解．
6．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在二次函数的图象上，画出函数图象如下：
A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的上方，故A选项不符合题意；
B、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的下方，故B选项不符合题意；
C、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故C选项符合题意；
D、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据点在二次函数的图象上，画出函数图象判断即可．
7．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：当时，联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关）
当联立直线与
得：，
解得：，
∴点，（顺序无关），
∴发现点与点关于原点成中心对称，点与点关于原点成中心对称，
∴，
故答案为：B．
【分析】分别联立直线和反比例函数解析式得到两次的交点关于原点成中心对称，则的面积不变，即可求解．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：当k>0时，y随x的增大而减小，不知道y1的值在哪个象限，无法判断m<0，故A错误；
当k<0时，点A（x1，y1）与B(x1+m，y1+2)可以在同一象限，也可以不在同一象限，则m可能小于0也可能大于0，故B正确；
当k>0时，点A，B在同一象限，则y随x的增大而减小，所以m<0，故C错误；
当k<0时，点A，B在不同象限，则m<0，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据题意，判断当k>0和k<0时，反比例函数y=的增减性，确定m的取值范围.
9．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，
∴y=-x，
对于y=-2x-1，-x=-2x-1，解得x=-1，∴y=1，∴函数的图象中存在“和美点”，故A不符合；
对于 y=x+2，-x=x+2，解得x=-1，∴y=1，∴函数的图象中存在“和美点”，故B不符合；
对于y=，-x=，无解得，∴函数的图象中不存在“和美点”，故C符合；
对于 y=x2-2，-x=x2-2，解得x=1或-2，∴函数的图象中存在“和美点”，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据“和美点”的定义，对四个函数分别求解.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；旋转对称图形
【解析】【解答】解：将函数 的图象绕原点O逆时针旋转 得到图象C，则图象C的解析式为 ，
∵图象C的解析式为
∴图象C关于原点对称，
∴若 则 故①正确；
∵图象C的解析式为
∴当 时，y随x的增大而减小，
∴若 则 故②正确；
∵图象C的解析式为
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴若 则 故③错误；
故答案为：A.
【分析】先得到旋转后的图象，再根据中心对称性和增减性逐项判断解题.
11．【答案】20
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点P作PH⊥x轴于点H，延长HP，过点M作MG⊥PH交PH于点G，
令y=0.则x-1=0，解得x=1，
∴点B的坐标为(1，0)，∴OB=1，
∵BC=6，
∴OC=OB+BC=1+6=7，∴点C的坐标为(7，0)，
把x=7代入得y=7-1=6，∴点A的坐标为(7，6)，
又∵D是AC的中点，∴点D的坐标为(7，3)，
又∵AC=6=BC，∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵PH⊥x轴，
∴∠PHB=90°，
∴△PBH为等要直角三角形，
∴BH=PH，
设OH=m，则BH=OH-OB=m-1，
∴PH=BH=m-1，即点P的坐标为(m，m-1)，
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴MP=PN，
∵MG⊥PH，PH⊥x轴，
∴∠G=∠MPN=∠PHB=90°，
∴∠GMP+∠GPM=∠NPH=∠GPM=90°，
∴∠GMP=∠NPH，
∴△MPG≌△PNH，
∴MG=PH=m-1，PG=NH=CH=OC-OH=7-m，
∴NH=CH=PG，
∵，，
∴点M的坐标为(1，6)，
设直线MD的解析式为y=kx+b，代入得：
，解得，
∴直线MD的解析式为，
把P(m，m-1)代入得到，解得m=5，
∴点P的坐标为(5，4)，
把点P(5，4)代入得到k=5×4=20，
故答案为，20.
【分析】过点P作PH⊥x轴于点H，延长HP，过点M作MG⊥PH交PH于点G，设OH=m，即可得到△MPG≌△PNH，求出点M的坐标，然后求出直线MD的解析式，再求出点P的坐标，代入反比例函数解析式即可解题.
12．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设E（x，0)，
∵AB//y轴，BC//x轴，点B的坐标为（2，1）， 反比例函数的图象经过点A和点C，
∴A（2，），C（k，1），
∴AB=-1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴D（k，），
∴AD=BC=k-2.
∵把矩形ABCD沿BD折叠，点A的对应点为点E，
∴BE=AB=-1，DE=ADk-2.
∴BE2=（x-2)2+12=(-1)2，
DE2=（x-k)2+()2=(k-2)2，
解得：x1=2，x2=.
∵ 反比例函数，，
∴k=4x-8>0，解得：x>2.
∴x=，
∴k=4x-8=.
故答案为：.
【分析】先根据矩形的性质，用k表示出A，C，D，再计算BE2与DE2，求得x，根据x的范围确定x的值，再求出k.
13．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
14．【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ A （3， 1）， B （2， -2）， 直线AB的解析式为，
∴，解得.
∵ B （2， -2）， C （1， 0），直线BC的解析式为，
∴，解得.
∵ A （3， 1）， C （1， 0），直线AC的解析式为，
∴，解得.
∴，，，
∴，，中最大值为4.
故答案为：4.
【分析】先分别求出三直线的解析式，再求出，的值，然后写了最大值.
15．【答案】-9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，线段AB向左平移了2个单位长度，
∵点A的坐标为(
∵点D的坐标为(
∵点B、C都在反比例函数图象上，
解得
故答案为：
【分析】根据平移法则可得点B、C坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，解出a值，可得k值.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线 与x、y轴交于B、C两点，
而 为等边三角形，
在 中，
同理得：
依此类推，第n个等边三角形的边长等于
故答案为：
【分析】根据题目已知条件可推出， 依此类推，得到第n个等边三角形的边长规律即可
17．【答案】（1）解：甲机器人速度：30÷6=5（米/秒），
乙机器人速度：（70-7）÷18=3.5（米/秒），
甲机器人表演的时长为18-70÷5=18-14=4秒.
（2）解：当甲，乙机器人同时到达终点时，相遇点距离展展台终点的终点的距离为0；
当甲，乙机器人相遇在甲表演点时，70-30=40；
当甲，乙机器人相遇在甲表演点之前时，
乙机器人的函数表达式：y=+7，
甲机器人的函数表达式：y=5x（0≤x≤6）；
当时，得，当，，
∴，
答：当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）先根据图象得出甲、乙机器人的路程和时间，再计算速度，然后计算出甲机器人表演的时长；
（2）结合图象分为“甲机器人表演前”、“表演时”、“到达终点时”三种情况，分别计算．
18．【答案】（1）解：由图可知：乙无人机的速度为：，
∴当乙无人机到达距离地面时，所用时间为：，
∴联合表演时长；
答：联合表演时长为；
（2）由（1）可知：，
联合表演前：甲无人机的速度为：，
设直线的解析式为：，
把代入，
得：，
解得：；
∴；
（3）由题意可分三种情况：
①当甲无人机单独表演之前：，解得：；
由（2）知：直线的解析式为：，
当时，，即：无人机甲从到，进而单独表演，
②当甲无人机单独表演时：时，；
③当甲无人机单独表演之后，时，；
综上可得：两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）求出乙无人机的速度，进而求出乙无人机到达距离地面的高度为48米时的时间，用表演完成时的时间减去开始表演的时间，求解即可；
（2）求出甲无人机的速度，结合点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分甲单独表演之前和单独表演时和单独表演之后，三种情况进行讨论求解即可．
（1）解：由图可知：乙无人机的速度为：，
∴当乙无人机到达距离地面时，所用时间为：，
∴联合表演时长；
答：联合表演时长为；
（2）由（1）可知：，
联合表演前：甲无人机的速度为：，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
解得：；
∴；
（3）①当甲无人机单独表演之前：，解得：；
由（2）知：直线的解析式为：，
当时，，即：无人机甲从到，进而单独表演，
②当甲无人机单独表演时：时，；
③当甲无人机单独表演之后，时，；
综上：两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米．
19．【答案】（1）5
（2）
（3）或
【知识点】点的坐标；一次函数的概念
20．【答案】（1）解：
如图所示，过点A作 轴于点F，
∴在 中，
∴A(3，4)，
∵点A(3，4)在反比例函数 的图象上，
∴反比例函数解析式为
∵点 在反比例函数图象上，
即
把点A(3，4)， 代入一次函数得：
解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：已知点A(3，4)， 点 结合图象可得，当 时， 当 时，
∴解集为： 或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)如图所示，过点A作. 轴于点F，根据可求出点A的坐标，由此可求出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入，可求出点B的坐标，运用待定系数法可求出一次函数解析式；
(2)根据点A，B的坐标，图形结合即可求解.
21．【答案】（1）解： 将点A坐标代入反比例函数解析式得，
所以反比例函数解析式为
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
所以点B的坐标为(
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
解得
所以一次函数解析式为
（2）解：由函数图象可知，当 或 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即
所以当 x的取值范围是： 或
（3）解：连接AO，令直线AB与x轴的交点为M，
将 代入 得，
所以点M的坐标为(
所以
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对
称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点B和点C关于点O成中心对称，
所以
所以
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出m，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可.
(2)利用数形结合的数学思想即可解决问题.
(3)连接AO，根据反比例函数与正比例函数的对称性，将 的面积转化为 面积的2倍即可解决问题.
22．【答案】（1）2；1.5
（2）解：①根据表格数据描点：，，，，，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下：
②不断减小
（3）或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】(1)根据题意，
故答案为： 2， 1.5；
(2)②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
(3)如图：
由函数图象知， 当 或 时，
即当 时，
故答案为： 或
【解答】(1)由已知列出方程，即可解得a，b的值；
(2)①描点画出图象即可；
②观察图象可得答案；
(3)同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案.
23．【答案】（1）解：小明骑自行车速度是：（1200-400）÷2=400（米/分）
小红步行速度是：1200÷12=100（米/分）
（2）解：小明从A地骑自行车到C地的时间为1200÷400=3（分）
将（9，1200)，（12，0)代入y=kx+b
得
y=-400x+4800
（3）解： 情况一：小明从A地到C地的途中，两人相距600米；此时，小明行驶的路程为400x+400，小红行驶的路程为100x ，
根据题意，得，解得；
情况二：小明到达C地后，两人相距600米；此时，小明到达C地，小红行驶的路程为100x，
根据题意，得，解得x=6；
情况三：小明到达C地后，小红超过小明600米；此时，小明到达C地，小红行驶的路程为100x，
根据题意，得 ，解得 ，
答：经过或6或分钟后，小明与小红相距600米 .
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图象可得小明从B地到A地， 停留一段时间后，再以相同的速度匀速从A地到C地，行驶的路程为(1200-400)米时，用时2分钟；小红从A地到C地，行驶的路程是1200米，用时12分钟，从而根据速度等于路程除以时间，列式计算即可；
（2）小明从A地到C地的过程是一条直线，因此y关于x的函数关系式为一次函数，根据图象，我们可以得到该段直线上两个坐标点(9，1200)和(12，0)，从而利用待定系数法求解即可；
（3）分类讨论：①小明从A地到C地的途中，两人相距600米；②小明到达C地后，两人相距600米；③小明到达C地后，小红超过小明600米，分别列出方程，求解即可.
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