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4月之二次函数—浙江中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025九下·宁波模拟）设二次函数的图像与一次函数的图像交于点，，若函数的图像与轴仅有一个交点，则的值是（　　）
A．6 B．8 C． D．7
2．（2025·浙江模拟）已知二次函数，当时，，则值为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·钱塘模拟）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2024·仙居二模）已知点是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，则（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2025·鹿城模拟）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时，　 　．
三、解答题
6．（2025九下·宁波模拟）根据以下素材，探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1：某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：(1)距离水平地面米处有一带弹簧的装置；(2)每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1. 图1
素材2：某班进行试玩，发现：当弹珠从点飞出后形成的路径是抛物线的一半，并正好从挡板1的顶部经过，此时带弹簧的装置距离水平地面的高度米，挡板1至点距离为0.6米，挡板1的高度为0.4米，如图2. 图2
素材3：弹珠游戏装置变化，如图3：(1)在距离点0.8米处新增长度为0.2米的挡板2，挡板1与挡板2之间记为区域I：(2)在距离点1米处新增长度为0.1米的挡板3，挡板2与挡板3之间记为区域II. 图3
问题解决
任务1：确定弹珠路径.请在图2中以点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式.
任务2：确定移动方案.要想让弹珠飞出后落入区域I内，该弹簧装置向上移动的距离要满足什么条件？
任务3：灵活变通.根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整.现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动0.3米，再通过左右移动三块挡板(区域I和区域II的宽度不改变)，让弹珠落入得分更高的区域II内，请计算挡板3横坐标的取值范围。
7．（2025九下·宁波模拟）如果二次函数的图像经过点(-1，0)，那么称此二次函数为“定点抛物线”.
（1）试判断二次函数的图像是否为“定点抛物线”.
（2）若定点抛物线与轴只有一个公共点，求的值.
8．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系中，A，B，C是抛物线上的三个点。
（1）当a=-1时，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若，，当时，试比较，的大小，并说明理由；
（3）若对于，，都有，求b的取值范围。
9．（2025·衢江模拟）已知二次函数，
（1）若抛物线的对称轴为直线，
①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式；
②当时，函数的最小值为，求的最大值．
（2）若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围．
10．（2025·浙江模拟）根据以下素材，探索完成任务.
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网商度为14cm.乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方 25cm的点 P处.
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离∞（m）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处.以O为原点，桌面中线所在直线为∞轴，建立如图2所示的平面直角坐标系。
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）.
问题解决
任务一 研究乒乓球的 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求飞行轨迹写出自变量的取值范围）.
任务二 击球点的确定 （2）当h=20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由。
任务三 击球点的距离 （3）若h=40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围。
11．（2025·浙江模拟）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐.为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11：30下课后15分钟内进入食堂累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下：
经过的时间/分钟 0 1 2 3 4 5 ... 10
累计人数（人） 0 95 180 255 320 375 ... 500
当时与之间的函数关系式.
已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐.
（1）根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式.
（2）排队人数最多时有多少人
（3）若开始取餐分钟后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求的值.
12．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数（b，c是常数）．
（1）若，当时，，求的函数表达式．
（2）当时，判断函数与轴的交点个数，并说明理由．
（3）当时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求的值．
13．（2023九上·龙港月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定防守方案？
素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，已知，．
素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为水平距离（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如右表． 守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． …912151821……5…
问题解决
任务1 确定运动轨迹 求关于的函数表达式．
任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由．
任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度．
14．（2024九下·龙湾模拟）已知二次函数．
（1）若函数图象经过点．
①求该二次函数的表达式．
②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值．
（2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
15．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点.
（1）求的值；
（2）图象上有两点.
①若，求的值；
②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
16．（2025·温州模拟）已知抛物线（a，b为常数）经过点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
（3）点在抛物线上，且在第一象限，若点的纵坐标小于16，求点的横坐标的取值范围．
17．（2025·镇海区模拟） 已知点在二次函数 的图象上， 且满足．
（1）如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点P，求；
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
18．（2025九下·奉化模拟）小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？
（3）小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围．
19．（2025·鄞州模拟）如图，抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，过N作交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q，连接PK，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
20．（2025九下·洞头模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点和。
（1）求二次函数的表达式。
（2）若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值。
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2，求的取值范围。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数 的图象经过点（ 0)，
解得
∵当 时，
∴当 时，
与x轴仅有一个交点，
的图象与x轴的交点为
∴
解得，
∴
故答案为：B.
【分析】首先根据一次函数的图象经过点 即可求出的值，然后根据函数 的图象与x轴仅有一个交点，可得函数 与x轴的交点为，求出的值，代入计算解题即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线x=1，当x=1时，y有最大值为，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴当时，有，当时，有，
解得：，，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质可知二次函数开口向下，对称轴为直线x=1，当x=1时，y有最大值为，由“开口向下的二次函数上的点距离对称轴越近，则所对应的函数值越大”可知当时，有，当时，有，解方程求出a，b的值，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质；二次函数的对称性及应用
4．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、B在二次函数的图像上，故①，②
而m>0，故，由韦达定理知，即
②-①得得|n|>|m|，而m>0>n得-n>m故，由韦达定理得即
综上所述：
故答案为：C.
【分析】分别将A、B坐标代入函数得①，②，可得k>1，②-①得-n>m，得，由韦达定理即可得两根之和与积的范围.
5．【答案】
【知识点】相似三角形的应用；二次函数的实际应用-几何问题；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：过点作于点，交于点，
，
，
即，
解得，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
故当时，矩形面积最大，
，
此时，
故答案为：．
【分析】过点作于点，交于点，根据三角形ABC的面积等于40看求出的值，由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据比例式可将DE用含DG的代数式表示出来，于是，将S矩形DEFG与DG之间的函数关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解．
6．【答案】解：任务1：根据题意，得：抛物线的顶点 对称轴为直线
∴设此抛物线为 即 ，
∵此抛物线经过挡板1顶部，
∴即过点 代入
解得：
∴此抛物线的解析式为
任务2：∵该弹簧装置向上移动，
∴设
∵想让弹珠飞出后落入区域I内，且挡板
∴把 代入
解得：
∵把挡板 代入
解得：
任务3：∵装置向上移动0.3米，
∴得
∴当 时， 解得： (负值舍去)，
∵区域I和区域II的宽度不改变，
∴此时挡板1的横坐标为
不会被挡板1挡住，
∵当 时，
解得： (负值舍去)，
∵挡板2的横坐标为
.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】任务1：设此抛物线的解析式为 ，由题意得顶点 对称轴为直线 且经过 分别代入，即可求解；
任务2：设抛物线为 把 分别代入，即可求解；
任务3：根据题意，得知 可得 通过挡板2的高度 解得其横坐标为 因区域I和区域II的宽度不改变，推出挡板1的横坐标和纵坐标，得抛物线不被挡板1挡住，将挡板3的高度 代入抛物线，得横坐标，结合区域II的宽度即可求解.
7．【答案】（1）∵当x=-1时，y=2+5-7=0，
∴二次函数图象经过点（-1，0），
∴二次函数y=2x2-5x-7是定点抛物线.
（2）由题意得，
∴
∴
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1) 把 1代入抛物线解析式，判断y的值是否为0，即可解决问题.
(2) 因为 与x轴只有一个公共点，所以 是抛物线顶点，所以抛物线解析式为 由此即可解决问题.
8．【答案】（1）解：当a=-1时，点C为（2，-1），
∵点C在抛物线上，∴4+2b+3=-1，解得：b=-4，
∴解析式为，
∵当y=0时，，解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）.
（2）解：∵点C（2，a）在抛物线上，
∴4+2b+3=a，解得：a=2b+7，
∵a＞3，
∴2b+7＞3，
∴b＞-2，
∵抛物线对称轴为：直线＜1，
∴A（，）离对称轴比B（，）更近
∵抛物线开口向上，故离对称轴越近，函数值越小，
∴＜.
（3）解：∵对于，，都有，
∴与异号，
①若，即b＜0，
∵当时，必然大于0，
∴当x=1时，y=1+b+3≤0，解得b≤，
当x=4时，y=16+4b+3≤0，解得b≤，
∴b≤，
②若，即b＞0，
∵当时，必然大于0，
∴当x=-5时，y=25-5b+3≤0，解得b≥，
当x=-2时，y=4-2b+3≤0，解得b≥，
∴b≥，
综上所述，b的取值范围为b≤或b≥
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据点C在抛物线上，求出抛物线解析式，再取y=0，求得手与x轴的交点坐标；
（2）先根据点C在抛物线上，求得a与b的关系式，再根据a>3，求得b的范围，然后根据抛物线对角轴<1，推出点A比点B离对称轴近，再结合图象比较两函数值的大小；
（3）先确定与异号，再分“”、“”两种情形，分别求得b的范围.
9．【答案】（1）解：①由题意，得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为：；
∵时，函数的最小值为，
∴，
解得：，
∴的最大值为；
（2）解：∵当时，取值范围是，
∴当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大，
∵二次函数图象经过，两点，且，
∴，
解得：或；
故或．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①由题意，用待定系数法即可求解；
②根据①中求得的解析式得：当时，有最小值为，根据当时，函数的最小值为，得到，解之即可求解；
（2）根据时，取值范围是，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，求出的取值的范围即可．
（1）解：①由题意，得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为：；
∵时，函数的最小值为，
∴，
解得：，
∴的最大值为；
（2）解：∵当时，取值范围是，
∴当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大，
∵二次函数图象经过，两点，且，
∴，
解得：或；
故或．
10．【答案】解：任务一：∵抛物线的顶点坐标为：（100，45），
∴设抛物线的解析式为y=a(x-100)2+45，
∵点P（0，25）在抛物线上，
∴a(x-100)2+45=25，解得：a=-，
所以抛物线的解析式为y=-(x-100)2+45；
任务二：不能实现，理由如下：
击球点为R（300，20），
球网上方点F的坐标为（140，14），
设直线RO解析式为：y=kx，
∴300k=20，
解得：k=，
∴直线RO解析式为y=x，
当x=140时，y=，14=，
所以不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：y=a1(x-300)2+40，
当a1=a时，y=-(x-300)2+40，
当y=0时， -(x-300)2+40=0，
解得：x=250或x=-50，
∴点M的坐标为（250，0），
∵点M在抛物线y=a1(x-300)2+40上，
∴a1(250-300)2+40=0，
解得：a1=，
∴弹起后抛物线的表达式为：y=(x-300)2+40，
∵a=，
∴弹起时最大高度为40cm，
∴弹起高度范围为30≤y≤40，
当y=30时，(x-300)2+40=30，
解得：x=275或x=325，
∵ 当x=300时，y=40，275<300<325，
∴击球点与发球机水平距离 的取值范围为275【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务一：根据抛物线的顶点坐标，设出顶点式，将点P的坐标代入，求出a，得出抛物线的解析式；
任务二：先判断不能实现，再说明理由.
设直线RO解析式为：y=kx，将R点坐标代入，求出k，得到直线RO的解析式，将x=140代入，求出函数值与14比较，说明不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：y=a1(x-300)2+40，
当a1=a时，取y=0，求出点M的坐标，根据点M在抛物线y=a1(x-300)2+40上，求出a1，从而，可得弹起高度范围，取y=30，求出x的值，得出击球点与发球机水平距离 的取值范围.
11．【答案】（1）解：根据表格数据，当时，设与之间的函数关系式为，
将（0，0），（1，95），（2，180）代入关系式，得，
解得：，
∴当时，与之间的函数关系式为；
（2）解：设排队人数为人，
∵食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐，
∴每分钟取好餐的同学人数为：5×4=20（个），
当时，，
∴当时，有最大值为320；
当时，，
排队人数最多时有320人；
（3）解：∵开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐，
∴，
∴，
都是自然数，
∴，
.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意，可知当时，设与之间的函数关系式为，然后利用待定系数法进行求解即可；
（2）设排队人数为人，根据题意可知每分钟取好餐的同学人数为20人，然后分两种情况讨论：当时，，当时，有最大值为320；当时，，则，据此即可求解；
（3）根据题意列出方程并化简为，由m，x是自然数即可求出m，x的值.
12．【答案】（1）解：把c=2代入y=x2+bx+c， 得y=x2+bx+2，
∵当x=-1时，y=4，
∴4=1-b+2，
∴b=-1，
∴二次函数的关系式为y=x2-x+2；
（2）解：把c=b-2代入y=x2+bx+c，
得y=x2+bx+b-2，
∵Δ=b2-4c
=b2-4(b-2)
=b2-4b+8=(b-2)2+4>0，
∴函数y=x2+bx+c的图象与x轴有两个交点；
（3）解：∵该函数顶点坐标为 ，
，其对称轴为直线： ，
∴当x=2与x=-3时，对应的函数值相等；
∵该函数二次项系数为1＞0，
∴图象开口向上，
①当 时，函数最大值在x=2处取得，最小值在x=m处取得，
函数最大值为： ，函数最小值为 ，
∵最大值与最小值的差为5，
，即 ，
解得：（舍去），
；
②当 时，函数最大值在x=2或x=-3处取得，最小值在x=处取得，
函数最大值为： ，函数最小值为 ，
∵最大值与最小值的差为5，
，不符合题意；
③当 时，函数最大值在x=m处取得，最小值在x=处取得，
函数最大值为： ，函数最小值为 ，
∵最大值与最小值的差为5，
，即 ，
（两个都不符合题意，舍去）；
的值为 ．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把c=2与x=-1，y=4同时代入y=x2+bx+c可求出b的值，从而可得该函数的解析式；
（2）把c=b-2代入y=x2+bx+c， 得y=x2+bx+b-2，然后算出判别式“△=b2-4ac”的值，进而将判别式的值利用配方法配成一个完全平方式与一个正数的和得形式，结合偶数次幂的非负性可得判别式的值一定大于零，从而即可得出函数y=x2+bx+c的图象与x轴有两个交点；
（3）将函数顶点坐标代入可求出抛物线的解析式为y=x2+x+2，其对称轴直线为；根据抛物线的对称性可得当x=2与x=-3时，对应的函数值相等；由于抛物线的二次项系数大于零，故图象开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；从而分类讨论：①当 时，函数最大值在x=2处取得，最小值在x=m处取得，②当 时，函数最大值在x=2或x=-3处取得，最小值在x=处取得，③当 时，函数最大值在x=m处取得，最小值在x=处取得，分别算出对应的最大值及最小值，由最大值与最小值的差为5建立方程，求解并检验即可得出答案.
13．【答案】任务一：
解：任务1：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴h关于s的函数表达式为；
任务二：
任务2：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下：
在中，当时，，
∵，
∴若守门员选择原地接球，不能防守成功；
任务三
：当守门员刚好接到球时，则，
把代入中得：，
解得，
∴此时球的飞行时间为，
∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于，
∴守门员的速度要大于等于，
∴守门员的最小速度为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）计算出当时h的值即可得到答案；
（3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度．
14．【答案】（1）解：（1）①将代入可得，解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，解得：，
∴，
∴．
（2）解：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；配方法的应用
【解析】【分析】
（1）①利用待定系数法将代入二次函数解析式即可；
②由于B、C两点的纵坐标相同，则B、C两点关于抛物线的对称轴对称，此时可利用抛物线解析式得到对称轴的表达式从而求出的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征代入点坐标即可求得n；
（2）由于 与和是定值，则可用含的代数式表示，则可分别用含的代数式表示出与的和，最后再使用配方法即可．
15．【答案】（1）解：由已知，二次函数的图象经过点，得，
解得
（2）解：①由题，，得.
.
②的最小值为0
∴的最小值为0
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】把点A的坐标代入函数解析式，求出k值即可；
（2）①代入两点坐标计算y1-y2得到t=m，然后代入计算解题；
② 先代入两点坐标计算y1+y2，然后配方得到，即可解题.
16．【答案】（1）解：把和代入，
得解得
抛物线的函数表达式为．
（2）解：，
抛物线的顶点坐标为，
解得
（3）令，则，解得．
令，则，解得．
点在抛物线上，且在第一象限，
由图象可得，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）利用待定系数法列关于a、b的二元一次方程组并求解即可；
（2）先把抛物线的一般形式转化为顶点式，即可得出顶点坐标；再根据平移的性质结合B点坐标即可分别求出m、n的值；
（3）令抛物线的函数值为0，先求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为和，由于C在抛物线上且在第一象限，即点C的横坐标在0和之间；又已知点C的纵坐标小于16，即抛物线对应的函数值小于16，令，解关于x的二元一次方程得x的值是1和5，由于抛物线是轴对称图形，因此点C的横坐标的取值范围是两段，分别在1和0之间及5与之间.
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；二次函数-面积问题
18．【答案】（1）解：由题意， 抛物线顶点为(2，3)，
∴可设该抛物线的表达式为
将点(0，1)代入， 得4
∴该抛物线的表达式为
（2）解：由题意，当 时，
∴水流能越过该障碍物
（3）解：由题意，
∴抛物线的对称轴为直线
①当 即 时，将 代入 得
②当 即 时，将 代入 得
综上所述，a的取值范围为
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)依据题意，抛物线顶点为(2，3)，从而可设该抛物线的表达式为 再将点(0，1)代入， 得 可得 进而可以得解；
(2)依据题意， 当 时，求出y值与2作比较故解题；
(3)依据题意，由 可得抛物线的对称轴为直线 再结合二次函数的性质进行分 和 两种情形讨论计算可以得解.
19．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点
∴，解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴顶点坐标为
（2）解：延长MN交x轴于E
∵B（2，0），C（0，2）
∴OB=OC=2
∴
∵
∴
∴
∵A（-4，0）
∴直线AC解析式为
设
∵点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，
∴M点坐标为，N点坐标为
∴
∴
∴当时的值最大，最大值是，此时点M的坐标
（3）P点坐标为、、、
解：∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，且，
∴相当于将抛物线先向右平移6个单位长度再向上平移3个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为
∴新抛物线与y轴交于点K坐标为
∵在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标
∴直线MK解析式为
∵P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q
∴设，则
∴
当时，
∵
∴，解得或
当时，，
当时，，故舍去
当时，
∵
∴，解得，此时
当时，
∵
∴，解得，解得或
当时，，
当时，
综上所述，当为等腰三角形时，P点坐标为、、、
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
20．【答案】（1）把和代入，
得解得
二次函数的关系式为
（2）由题意可得，抛物线对称轴为直线
则，
再向左平移个单位长度后的点为，恰好落在的图象上，
解得.
又因为，所以
（3）二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2
当时，二次函数的最小值为，最大值为7；则-2，解得，不合题意，舍去；
当时，二次函数的最小值为-9，最大值为7；则，符合题意.
当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为-2，不合题意.
综上所述，的取值范围是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把和代入，可列出方程组，解方程组可求出b和c的值，据此可求出二次函数的表达式 ；
（2）先求出抛物线对称轴为直线，根据，利用抛物线的对称性可求出，再由点的平移得到，由点在抛物线上，据此可列出方程，解方程可求出m的值，进而可求出答案；
（3）根据次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2，分两种情况：当时；当时；利用二次函数的性质可列出方程-2，并检验 最大值与最小值的和为-2 ，进而可求出n的取值范围．
1 / 14月之二次函数—浙江中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025九下·宁波模拟）设二次函数的图像与一次函数的图像交于点，，若函数的图像与轴仅有一个交点，则的值是（　　）
A．6 B．8 C． D．7
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵一次函数 的图象经过点（ 0)，
解得
∵当 时，
∴当 时，
与x轴仅有一个交点，
的图象与x轴的交点为
∴
解得，
∴
故答案为：B.
【分析】首先根据一次函数的图象经过点 即可求出的值，然后根据函数 的图象与x轴仅有一个交点，可得函数 与x轴的交点为，求出的值，代入计算解题即可.
2．（2025·浙江模拟）已知二次函数，当时，，则值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线x=1，当x=1时，y有最大值为，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴当时，有，当时，有，
解得：，，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质可知二次函数开口向下，对称轴为直线x=1，当x=1时，y有最大值为，由“开口向下的二次函数上的点距离对称轴越近，则所对应的函数值越大”可知当时，有，当时，有，解方程求出a，b的值，即可求解.
3．（2025·钱塘模拟）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】不等式的性质；二次函数的对称性及应用
4．（2024·仙居二模）已知点是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、B在二次函数的图像上，故①，②
而m>0，故，由韦达定理知，即
②-①得得|n|>|m|，而m>0>n得-n>m故，由韦达定理得即
综上所述：
故答案为：C.
【分析】分别将A、B坐标代入函数得①，②，可得k>1，②-①得-n>m，得，由韦达定理即可得两根之和与积的范围.
二、填空题
5．（2025·鹿城模拟）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时，　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用；二次函数的实际应用-几何问题；三角形内接矩形相似模型
【解析】【解答】解：过点作于点，交于点，
，
，
即，
解得，
四边形为矩形，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
故当时，矩形面积最大，
，
此时，
故答案为：．
【分析】过点作于点，交于点，根据三角形ABC的面积等于40看求出的值，由“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据比例式可将DE用含DG的代数式表示出来，于是，将S矩形DEFG与DG之间的函数关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质可求解．
三、解答题
6．（2025九下·宁波模拟）根据以下素材，探索完成任务
设计弹弹珠游戏
素材1：某班级组织趣味弹弹珠游戏，设计如下：(1)距离水平地面米处有一带弹簧的装置；(2)每次将弹簧向左挤压相同距离，松手后弹珠从点水平飞出，研究路径时弹珠直径可忽略，如图1. 图1
素材2：某班进行试玩，发现：当弹珠从点飞出后形成的路径是抛物线的一半，并正好从挡板1的顶部经过，此时带弹簧的装置距离水平地面的高度米，挡板1至点距离为0.6米，挡板1的高度为0.4米，如图2. 图2
素材3：弹珠游戏装置变化，如图3：(1)在距离点0.8米处新增长度为0.2米的挡板2，挡板1与挡板2之间记为区域I：(2)在距离点1米处新增长度为0.1米的挡板3，挡板2与挡板3之间记为区域II. 图3
问题解决
任务1：确定弹珠路径.请在图2中以点为原点建立直角坐标系，并求出弹珠飞出路径对应的抛物线解析式.
任务2：确定移动方案.要想让弹珠飞出后落入区域I内，该弹簧装置向上移动的距离要满足什么条件？
任务3：灵活变通.根据同学们的实际游戏情况，上下移动装置很难精准将弹珠落入固定区域内，希望作出调整.现做出如下改动，在任务1的基础上，先将装置向上移动0.3米，再通过左右移动三块挡板(区域I和区域II的宽度不改变)，让弹珠落入得分更高的区域II内，请计算挡板3横坐标的取值范围。
【答案】解：任务1：根据题意，得：抛物线的顶点 对称轴为直线
∴设此抛物线为 即 ，
∵此抛物线经过挡板1顶部，
∴即过点 代入
解得：
∴此抛物线的解析式为
任务2：∵该弹簧装置向上移动，
∴设
∵想让弹珠飞出后落入区域I内，且挡板
∴把 代入
解得：
∵把挡板 代入
解得：
任务3：∵装置向上移动0.3米，
∴得
∴当 时， 解得： (负值舍去)，
∵区域I和区域II的宽度不改变，
∴此时挡板1的横坐标为
不会被挡板1挡住，
∵当 时，
解得： (负值舍去)，
∵挡板2的横坐标为
.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】任务1：设此抛物线的解析式为 ，由题意得顶点 对称轴为直线 且经过 分别代入，即可求解；
任务2：设抛物线为 把 分别代入，即可求解；
任务3：根据题意，得知 可得 通过挡板2的高度 解得其横坐标为 因区域I和区域II的宽度不改变，推出挡板1的横坐标和纵坐标，得抛物线不被挡板1挡住，将挡板3的高度 代入抛物线，得横坐标，结合区域II的宽度即可求解.
7．（2025九下·宁波模拟）如果二次函数的图像经过点(-1，0)，那么称此二次函数为“定点抛物线”.
（1）试判断二次函数的图像是否为“定点抛物线”.
（2）若定点抛物线与轴只有一个公共点，求的值.
【答案】（1）∵当x=-1时，y=2+5-7=0，
∴二次函数图象经过点（-1，0），
∴二次函数y=2x2-5x-7是定点抛物线.
（2）由题意得，
∴
∴
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1) 把 1代入抛物线解析式，判断y的值是否为0，即可解决问题.
(2) 因为 与x轴只有一个公共点，所以 是抛物线顶点，所以抛物线解析式为 由此即可解决问题.
8．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系中，A，B，C是抛物线上的三个点。
（1）当a=-1时，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若，，当时，试比较，的大小，并说明理由；
（3）若对于，，都有，求b的取值范围。
【答案】（1）解：当a=-1时，点C为（2，-1），
∵点C在抛物线上，∴4+2b+3=-1，解得：b=-4，
∴解析式为，
∵当y=0时，，解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）.
（2）解：∵点C（2，a）在抛物线上，
∴4+2b+3=a，解得：a=2b+7，
∵a＞3，
∴2b+7＞3，
∴b＞-2，
∵抛物线对称轴为：直线＜1，
∴A（，）离对称轴比B（，）更近
∵抛物线开口向上，故离对称轴越近，函数值越小，
∴＜.
（3）解：∵对于，，都有，
∴与异号，
①若，即b＜0，
∵当时，必然大于0，
∴当x=1时，y=1+b+3≤0，解得b≤，
当x=4时，y=16+4b+3≤0，解得b≤，
∴b≤，
②若，即b＞0，
∵当时，必然大于0，
∴当x=-5时，y=25-5b+3≤0，解得b≥，
当x=-2时，y=4-2b+3≤0，解得b≥，
∴b≥，
综上所述，b的取值范围为b≤或b≥
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据点C在抛物线上，求出抛物线解析式，再取y=0，求得手与x轴的交点坐标；
（2）先根据点C在抛物线上，求得a与b的关系式，再根据a>3，求得b的范围，然后根据抛物线对角轴<1，推出点A比点B离对称轴近，再结合图象比较两函数值的大小；
（3）先确定与异号，再分“”、“”两种情形，分别求得b的范围.
9．（2025·衢江模拟）已知二次函数，
（1）若抛物线的对称轴为直线，
①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式；
②当时，函数的最小值为，求的最大值．
（2）若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围．
【答案】（1）解：①由题意，得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为：；
∵时，函数的最小值为，
∴，
解得：，
∴的最大值为；
（2）解：∵当时，取值范围是，
∴当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大，
∵二次函数图象经过，两点，且，
∴，
解得：或；
故或．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①由题意，用待定系数法即可求解；
②根据①中求得的解析式得：当时，有最小值为，根据当时，函数的最小值为，得到，解之即可求解；
（2）根据时，取值范围是，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，求出的取值的范围即可．
（1）解：①由题意，得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为：；
∵时，函数的最小值为，
∴，
解得：，
∴的最大值为；
（2）解：∵当时，取值范围是，
∴当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大，
∵二次函数图象经过，两点，且，
∴，
解得：或；
故或．
10．（2025·浙江模拟）根据以下素材，探索完成任务.
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网商度为14cm.乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方 25cm的点 P处.
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离∞（m）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处.以O为原点，桌面中线所在直线为∞轴，建立如图2所示的平面直角坐标系。
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）.
问题解决
任务一 研究乒乓球的 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求飞行轨迹写出自变量的取值范围）.
任务二 击球点的确定 （2）当h=20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由。
任务三 击球点的距离 （3）若h=40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围。
【答案】解：任务一：∵抛物线的顶点坐标为：（100，45），
∴设抛物线的解析式为y=a(x-100)2+45，
∵点P（0，25）在抛物线上，
∴a(x-100)2+45=25，解得：a=-，
所以抛物线的解析式为y=-(x-100)2+45；
任务二：不能实现，理由如下：
击球点为R（300，20），
球网上方点F的坐标为（140，14），
设直线RO解析式为：y=kx，
∴300k=20，
解得：k=，
∴直线RO解析式为y=x，
当x=140时，y=，14=，
所以不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：y=a1(x-300)2+40，
当a1=a时，y=-(x-300)2+40，
当y=0时， -(x-300)2+40=0，
解得：x=250或x=-50，
∴点M的坐标为（250，0），
∵点M在抛物线y=a1(x-300)2+40上，
∴a1(250-300)2+40=0，
解得：a1=，
∴弹起后抛物线的表达式为：y=(x-300)2+40，
∵a=，
∴弹起时最大高度为40cm，
∴弹起高度范围为30≤y≤40，
当y=30时，(x-300)2+40=30，
解得：x=275或x=325，
∵ 当x=300时，y=40，275<300<325，
∴击球点与发球机水平距离 的取值范围为275【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务一：根据抛物线的顶点坐标，设出顶点式，将点P的坐标代入，求出a，得出抛物线的解析式；
任务二：先判断不能实现，再说明理由.
设直线RO解析式为：y=kx，将R点坐标代入，求出k，得到直线RO的解析式，将x=140代入，求出函数值与14比较，说明不能实现；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：y=a1(x-300)2+40，
当a1=a时，取y=0，求出点M的坐标，根据点M在抛物线y=a1(x-300)2+40上，求出a1，从而，可得弹起高度范围，取y=30，求出x的值，得出击球点与发球机水平距离 的取值范围.
11．（2025·浙江模拟）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐.为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11：30下课后15分钟内进入食堂累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下：
经过的时间/分钟 0 1 2 3 4 5 ... 10
累计人数（人） 0 95 180 255 320 375 ... 500
当时与之间的函数关系式.
已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐.
（1）根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式.
（2）排队人数最多时有多少人
（3）若开始取餐分钟后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求的值.
【答案】（1）解：根据表格数据，当时，设与之间的函数关系式为，
将（0，0），（1，95），（2，180）代入关系式，得，
解得：，
∴当时，与之间的函数关系式为；
（2）解：设排队人数为人，
∵食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐，
∴每分钟取好餐的同学人数为：5×4=20（个），
当时，，
∴当时，有最大值为320；
当时，，
排队人数最多时有320人；
（3）解：∵开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐，
∴，
∴，
都是自然数，
∴，
.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意，可知当时，设与之间的函数关系式为，然后利用待定系数法进行求解即可；
（2）设排队人数为人，根据题意可知每分钟取好餐的同学人数为20人，然后分两种情况讨论：当时，，当时，有最大值为320；当时，，则，据此即可求解；
（3）根据题意列出方程并化简为，由m，x是自然数即可求出m，x的值.
12．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数（b，c是常数）．
（1）若，当时，，求的函数表达式．
（2）当时，判断函数与轴的交点个数，并说明理由．
（3）当时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求的值．
【答案】（1）解：把c=2代入y=x2+bx+c， 得y=x2+bx+2，
∵当x=-1时，y=4，
∴4=1-b+2，
∴b=-1，
∴二次函数的关系式为y=x2-x+2；
（2）解：把c=b-2代入y=x2+bx+c，
得y=x2+bx+b-2，
∵Δ=b2-4c
=b2-4(b-2)
=b2-4b+8=(b-2)2+4>0，
∴函数y=x2+bx+c的图象与x轴有两个交点；
（3）解：∵该函数顶点坐标为 ，
，其对称轴为直线： ，
∴当x=2与x=-3时，对应的函数值相等；
∵该函数二次项系数为1＞0，
∴图象开口向上，
①当 时，函数最大值在x=2处取得，最小值在x=m处取得，
函数最大值为： ，函数最小值为 ，
∵最大值与最小值的差为5，
，即 ，
解得：（舍去），
；
②当 时，函数最大值在x=2或x=-3处取得，最小值在x=处取得，
函数最大值为： ，函数最小值为 ，
∵最大值与最小值的差为5，
，不符合题意；
③当 时，函数最大值在x=m处取得，最小值在x=处取得，
函数最大值为： ，函数最小值为 ，
∵最大值与最小值的差为5，
，即 ，
（两个都不符合题意，舍去）；
的值为 ．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把c=2与x=-1，y=4同时代入y=x2+bx+c可求出b的值，从而可得该函数的解析式；
（2）把c=b-2代入y=x2+bx+c， 得y=x2+bx+b-2，然后算出判别式“△=b2-4ac”的值，进而将判别式的值利用配方法配成一个完全平方式与一个正数的和得形式，结合偶数次幂的非负性可得判别式的值一定大于零，从而即可得出函数y=x2+bx+c的图象与x轴有两个交点；
（3）将函数顶点坐标代入可求出抛物线的解析式为y=x2+x+2，其对称轴直线为；根据抛物线的对称性可得当x=2与x=-3时，对应的函数值相等；由于抛物线的二次项系数大于零，故图象开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；从而分类讨论：①当 时，函数最大值在x=2处取得，最小值在x=m处取得，②当 时，函数最大值在x=2或x=-3处取得，最小值在x=处取得，③当 时，函数最大值在x=m处取得，最小值在x=处取得，分别算出对应的最大值及最小值，由最大值与最小值的差为5建立方程，求解并检验即可得出答案.
13．（2023九上·龙港月考）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定防守方案？
素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，已知，．
素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为水平距离（水平距离=水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如右表． 守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． …912151821……5…
问题解决
任务1 确定运动轨迹 求关于的函数表达式．
任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由．
任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度．
【答案】任务一：
解：任务1：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴h关于s的函数表达式为；
任务二：
任务2：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下：
在中，当时，，
∵，
∴若守门员选择原地接球，不能防守成功；
任务三
：当守门员刚好接到球时，则，
把代入中得：，
解得，
∴此时球的飞行时间为，
∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于，
∴守门员的速度要大于等于，
∴守门员的最小速度为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）计算出当时h的值即可得到答案；
（3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度．
14．（2024九下·龙湾模拟）已知二次函数．
（1）若函数图象经过点．
①求该二次函数的表达式．
②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值．
（2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
【答案】（1）解：（1）①将代入可得，解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，解得：，
∴，
∴．
（2）解：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；配方法的应用
【解析】【分析】
（1）①利用待定系数法将代入二次函数解析式即可；
②由于B、C两点的纵坐标相同，则B、C两点关于抛物线的对称轴对称，此时可利用抛物线解析式得到对称轴的表达式从而求出的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征代入点坐标即可求得n；
（2）由于 与和是定值，则可用含的代数式表示，则可分别用含的代数式表示出与的和，最后再使用配方法即可．
15．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点.
（1）求的值；
（2）图象上有两点.
①若，求的值；
②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由已知，二次函数的图象经过点，得，
解得
（2）解：①由题，，得.
.
②的最小值为0
∴的最小值为0
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】把点A的坐标代入函数解析式，求出k值即可；
（2）①代入两点坐标计算y1-y2得到t=m，然后代入计算解题；
② 先代入两点坐标计算y1+y2，然后配方得到，即可解题.
16．（2025·温州模拟）已知抛物线（a，b为常数）经过点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
（3）点在抛物线上，且在第一象限，若点的纵坐标小于16，求点的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：把和代入，
得解得
抛物线的函数表达式为．
（2）解：，
抛物线的顶点坐标为，
解得
（3）令，则，解得．
令，则，解得．
点在抛物线上，且在第一象限，
由图象可得，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）利用待定系数法列关于a、b的二元一次方程组并求解即可；
（2）先把抛物线的一般形式转化为顶点式，即可得出顶点坐标；再根据平移的性质结合B点坐标即可分别求出m、n的值；
（3）令抛物线的函数值为0，先求出抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为和，由于C在抛物线上且在第一象限，即点C的横坐标在0和之间；又已知点C的纵坐标小于16，即抛物线对应的函数值小于16，令，解关于x的二元一次方程得x的值是1和5，由于抛物线是轴对称图形，因此点C的横坐标的取值范围是两段，分别在1和0之间及5与之间.
17．（2025·镇海区模拟） 已知点在二次函数 的图象上， 且满足．
（1）如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点P，求；
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；二次函数-面积问题
18．（2025九下·奉化模拟）小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？
（3）小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意， 抛物线顶点为(2，3)，
∴可设该抛物线的表达式为
将点(0，1)代入， 得4
∴该抛物线的表达式为
（2）解：由题意，当 时，
∴水流能越过该障碍物
（3）解：由题意，
∴抛物线的对称轴为直线
①当 即 时，将 代入 得
②当 即 时，将 代入 得
综上所述，a的取值范围为
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)依据题意，抛物线顶点为(2，3)，从而可设该抛物线的表达式为 再将点(0，1)代入， 得 可得 进而可以得解；
(2)依据题意， 当 时，求出y值与2作比较故解题；
(3)依据题意，由 可得抛物线的对称轴为直线 再结合二次函数的性质进行分 和 两种情形讨论计算可以得解.
19．（2025·鄞州模拟）如图，抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，过N作交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q，连接PK，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点
∴，解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴顶点坐标为
（2）解：延长MN交x轴于E
∵B（2，0），C（0，2）
∴OB=OC=2
∴
∵
∴
∴
∵A（-4，0）
∴直线AC解析式为
设
∵点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，
∴M点坐标为，N点坐标为
∴
∴
∴当时的值最大，最大值是，此时点M的坐标
（3）P点坐标为、、、
解：∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，且，
∴相当于将抛物线先向右平移6个单位长度再向上平移3个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为
∴新抛物线与y轴交于点K坐标为
∵在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标
∴直线MK解析式为
∵P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q
∴设，则
∴
当时，
∵
∴，解得或
当时，，
当时，，故舍去
当时，
∵
∴，解得，此时
当时，
∵
∴，解得，解得或
当时，，
当时，
综上所述，当为等腰三角形时，P点坐标为、、、
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
20．（2025九下·洞头模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点和。
（1）求二次函数的表达式。
（2）若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值。
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2，求的取值范围。
【答案】（1）把和代入，
得解得
二次函数的关系式为
（2）由题意可得，抛物线对称轴为直线
则，
再向左平移个单位长度后的点为，恰好落在的图象上，
解得.
又因为，所以
（3）二次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2
当时，二次函数的最小值为，最大值为7；则-2，解得，不合题意，舍去；
当时，二次函数的最小值为-9，最大值为7；则，符合题意.
当时，最大值大于7，则最大值与最小值的和不可能为-2，不合题意.
综上所述，的取值范围是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把和代入，可列出方程组，解方程组可求出b和c的值，据此可求出二次函数的表达式 ；
（2）先求出抛物线对称轴为直线，根据，利用抛物线的对称性可求出，再由点的平移得到，由点在抛物线上，据此可列出方程，解方程可求出m的值，进而可求出答案；
（3）根据次函数图象的对称轴为直线，且当时，二次函数的最大值与最小值的和为-2，分两种情况：当时；当时；利用二次函数的性质可列出方程-2，并检验 最大值与最小值的和为-2 ，进而可求出n的取值范围．
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