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4月之三角形、四边形—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025九下·洞头月考）如图是由四个全等的直角三角形（，，，）组成的新图形，若，，则正方形的边长为（　　）
A．5 B． C． D．6
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，，
设，则，
，
，
，
，
则正方形的边长为，
故答案为：C．
【分析】由全等三角形的对应边相等得AF=CH，AE=BF=CG，结合EF=AF-AE=2，CG+CH=GH=8求得AE=BF=3，AF=5，在Rt△ABF中，利用勾股定理即可算出AB的长，从而得到答案.
2．（2025九下·宁波模拟）如图一个大平行四边形被分割成2个全等的小平行四边形和三个菱形后仍是中心对称图形，已知哪个图形的周长，就能得到大平行四边形的周长（　　）
A．①或③ B．②或③ C．①或③ D．①或②
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：设①的两边长为x，y(x>y)，菱形③的边长为a，
解得②的边长为x-a或y+a，
∴大平行四边形形的周长为2(x+x-a+y+y+a）=4(x+y)=2个平行四边形①的周长；
设②的边长为b，菱形③的边长为a，
则①的短变长为b-a，长边长为b+a，
∴大平行四边形形的周长为2(b+b+a+b+b-a)=8b=2个菱形②的周长；
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形，全等图形的定义进行判断.
3．（2025九下·宁波模拟）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图).如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较小的边的边长为x，
解得 (负值不合题意，舍去)，
故答案为：A.
【分析】由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形中较小的边的边长为x，然后列出方程 然后解方程即可求解.
4．（2025·浙江模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BCD=60°，E为AD上一动点，连结BE，以BE为腰作等腰三角形BEE'，使得∠EBE'=120°，连结AE'。当AE=3时，△ABE'的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过E'作E'F⊥CD延长线于点F，延长FE'交AB延长线于点G，作BH⊥CD交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BCD=60°，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠BAD=∠BCD=60°，AB//CD.
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC+60°=180°，解得：∠ABC=120°，
∴∠ABC-∠CBE=∠EBE'-∠CBE=120°-∠CBE，
∴∠ABE=∠CBE'.
∵△BEE'是等腰三角形，
∴BE=BE'.
∴△ABE≌△CBE'（SAS）.
∴AE=CE'=3，
∴∠E'CD=∠BCE'+∠BCD=120°，
∴∠E'CF=180°-∠E'CD=60°，
∴∠CE'F=180°-∠F-∠E'CF=30°，
∴CF=CE'=，
∴E'F=.
∴∠CBH=180°-∠BHC-∠BCD=30°.
∴CH=BC=2.
∴BH=.
∵AB//CD，E'F⊥CD，
∴GF⊥AB，
∵BH⊥CD，
∴四边形BHFG是矩形，
∴GF=BH=2，
∴E'G=FG-E'F=，
∴ △ABE'的面积为.
故答案为：C.
【分析】先根据菱形的性质，利用SAS证明△ABE≌△CBE'，再求得∠CE'F，根据含有30度角的直角三角形的性质，求得CF，再利用勾股定理求得E'F，再求得∠CBH，然后利用含有30度角的直角三角形的性质，求得Ch，再利用勾股定理求得BH，接着证明四边形BHFG是矩形，证得GF与E'G，再利用三角形面积公式求解.
5．（2025·衢州模拟）如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中，，且，则DF的长为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—含30°角直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，，
∴AE=BE=DE=4，
∵，
∴，
∴，解得：BF=.
又BE=DE，，
∴DF=BF=.
故答案为：B.
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线的性质求得AE=BE=DE=4，再余弦求得BF，然后利用等腰三角形三线合一求得DF.
6．（2025·钱塘模拟）如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（　　）米
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
7．（2025·浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ⊙O是△ABC的内切圆，若AC=3.3，BC=4.4，则图中△ABO的面积为（　　）
A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，连结OD，OE，OF，
∴OD=OE=OF=r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，AC=3.3，BC=4.4，
∴∠OEC=∠OFC=90°，AD=AF=3.3-r，BE=BD=4.4-r.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴四边形OECF是正方形.
∴CE=CF=OE=r，
∴AB=.
∵AD+BD=AB，
∴AD+BD=3.3-r+4.4-r=5.5，
解得r=1.1.
∴ △ABO的面积为
故答案为：D.
【分析】设⊙O的半径为r，先分别用r表示出AD，BE，再证明四边形OECF是正方形，然后利用勾股定理求得AB，根据AD+BD=AB，得出关于r的方程求解，再求出△ABO的面积.
8．（2025九下·浙江模拟）如图，在矩形中，点在边上，且是中点，与分别相交于点．当时，的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，点E在边AB上，如图，过点E作 交点BF于点G，交 CD于点H，
F是AD中点， ，
在直角三角形ABF中， 由勾股定理得：
，
即
故答案为：D.
【分析】过点E作 交点BF于点G， 交CD于点H，证明 求出 再证明 得出 从而求出NG和MG；可 得MN的长.
9．（2025·温州模拟）如图，BD是正方形ABCD的对角线，为边BC上的动点（不与端点重合），点在BC的延长线上，且，过点作于点，连结．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接AG、CG。
四边形ABCD是正方形
为等腰直角三角形
故答案为：A.
【分析】由于正方形的每一个内角都是90度，其对角线平分一组对角，因此可连接AG、CG，则可证与全等，则有AG等于CG；由于FG垂直BD且等于45度，则可得是等腰直角三角形，则有FG等于BG，再利用已知BE等于CF，则可证与全等，则有EG等于CG，此时等量代换得AG等于EG；由于BE等于CF，则可得EF等于BC等于AB，可证明与全等，则利用全等的性质可把转化到的位置上，从而得到等于90度，即是等腰直角三角形，则由勾股定理或锐角三角函数知其直角边与斜边的比必然是定值.
10．（2025·镇海区模拟）如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
二、填空题
11．（2025九下·浙江模拟）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点G作 于M，
∵E， F分别是AD和BC的中点，
∵AG平分 ，
由折叠可知，
故答案为：
【分析】过点G作于M，则 由AG平分 可得 由折叠可知， ，再由勾股定理得到长，则 进而求得AB长.
12．（2025·温州模拟）如图，将Rt沿斜边AB向右平移得到与DF交于点，延长AC，EF交于点，连结GH．若，则AE的长为　 　．
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，连接CF.
、
四边形CHFG是平行四边形
是矩形
四边形ADFC是平行四边形
故答案为：8.
【分析】由于平移不改变图形的形状与大小，且平移前后对应线段平行且相等，或在同一条直线上，因此可连接CF，则四边形ADFC是平行四边形；同理四边形CHFG也是平行四边形，由于已知是直角，则平行四边形CHFG还是矩形，则对角线CF等于GH，则AD等于3，结合已知得AB等于5；由于DE等于AB等于5，则AE可求.
13．（2025·浙江模拟）如图1，四个边长为1的小正方形组成一个边长为2的大正方形，过点的直线是它的一条对称轴.如图2，将图1中的正方形沿直线向下平移，使点落在的垂直平分线上，连结，则阴影部分面积为　 　.
图1图2
【答案】
【知识点】菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图， 连接MC， 延长AM交CD于点N，
∵点A落在CD的垂直平分线上，
由平移，得
故答案为：
【分析】连接MC，延长AM交CD于点N，根据垂直平分线的性质得到由平移的性质得到 求出 即可解答.
14．（2025·江北模拟）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的，在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，四边形是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且，.若，，则长方形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
四边形是长方形，是延长线上一点，
，，
，
，
矩形是正方形，，
正方形的面积为：，
故答案为：．
【分析】根据等角对等边可得，由，并结合三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和”可得，再根据矩形的性质得到，由角的和差∠ACB=∠ACG+∠BCE可得，则可得矩形是正方形，然后由正方形的面积等于边长的平方即可求解．
15．（2025九下·浙江模拟）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图2，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D， 连接EI，
∴四边形EFGH是平行四边形，且平行四边形 平行四边形BILK，
且
∴四边形EILH是平行四边形，
∵大正方形的边长为4，
且
∴EI垂直平分BC，
∴圆心O在EI上，
∴EI垂直平分AD，
，
连接OD、OB， 则
解得
∴这个圆的半径长为
故答案为：
【分析】在图2中标出相应的字母，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D，连接EI，则四边形EFGH是平行四边形，且 可证明四边形EILH是平行四边形，由大正方形的边长为4， 可知 则 得. 则EI垂直平分BC，所以圆心O在EI上，则EI垂直平分AD，连接OD、OB，由 根据勾股定理求得即可求出OD长于是得到问题的答案.
16．（2025·衢州模拟）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（，和中间一个小正方形EFGH组成，连接并延长DF，交于点.若，
（1）比较线段大小：DF　 　DC.（填写“＞”“＝”“＜”）
（2）的值等于　 　.
【答案】（1）=
（2）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵FM=MB，
∴∠MFB=∠MBF=∠EFN，
∵∠MBF+∠FBC=90°，
∠EFN+∠DFC=90°，
∴∠FBC=∠DFC.
∵△ABC≌△CDG，
∴∠FBC=∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC.
故答案为：=.
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=x，MB=y，
∵DM2=AD2+AM2，
∴（x+y）2=x2+(x-y)2.解得：x2=4xy.
∵x>0，
∴x=4y，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及对顶角相等，证明∠FBC=∠DFC，再结合等角的余角相等，证得∠FBC=∠DFC，然后利用全等三角形的性质证得∠FBC=∠DFC=∠DCF，再利用等角对等边可得DF=DC；
（2）先用x、y表示出AM，DM，再利用勾股定理求得x与y的关系，然后求得．
17．（2025·镇海区模拟）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
三、解答题
18．（2025九下·浙江模拟）在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形．小汪同学经过思考，
给出了如下作图步骤：
①如图，作直角三角形，其中；
②分别延长至点，使；延长至点，使；
③连结，形成四边形．
请根据上述步骤，解答以下问题：
（1）判断四边形是否为菱形，并说明理由．
（2）若，求点到的距离．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由为：
∵AO=CO，BO=OD，
∴ABCD是平行四边形，
又∵∠AOB=90°，
∴ABCD是菱形；
（2）解：∵AO=OC=，
∴，
∴BD=6，
设点C到AB的距离为h，
∴，即，
即.
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形解答即可；
（2）先根据勾股定理求出OB长，然后求出BD长，再根据菱形的面积计算距离即可.
19．（2025·衢州模拟）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图.已知：在四边形ABCD中，，用尺规作图作的角平分线.下面是两位同学的对话：
小衢 我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法. 小柯 我想到了新方法：如图所示，以为圆心，DA长为半径画弧，交CD于点，连结AE，那么AE就是的角平分线；同理，以为圆心，CB长为半径画弧，交CD于点，连结BF，那么BF就是的角平分线.
依据小柯的“新方法”解答下列问题.
（1）说明AE是的角平分线的理由.
（2）若，垂足为，当时，求EF的长.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAE．
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴AE平分∠BAD．
（2）解：∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°，
∴∠EAB+∠FBA＝90°，
∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠DAB＝2∠EAB，∠ABC＝2∠FBA，
∴∠DAB+∠ABC＝2（∠EAB+∠FBA）＝180°，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝8，
∴EF＝DE+CF﹣CD＝6+6-8＝4．
【知识点】平行四边形的判定与性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质证得∠AED＝∠BAE，再根据等边对等角证得∠DAE＝∠DEA，从而可证得结论成立；
（2）先根据垂直的意义，得出∠AOB＝90°，再根据直角三角形两个锐角互余，得出∠EAB+∠FBA＝90°，从而可证得同旁内角互补，得证AD∥BC，再根据两组对边分别平行，证得四边形ABCD为平行四边形，再利用平行四边形的性质求得EF.
20．（2025九下·洞头模拟）小明与小丽一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中.用尺规作BC边上的高线。
小明：作BC边上的中垂线，则中垂线为高线。
小丽：小明，你的作法有问题。
小丽：如图2，以点为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点，连接AD，作的平分线交BC于点.则AE为BC边上高线。
小明：哦……我明白了！
（1）指出小明作法中存在的问题。
（2）给出小丽作法中AE为BC边上高线的证明。
【答案】（1）①要过点A作高
（2）方法一：由题可得平分
方法二：
平分
又
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义：高线 是一条线段，但中垂线是一条直线，据此可得出答案；
（2）方法一：根据平分，利用中垂线的性质可得：
方法二：根据平分，利用角平分线的概念可得：，再根据AB=AD，AE=AE，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用角的运算可得，进而可证明结论．
21．（2025·浙江模拟）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想，如图①，借助四边形ABCD的面积说明了等式（a+b)c=ac+bc成立.
（1）观察图②，③，找出可以推出的等式：
等式A：（a+b)（a-b)=a2-b2：
等式B：（a+b)2=a2+2ab+b2：
可知，图②对应等式　 　；图③对应等式　 　.
（2）如图④，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，E是边BC上一点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，过A作BC的平行线交直线EG于点H.分别记△ABD，△BEF，△EGC，△AGH的面积为S1，S2，S3，S4.求的值.
【答案】（1）B；A
（2）解：设 ，则CD=a+b，如图，
∵AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b，
∴AG=AD+DG=a+2b，
∵EG⊥AC，
∴∠EGC=∠EGD=90°，
∴∠GEC=∠GCE=45°，
∴CG=EG=a，
∵EF⊥BD，
∴∠EFD=90°，
∴四边形DFEG是矩形，
∴EF=DG=b，FD=EG=a，
∴BF=BD-FD=b，
∴，
∵AH∥BC，
∴∠HAG=∠ACB=45°，
∴∠H=∠HAG=45°，
∴AG=GH=a+2b，
∴
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；数形结合
【解析】【解答】解：（1）图②是由两个小长方形方形和两个小正方形组成的大正方形，其面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为a2+2ab+b2，因此对应的等式是：（a+b)2=a2+2ab+b2 ，即等式B；
图③面积可以表示为(a+b)(a-b)，也可以表示为a2-b2，因此对应的等式是： （a+b)（a-b)=a2-b2，即等式A；
故答案为：B，A；
【分析】（1） 用两种不同的方法表示出同一个图形的面积，根据整个图形的面积等于各个部分面积这和列出等式，即可判断得出答案；
（2）设CG=a，DG=b，由等腰直角三角形性质得∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b，判断出△ABD、△CEG及△AGH都是等腰直角三角形，四边形DFEG是矩形，得CG=EG=a，EF=DG=b，FD=EG=a，AG=GH=a+2b，进而根据直角三角形面积计算公式分别表示出S1、S2、S3、S4，再代入化简即可.
22．（2025·镇海区模拟）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结．
（1）若，则应该满足什么条件？
（2）若，四边形的面积为，的面积为，求的值．
【答案】（1）应该满足
（2）6
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
23．（2024·金华模拟）问题：如何将物品搬过直角过道
情景：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是.矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为.
操作：
步骤 动作 目标
1 靠边 将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
2 推移 矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点在边AD上
3 旋转 如图2，将矩形ABCD绕点旋转
4 推移 将矩形ABCD沿OT方向继续推移
探究：
（1）如图2，已知BC=1.6m，OD=0.6m.小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道.”你赞同小明的结论吗？请通过计算说明.
（2）如图3，物品转弯时被卡住（分别在墙面PQ与PR上)，若.求OD的长.
（3）求该过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值(精确到0.01米，).
【答案】（1）解：不赞同，理由如下：
连结OB，
由题知，，
则，
该物品不能顺利通过直角过道，
（2）解：如图，过点作PR的平行线，交过道两侧分别于点，由题可知，
，
，
，
，
（3）解：当时，物品能通过直角过道．
当，则，
同理，，
此时，，
所以物品的最大长度为米．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—边角关系
24．（2025·衢江模拟）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点．
（1）如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：；
（2）若，点是边上的点，连结交于点，点是的中点，
①如图（2），若，求的长；
②如图（3），连接，当，且时，求的值．
【答案】（1）证明：连接交于点，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接交于点，连接，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即的长为2；
②设，则，
连接，，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；四边形的综合；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，根据矩形的性质可得，由三角形中位线的性质“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式即可求解；
（2）①连接交于点，连接，由三角形中位线定理求得，，再证明四边形是平行四边形，据此求解即可；
②设，则，连接，，作于点，求得，证明是线段的垂直平分线，求得，得到，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式求解．
（1）证明：连接交于点，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接交于点，连接，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即的长为2；
②设，则，连接，，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 14月之三角形、四边形—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025九下·洞头月考）如图是由四个全等的直角三角形（，，，）组成的新图形，若，，则正方形的边长为（　　）
A．5 B． C． D．6
2．（2025九下·宁波模拟）如图一个大平行四边形被分割成2个全等的小平行四边形和三个菱形后仍是中心对称图形，已知哪个图形的周长，就能得到大平行四边形的周长（　　）
A．①或③ B．②或③ C．①或③ D．①或②
3．（2025九下·宁波模拟）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图).如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BCD=60°，E为AD上一动点，连结BE，以BE为腰作等腰三角形BEE'，使得∠EBE'=120°，连结AE'。当AE=3时，△ABE'的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·衢州模拟）如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中，，且，则DF的长为（　　）
A． B． C． D．1
6．（2025·钱塘模拟）如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（　　）米
A． B． C． D．
7．（2025·浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ⊙O是△ABC的内切圆，若AC=3.3，BC=4.4，则图中△ABO的面积为（　　）
A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025
8．（2025九下·浙江模拟）如图，在矩形中，点在边上，且是中点，与分别相交于点．当时，的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·温州模拟）如图，BD是正方形ABCD的对角线，为边BC上的动点（不与端点重合），点在BC的延长线上，且，过点作于点，连结．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·镇海区模拟）如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
11．（2025九下·浙江模拟）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为　 　．
12．（2025·温州模拟）如图，将Rt沿斜边AB向右平移得到与DF交于点，延长AC，EF交于点，连结GH．若，则AE的长为　 　．
13．（2025·浙江模拟）如图1，四个边长为1的小正方形组成一个边长为2的大正方形，过点的直线是它的一条对称轴.如图2，将图1中的正方形沿直线向下平移，使点落在的垂直平分线上，连结，则阴影部分面积为　 　.
图1图2
14．（2025·江北模拟）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的，在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，四边形是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且，.若，，则长方形的面积为　 　．
15．（2025九下·浙江模拟）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为　 　．
16．（2025·衢州模拟）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（，和中间一个小正方形EFGH组成，连接并延长DF，交于点.若，
（1）比较线段大小：DF　 　DC.（填写“＞”“＝”“＜”）
（2）的值等于　 　.
17．（2025·镇海区模拟）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为　 　．
三、解答题
18．（2025九下·浙江模拟）在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形．小汪同学经过思考，
给出了如下作图步骤：
①如图，作直角三角形，其中；
②分别延长至点，使；延长至点，使；
③连结，形成四边形．
请根据上述步骤，解答以下问题：
（1）判断四边形是否为菱形，并说明理由．
（2）若，求点到的距离．
19．（2025·衢州模拟）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图.已知：在四边形ABCD中，，用尺规作图作的角平分线.下面是两位同学的对话：
小衢 我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法. 小柯 我想到了新方法：如图所示，以为圆心，DA长为半径画弧，交CD于点，连结AE，那么AE就是的角平分线；同理，以为圆心，CB长为半径画弧，交CD于点，连结BF，那么BF就是的角平分线.
依据小柯的“新方法”解答下列问题.
（1）说明AE是的角平分线的理由.
（2）若，垂足为，当时，求EF的长.
20．（2025九下·洞头模拟）小明与小丽一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中.用尺规作BC边上的高线。
小明：作BC边上的中垂线，则中垂线为高线。
小丽：小明，你的作法有问题。
小丽：如图2，以点为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点，连接AD，作的平分线交BC于点.则AE为BC边上高线。
小明：哦……我明白了！
（1）指出小明作法中存在的问题。
（2）给出小丽作法中AE为BC边上高线的证明。
21．（2025·浙江模拟）《几何原本》是数学发展史中的不朽著作，该书记载了很多利用几何图形来论证代数结论的方法，凸显了数形结合的思想，如图①，借助四边形ABCD的面积说明了等式（a+b)c=ac+bc成立.
（1）观察图②，③，找出可以推出的等式：
等式A：（a+b)（a-b)=a2-b2：
等式B：（a+b)2=a2+2ab+b2：
可知，图②对应等式　 　；图③对应等式　 　.
（2）如图④，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，E是边BC上一点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，过A作BC的平行线交直线EG于点H.分别记△ABD，△BEF，△EGC，△AGH的面积为S1，S2，S3，S4.求的值.
22．（2025·镇海区模拟）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结．
（1）若，则应该满足什么条件？
（2）若，四边形的面积为，的面积为，求的值．
23．（2024·金华模拟）问题：如何将物品搬过直角过道
情景：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是.矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为.
操作：
步骤 动作 目标
1 靠边 将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
2 推移 矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点在边AD上
3 旋转 如图2，将矩形ABCD绕点旋转
4 推移 将矩形ABCD沿OT方向继续推移
探究：
（1）如图2，已知BC=1.6m，OD=0.6m.小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道.”你赞同小明的结论吗？请通过计算说明.
（2）如图3，物品转弯时被卡住（分别在墙面PQ与PR上)，若.求OD的长.
（3）求该过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值(精确到0.01米，).
24．（2025·衢江模拟）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点．
（1）如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：；
（2）若，点是边上的点，连结交于点，点是的中点，
①如图（2），若，求的长；
②如图（3），连接，当，且时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，，
设，则，
，
，
，
，
则正方形的边长为，
故答案为：C．
【分析】由全等三角形的对应边相等得AF=CH，AE=BF=CG，结合EF=AF-AE=2，CG+CH=GH=8求得AE=BF=3，AF=5，在Rt△ABF中，利用勾股定理即可算出AB的长，从而得到答案.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：设①的两边长为x，y(x>y)，菱形③的边长为a，
解得②的边长为x-a或y+a，
∴大平行四边形形的周长为2(x+x-a+y+y+a）=4(x+y)=2个平行四边形①的周长；
设②的边长为b，菱形③的边长为a，
则①的短变长为b-a，长边长为b+a，
∴大平行四边形形的周长为2(b+b+a+b+b-a)=8b=2个菱形②的周长；
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形，全等图形的定义进行判断.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较小的边的边长为x，
解得 (负值不合题意，舍去)，
故答案为：A.
【分析】由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形中较小的边的边长为x，然后列出方程 然后解方程即可求解.
4．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过E'作E'F⊥CD延长线于点F，延长FE'交AB延长线于点G，作BH⊥CD交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BCD=60°，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠BAD=∠BCD=60°，AB//CD.
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC+60°=180°，解得：∠ABC=120°，
∴∠ABC-∠CBE=∠EBE'-∠CBE=120°-∠CBE，
∴∠ABE=∠CBE'.
∵△BEE'是等腰三角形，
∴BE=BE'.
∴△ABE≌△CBE'（SAS）.
∴AE=CE'=3，
∴∠E'CD=∠BCE'+∠BCD=120°，
∴∠E'CF=180°-∠E'CD=60°，
∴∠CE'F=180°-∠F-∠E'CF=30°，
∴CF=CE'=，
∴E'F=.
∴∠CBH=180°-∠BHC-∠BCD=30°.
∴CH=BC=2.
∴BH=.
∵AB//CD，E'F⊥CD，
∴GF⊥AB，
∵BH⊥CD，
∴四边形BHFG是矩形，
∴GF=BH=2，
∴E'G=FG-E'F=，
∴ △ABE'的面积为.
故答案为：C.
【分析】先根据菱形的性质，利用SAS证明△ABE≌△CBE'，再求得∠CE'F，根据含有30度角的直角三角形的性质，求得CF，再利用勾股定理求得E'F，再求得∠CBH，然后利用含有30度角的直角三角形的性质，求得Ch，再利用勾股定理求得BH，接着证明四边形BHFG是矩形，证得GF与E'G，再利用三角形面积公式求解.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—含30°角直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，，
∴AE=BE=DE=4，
∵，
∴，
∴，解得：BF=.
又BE=DE，，
∴DF=BF=.
故答案为：B.
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线的性质求得AE=BE=DE=4，再余弦求得BF，然后利用等腰三角形三线合一求得DF.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，连结OD，OE，OF，
∴OD=OE=OF=r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，AC=3.3，BC=4.4，
∴∠OEC=∠OFC=90°，AD=AF=3.3-r，BE=BD=4.4-r.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴四边形OECF是正方形.
∴CE=CF=OE=r，
∴AB=.
∵AD+BD=AB，
∴AD+BD=3.3-r+4.4-r=5.5，
解得r=1.1.
∴ △ABO的面积为
故答案为：D.
【分析】设⊙O的半径为r，先分别用r表示出AD，BE，再证明四边形OECF是正方形，然后利用勾股定理求得AB，根据AD+BD=AB，得出关于r的方程求解，再求出△ABO的面积.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，点E在边AB上，如图，过点E作 交点BF于点G，交 CD于点H，
F是AD中点， ，
在直角三角形ABF中， 由勾股定理得：
，
即
故答案为：D.
【分析】过点E作 交点BF于点G， 交CD于点H，证明 求出 再证明 得出 从而求出NG和MG；可 得MN的长.
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接AG、CG。
四边形ABCD是正方形
为等腰直角三角形
故答案为：A.
【分析】由于正方形的每一个内角都是90度，其对角线平分一组对角，因此可连接AG、CG，则可证与全等，则有AG等于CG；由于FG垂直BD且等于45度，则可得是等腰直角三角形，则有FG等于BG，再利用已知BE等于CF，则可证与全等，则有EG等于CG，此时等量代换得AG等于EG；由于BE等于CF，则可得EF等于BC等于AB，可证明与全等，则利用全等的性质可把转化到的位置上，从而得到等于90度，即是等腰直角三角形，则由勾股定理或锐角三角函数知其直角边与斜边的比必然是定值.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点G作 于M，
∵E， F分别是AD和BC的中点，
∵AG平分 ，
由折叠可知，
故答案为：
【分析】过点G作于M，则 由AG平分 可得 由折叠可知， ，再由勾股定理得到长，则 进而求得AB长.
12．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，连接CF.
、
四边形CHFG是平行四边形
是矩形
四边形ADFC是平行四边形
故答案为：8.
【分析】由于平移不改变图形的形状与大小，且平移前后对应线段平行且相等，或在同一条直线上，因此可连接CF，则四边形ADFC是平行四边形；同理四边形CHFG也是平行四边形，由于已知是直角，则平行四边形CHFG还是矩形，则对角线CF等于GH，则AD等于3，结合已知得AB等于5；由于DE等于AB等于5，则AE可求.
13．【答案】
【知识点】菱形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图， 连接MC， 延长AM交CD于点N，
∵点A落在CD的垂直平分线上，
由平移，得
故答案为：
【分析】连接MC，延长AM交CD于点N，根据垂直平分线的性质得到由平移的性质得到 求出 即可解答.
14．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
四边形是长方形，是延长线上一点，
，，
，
，
矩形是正方形，，
正方形的面积为：，
故答案为：．
【分析】根据等角对等边可得，由，并结合三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和”可得，再根据矩形的性质得到，由角的和差∠ACB=∠ACG+∠BCE可得，则可得矩形是正方形，然后由正方形的面积等于边长的平方即可求解．
15．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图2，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D， 连接EI，
∴四边形EFGH是平行四边形，且平行四边形 平行四边形BILK，
且
∴四边形EILH是平行四边形，
∵大正方形的边长为4，
且
∴EI垂直平分BC，
∴圆心O在EI上，
∴EI垂直平分AD，
，
连接OD、OB， 则
解得
∴这个圆的半径长为
故答案为：
【分析】在图2中标出相应的字母，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D，连接EI，则四边形EFGH是平行四边形，且 可证明四边形EILH是平行四边形，由大正方形的边长为4， 可知 则 得. 则EI垂直平分BC，所以圆心O在EI上，则EI垂直平分AD，连接OD、OB，由 根据勾股定理求得即可求出OD长于是得到问题的答案.
16．【答案】（1）=
（2）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵FM=MB，
∴∠MFB=∠MBF=∠EFN，
∵∠MBF+∠FBC=90°，
∠EFN+∠DFC=90°，
∴∠FBC=∠DFC.
∵△ABC≌△CDG，
∴∠FBC=∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC.
故答案为：=.
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=x，MB=y，
∵DM2=AD2+AM2，
∴（x+y）2=x2+(x-y)2.解得：x2=4xy.
∵x>0，
∴x=4y，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及对顶角相等，证明∠FBC=∠DFC，再结合等角的余角相等，证得∠FBC=∠DFC，然后利用全等三角形的性质证得∠FBC=∠DFC=∠DCF，再利用等角对等边可得DF=DC；
（2）先用x、y表示出AM，DM，再利用勾股定理求得x与y的关系，然后求得．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
18．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由为：
∵AO=CO，BO=OD，
∴ABCD是平行四边形，
又∵∠AOB=90°，
∴ABCD是菱形；
（2）解：∵AO=OC=，
∴，
∴BD=6，
设点C到AB的距离为h，
∴，即，
即.
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形解答即可；
（2）先根据勾股定理求出OB长，然后求出BD长，再根据菱形的面积计算距离即可.
19．【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAE．
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴AE平分∠BAD．
（2）解：∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝90°，
∴∠EAB+∠FBA＝90°，
∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠DAB＝2∠EAB，∠ABC＝2∠FBA，
∴∠DAB+∠ABC＝2（∠EAB+∠FBA）＝180°，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝8，
∴EF＝DE+CF﹣CD＝6+6-8＝4．
【知识点】平行四边形的判定与性质；两直线平行，内错角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质证得∠AED＝∠BAE，再根据等边对等角证得∠DAE＝∠DEA，从而可证得结论成立；
（2）先根据垂直的意义，得出∠AOB＝90°，再根据直角三角形两个锐角互余，得出∠EAB+∠FBA＝90°，从而可证得同旁内角互补，得证AD∥BC，再根据两组对边分别平行，证得四边形ABCD为平行四边形，再利用平行四边形的性质求得EF.
20．【答案】（1）①要过点A作高
（2）方法一：由题可得平分
方法二：
平分
又
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义：高线 是一条线段，但中垂线是一条直线，据此可得出答案；
（2）方法一：根据平分，利用中垂线的性质可得：
方法二：根据平分，利用角平分线的概念可得：，再根据AB=AD，AE=AE，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用角的运算可得，进而可证明结论．
21．【答案】（1）B；A
（2）解：设 ，则CD=a+b，如图，
∵AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b，
∴AG=AD+DG=a+2b，
∵EG⊥AC，
∴∠EGC=∠EGD=90°，
∴∠GEC=∠GCE=45°，
∴CG=EG=a，
∵EF⊥BD，
∴∠EFD=90°，
∴四边形DFEG是矩形，
∴EF=DG=b，FD=EG=a，
∴BF=BD-FD=b，
∴，
∵AH∥BC，
∴∠HAG=∠ACB=45°，
∴∠H=∠HAG=45°，
∴AG=GH=a+2b，
∴
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；数形结合
【解析】【解答】解：（1）图②是由两个小长方形方形和两个小正方形组成的大正方形，其面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为a2+2ab+b2，因此对应的等式是：（a+b)2=a2+2ab+b2 ，即等式B；
图③面积可以表示为(a+b)(a-b)，也可以表示为a2-b2，因此对应的等式是： （a+b)（a-b)=a2-b2，即等式A；
故答案为：B，A；
【分析】（1） 用两种不同的方法表示出同一个图形的面积，根据整个图形的面积等于各个部分面积这和列出等式，即可判断得出答案；
（2）设CG=a，DG=b，由等腰直角三角形性质得∠BAC=∠BCA=∠DBC=45°，∠ADB=∠BDC=90°，AD=CD=BD=a+b，判断出△ABD、△CEG及△AGH都是等腰直角三角形，四边形DFEG是矩形，得CG=EG=a，EF=DG=b，FD=EG=a，AG=GH=a+2b，进而根据直角三角形面积计算公式分别表示出S1、S2、S3、S4，再代入化简即可.
22．【答案】（1）应该满足
（2）6
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
23．【答案】（1）解：不赞同，理由如下：
连结OB，
由题知，，
则，
该物品不能顺利通过直角过道，
（2）解：如图，过点作PR的平行线，交过道两侧分别于点，由题可知，
，
，
，
，
（3）解：当时，物品能通过直角过道．
当，则，
同理，，
此时，，
所以物品的最大长度为米．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—边角关系
24．【答案】（1）证明：连接交于点，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接交于点，连接，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即的长为2；
②设，则，
连接，，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理；四边形的综合；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，根据矩形的性质可得，由三角形中位线的性质“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式即可求解；
（2）①连接交于点，连接，由三角形中位线定理求得，，再证明四边形是平行四边形，据此求解即可；
②设，则，连接，，作于点，求得，证明是线段的垂直平分线，求得，得到，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的性质“相似三角形的对应边的比相等”可得比例式求解．
（1）证明：连接交于点，
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接交于点，连接，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即的长为2；
②设，则，连接，，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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