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4月之圆—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·龙湾模拟）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024九下·新昌模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·钱塘模拟）复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角内接于于点，点是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点．方法②：作直线，，相交于点，连结，延长交于点．下列判断正确的是（　　）
A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确
C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误
4．（2025·湖州模拟）如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江模拟）如图，的半径为，以圆外一点为圆心，画半径为4的弧，将截成弧长相等的两部分，则两点的距离为（　　）
A． B． C．3 D．
6．（2024九上·绍兴模拟）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率100%．以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是的内接三角形，AD是的直径，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·镇海区模拟）如图，已知内接于，点M为的中点，连接交于点E，且C为弧的中点，连接 ，在上存在点 H，使得 若 ， 则的长（　　）
A．4 B． C． D．
二、填空题
9．（2025·龙湾模拟）如图，点是以为直径的半圆上的一点，分别是和的中点，连结交于，交于．若时，则的值为　 　．
10．（2025九下·温州月考）如图，点是以BC为直径的半圆上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于，交AC于.若时，则MN的值为　 　.
11．（2025·衢江模拟）如图，在中，将沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为　 　．
12．（2025·镇海区模拟）如图， 为直角三角形，且，以O为圆心，为半径作圆与交于点E．过点A作于点F交圆O于点C，延长交圆O于点D，连结交于点M，若圆O的半径为5， 则的长为 　 　．
三、解答题
13．（2025·温州模拟）根据要求作图并证明．
（1）如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹：
①画一条直径AB；
②作OB的垂直平分线交于点C，D；
③连结AC，AD，得到．
（2）根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明．
14．（2025·浙江模拟）已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结BC.在AB上截取BF=BC，连结DF并延长，交⊙O于点G，连结CG.
（1）如图1，当点E与圆心O重合时，求∠D的度数.
（2）如图2，连结BG，交CD于点N，过点F作FM //BG，交CD于点M，连结GE.
①求证：BG平分∠ABC.
②若△EFG与△DFM的面积相等，BC=1，求BE的长.
15．（2025九下·浙江模拟）如图1，是的直径，是圆上不同于的任意一点，延长到点，连结．过点作，交于点，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，若，求的值．
（3）若，求的值（用含的代数式表示）
16．（2025九下·宁波模拟）如图1，四边形是的内接四边形，为对角线，且为的直径，，已知，.
（1）求的长；
（2）如图2，为上一点，过作，其反向延长线交于点，连结、、，若，
①求的值；
②试求的长.
17．（2025·浙江模拟）如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，F是弧BC上一点，连结AC，CF，BF，AF，AF与CD交于点G。
（1）求证：∠AFC=∠CAB；
（2）如图2，连结CB交AF于点H。
①当AF⊥CB时，试判断△CGF的形状，并说明理由；
②在①的条件下，延长CF，AB相交于点Q，若CD=10，AB=8，求的值。
18．（2025·温州模拟）如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB，DC交于点，在DE上方作，使点在线段DE上，且，连结DG．
（1）若为的中点，求的度数．
（2）连结BD，当时．
①求证：四边形BEGD是平行四边形．
②若，求证：．
19．（2025·浙江模拟）已知的半径为是其内接三角形，.
图1图2
（1）如图1，求；
（2）如图2，弦，连结分别交于点.
①求证：；
②若点为的中点，求的长.
20．（2025·浙江模拟）如图1，是等腰的外接圆，，点是所对弧上的任意一点，连结AD，将AD绕点逆时针旋转，交于点，连结BD、DC、CE
（1）求证：．
（2）如图2，若，
①求的值．
②当的度数与的度数之比为3时，求BD：DC的值．
21．（2025·龙湾模拟）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．
（1）求的度数；
（2）当是圆的直径，
①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
22．（2025·浙江模拟）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．
（1）如图1，当，的长为时，求的长．
（2）如图2，当，时，求的值．
（3）如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．
23．（2024九下·海宁模拟）已知内接于，为的内心，延长交于点，交于点．连结，，．
（1）若求的度数；
（2）设四边形的面积记为， 连结， 当时，请完成下列问题．
①求证∶
②已知求的值．
24．（2024九下·镇海区模拟）已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆的相关概念；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是位似图形，位似中心为点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：A．
【分析】利用位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比得出，再结合，，得出，即可求解．
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
4．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，设两弧交于点C，D，连接CD，AC，AB，则CD是 的直径，
∴BC=BD=，AC=4，
∵B是CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴，
故答案为：C.
【分析】设两弧交于点C，D，连接CD，AC，AB，BC=BD=，AC=4，然后根据勾股定理解题即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：方案一中，连接，，，
，
∵棱长为1cm的正方体纸盒，
∴，，
∴，即，
∴为该圆的直径，
∴该圆的半径为：，
∴，
方案二中先将图进行命名：
，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，，，根据勾股定理的逆定理可得，即可得到为该圆的直径，利用勾股定理即可求出，方案二中得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
9．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接交于点，连接交于点W，如图：
∵以为直径的半圆，
∴，
∴，
∴，
∵分别是和的中点，，
∴，点分别是的中点，
∵是的中点，
∴，
∴
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】由直径所对的圆周角是直角得，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC=10，即直径是10，由垂径定理得OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，利用三角形中位线定理，得到，再根据有三个角是直角的四边形是矩形得四边形HOWA是矩形，由矩形性质得∠DOE=90°，从而用等腰直角三角形性质及勾股定理算出DE、DM、NE，再代入MN=DE-DM-NE进行计算，即可作答．
10．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接OD交AB于点F，连接OE交AC于点G，
∵D，E分别是和的中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
又∵BC是直径，
∴∠A=90°，
∴OFAG是矩形，BF=FA=4，AG=CG=3，
∴OF=3，OG=4，∠DOE=90°，
∴∠D=∠E=45°，
又∵，
∴OD=OE=5，
∴DF=FM=2，EG=NG=1，
∴AM=2，AN=2，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OD交AB于点F，连接OE交AC于点G，即可得到OFAG是矩形，求出OF=3，OG=4，然后根据勾股定理求出半径为5，然后求出AM和AN长，利用勾股定理解题即可.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接，
∵和是圆周角所对的弧，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴，，
在，，
故答案为：．
【分析】延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，根据等腰三角形三线合一性质，得到，设，则，结合已知根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，整理可得，在中，利用勾股定理得到，即，解方程求出a的值，在Rt△ABH中，用勾股定理计算即可求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
13．【答案】（1）图1即为所作图形．
（2）证明：如图2，连结OD，BD．
是OB的中垂线，AB为的直径，
．
是等边三角形，
．
，
是等边三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）过圆心O可画任意一条直线交于A、B两点，再作OB的垂直平分线交于C、D两点，顺次连接A、C、D三点即可；
（2）由于线段垂直平分线上的点到两个端点距离相等，所以OD等于BD；又因为半径处处相等，所以OD等于OB等于BD，则是等边三角形.
14．【答案】（1）解：连接CF，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴EC=ED
∴AB垂直平分CD，
∴FC=FD，
∵CD⊥AB，
∴∠CFE=∠DFE，
∵EC=EB，CD⊥AB，
∴∠B=∠ECB=45°，
∵BF=BC，
∴∠BFC=∠BCF =
=67.5°=∠BFD，
∴∠D=90°-67.5°= 22.5°；
（2）解：①证明：设∠1=α，连接CF，
∵CF=FD，
∴∠1=∠D.
∵∠4=∠D，
∴∠4=∠1=∠D=α.
∵CD⊥AB，
∴∠3=90°-∠1=90°-α.
∵BC=BF，
∴∠BCF=∠3=90°-α，
∴∠CBF=180°-∠BCF-∠3=180°-2(90°-α)=2α，
∴∠4=∠CBF，
∴BG平分∠ABC；
②连接CF与BG交于点H，连接AG，AC，作GP⊥AB，
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG=∠FBG，
∵BC=BF，BG=BG，
∴△ACBG≌△FBG(SAS)，
∴GC=GF，∠CGB=∠FGB，
∵GH =GH
∴△HCG≌△HFG(SAS)，
∴CH=FH，
∵FM//HN，
∴CH：CF=CN：CM，
∴CM=2CN，
∵OB⊥CD，
∴CD=2CE，
∴DM=CD-CM=2CE-2CN=2NE，
∵△EFG与△DFM的面积相等，
∴EF·GP=EF·DM，
∴GP=DM=2EN，
∵NE⊥AB，GP⊥AB，
∴NE//GP，
∴△BNE∽△BCP，
∴BE：BP＝EN：GP＝1：2，
设BE=PE=X，
∵BC=BF=1，
∴PF=2x-1，
∵∠GBC=GBA，
∴CG=AG=GF，
∵GP⊥AB，
∴AP=PF=2x-1，
∴AB=AF+BF=2PF+BF=4x-1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cos ∠ABC ==，
∴BC2=BE·AB，
∴4x2-x-1=0，
解得：x=（负值舍去），
∴BE=.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)连接CF，先证明AB垂直平分CD，根据垂直平分线的性质及在同一个三角形中等边对等角，可求得∠B=45°，再利用在同一个三角形中等边对等角，可求得∠BFC，然后根据直角三角形两个锐角互余，求得∠D；
（2）①设∠1=α，连接CF，先利用在同一个三角形中等边对等角，说明∠4=∠1=∠D=α，再利用在同一个三角形中等边对等角，说明∠BCF=∠3=90°-α，利用三角形内角和定理，可用α表示出∠CBF，从而可说明∠4=∠CBF，也就是BG平分∠ABC；
②设BE=PE=X，先利用SAS证明△ACBG≌△FBG，可用全等三角形的性质，得出GC=GF，∠CGB=∠FGB，再利用SAS证明SAS，可说明CH=FH，再根据FM//HN，列出比例式，说明CM=2CN，通过△EFG与△DFM的面积相等，说明GP=DM=2EN，再证明△BNE∽△BCP，列出比例式，得出PF=2x-1，然后借助余弦，说明BC2=BE·AB，可得出关于x的方程，求出x，正值即为BE的长.
15．【答案】（1）证明： AB是⊙O的直径， C是圆上不同于A， B的任意一点， ，交BD于点E， 如图， 设CE， AB交点为G，
（2）解：
即
（3）解：过点E作 于点H，
设 则
在直角三角形ACG中，由勾股定理得：
即
即

【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)如图，设CE，AB交点为G，根据直径所对圆周角为 得到 由 得到 利用同角的余角相等即可证明结论；
(2)根据平行线的性质可证 证明 推出 求出BC，再证明 推出 求出CD，根据正切的定义即可求解；
(3)过点E作 于点H，根据 ， 设 则 求出 证明 推出 即可得到求出 然后根据正切的定义解题即可.
16．【答案】（1）连结OD、OC，设OD与AC交于点P
∵AD＝DC，∴，∴AC⊥OD，∴P为AC中点，
又O为圆心，AB为直径∴OP＝BC＝，
由S△ADC＝S△ACB可知DP＝BC＝1，∴AB＝3，从而AC＝2
（2）①∵GF⊥AC，AG⊥BG，∠ACG＝∠ABG
∴∠BAG＝∠FGC，又∠CAB＝∠CGB＝∠AGF，
∴∠CAG＝∠CGA，∴CG＝AC＝2.
设AF＝a，由tan∠CAB＝tan∠AGF＝可知，
FG＝2a，AG＝3a，∴FC＝2－a，
∴（2－a）2＋（2a）2＝（2）2，
解得a＝，从而AG＝，∴＝.
②由△AFE∽△ACB，∴，
∴EF＝，AE＝，∴EG＝FG－EF＝，EB＝
又由①得∠BCH＝∠BAG＝∠FGC，
∴△BCH∽△EGH，∴，解得BH＝.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
(1)连结OD、OC， 设OD与AC交于点P， 易得P为AC中点， 由 可知 进而利用勾股定理求解即可；
(2)①导角易求 设 易得 在 中利用勾股定理求解即可；
②易求 所以 证 即可得解.
17．【答案】（1）证明：∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴，
∴∠AFC=∠CAB.
（2）解： ①△CGF是等腰三角形.
∵AF⊥CB，CD⊥AB，
∴∠AEG=∠AHB=90°，
∴∠GAE+∠AGE=∠GAE+∠ABH=90°，
∴∠AGE=∠ABH，
∵∠AGE=∠CGF，∠AFC=∠ABH，
∴∠CGF=∠AFC，
∴CG=CF，
∴△CGF是等腰三角形.
②连结OA，AD，
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴AE=EB=4 ， ，
∵CD=10，
∴OA=OC=OD=5，
在Rt△OAE中，OE==3，
∴DE=5-3=2，
在Rt△DAE中，AD== ，
∵△CGF是等腰三角形，CB⊥AF，
∴CH平分∠GCF，
∴∠FCH=∠GCH，
∵∠FCH=∠GAE，∠GCH=∠DAE，
∴∠DAE=∠GAE，
∵∠AEG=∠AED=90°，AE=AE，
∴△ADE≌△AGE（ASA），
∴DE=EG=2，
∴CG=10-2-2=6，
∴CF=6，
∵∠DAE=∠GAE
∴，
∴
∴BF=AD=，
∵∠BFQ=∠CAB，∠CAB=∠AFC，
∴∠BFQ=∠AFC，
∵∠FBQ=∠ACF，
∴△BFQ∽△CFA，
∴.
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)先利用垂径定理证明=，再利用圆周角定理证明；
（2）①先判断△CGF是等腰三角形，再说理.先说明∠AGE=∠ABH，再∠CGF=∠AFC，然后根据等腰三角形判定得出结论；
②先利用勾股定理分别求得OE与AD，再利用等腰三角形三线合一，证得CH平分∠GCF，从而可得∠FCH=∠GCH，再利用ASA证明△ADE≌△AGE，分别求得CG、CF与BF，再证明△BFQ∽△CFA，列出比例式求得.
18．【答案】（1）解：为的中点，．
，
．
，
．
（2）①，
，
．
，
，
四边形BEGD为平行四边形．
②如图2，过点作交圆于点，连结PD，
则，
．
四边形BEGD是平行四边形，
．
．
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由于圆内接四边形对角互补，因此求的度数，实质是求的度数；由于点平分劣弧，由圆周角定理知，等于等于，则由三角形内角和定理求出即可；
（2） ① 由圆周角定理知，等于等于，则由内错角相等两直线平行知，又因为，则由等角的补角相等可得到，则四边形BEGD是平行四边形；
② 可过点B作BP平行DE交圆于点P，此时由于夹在一组平行线间的圆弧相等，则BC等于PD；由圆周角定理结合平行线的性质可得等于，等于，由于平行四边形的对边相等即DB等于GE，则由“AAS”可证即可.
19．【答案】（1）解：在图①中，连结并延长交于点，连接，
是直径，
.
由题，
，
是所对的圆周角，，
.
（2）解：①证明：由(1)，在中，，
又.
，即.
②当点与点重合时，如图③，此时为直径，
于点.
由，可得.
当点与点不重合时，
如图④，作，截取，连结.
，
，
.
由①.
又，
又，
.
又.
.
设，则.
.
由.
.
综上所述，或.
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接，得到，则有∠F=∠A，求出∠F的正切即可；
（2）①先根据勾股定理求出CF长，即可得到，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等解题即可；
②分为两种情况：点与点重合时，直接根据正弦解题即可；点与点不重合时，作，截取，连结，证明，即可得到，然后推理得到，证明，即可得到，设，即可得到∠ABM=90°，然后利用正弦解题即可.
20．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=a，
∴∠BAD=∠CAE
∴
∴CE=BD
（2）解：①如图，
∵CE//AD
∴∠2=∠4
又∵∠2=∠6
∴∠4=∠6
∵∠1=∠3，∠5=∠3
∴∠5=∠1
∴△AEC∽△CDB
∴∠E=∠CDB
∵∠E+∠ABC=∠CDB+∠BAC=180°
∴∠ABC=∠BAC
∴AC=BC
又∵AB=AC，
∴AC=BC=AB
∴△ABC是正三角形
∴a=60；
②∵的度数与的度数之比为3，且的度数+的度数=120°，
∴∠2=15°， ∠3=45°
∴∠2=∠6=15°，∠3=∠5=45°
作DH⊥BC于点H，取BD的中点G，连接GH，过点H作HM⊥BD于点M，
∴∠DHC=∠DHB=∠HMD=∠HMG=90°，
∴GH=BG=GD=BD，
∴∠6=∠BHG=15°，
∴∠HGM=∠6+∠BHG=30°，
设MH=x，则GH=GD=2x，GM=x，
∴MD=GD-GM=
设DH=CH=1，
则CD=，，
解得x=（负值已舍），
∴GH=GD=BG=
∴BD= +
∴BD：DC=1+
【知识点】相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得∠BAC=∠DAE=a，由等量减去等量差相等推出∠BAD=∠CAE，由同圆中，相等的圆周角所对的弧相等得，进而根据等弧所对的弦相等可得结论；
（2）①由二直线平行，内错角相等得∠2=∠4，由同弧所对的圆周角相等得∠2=∠6，则∠4=∠6；由同弧所对的圆周角相等得∠5=∠3，结合∠1=∠3可得∠5=∠1，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEC∽△CDB，由相似三角形对应角相等得∠E=∠CDB，由圆内接四边形的对角互补及等角的补角相等得∠ABC=∠BAC，由等角对等边得AC=BC，从而由三边相等的三角形是等边三角形得△ABC是正三角形，根据等边三角形内角都是60°可得答案；
②根据圆心角、弧、弦的关系可得∠2=15°， ∠3=45°，由同弧所对的圆周角相等得∠2=∠6=15°，∠3=∠5=45°，作DH⊥BC于点H，取BD的中点G，连接GH，过点H作HM⊥BD于点M，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得GH=BG=GD=BD，由等边对等角及三角形的外角性质得∠HGM=∠6+∠BHG=30°，由含30°角直角三角形的性质得设MH=x，则GH=GD=2x，GM=x，则MD=GD-GM=，设DH=CH=1，由勾股定理可得CD=，x=（负值已舍），从而可求出BD的长，此题得解了.
21．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；圆周角定理；切线的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接CE，根据圆心角、弧、弦的关系可证明CE是直径，根据圆的切线垂直经过切点的半径得，由角平分线定义及三角形内角和定理求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）①连接EF，由直径所对的圆周角是直角得，由同旁内角互补，两直线平行，可证，由二直线平行，内错角相等及等量代换可得，从而由同位角相等，两直线平行，可得，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形；
②延长BC、AD相交于H，由等角对等边得BE=CE，由等腰直角三角形性质求出，，由等弧所对的圆周角相等及平行线的性质可推出，由等角对等边得出，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得，代入数据即可求解．
（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆与三角形的综合
23．【答案】（1）解：∵
∴
又∵为的内心，，
∴

（2）①证明：如图所示，过点作的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的内心，
∴，
∴
∴
∴
∴；
②解：如图所示，过点作于点，
∵是的内心
∴，
设
又∵
∴
∴，
∴
∴，则
∴
又∵
∴
∴，
∵，则到的距离相等，设到的距离为，设到的距离为，
∴
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
由①可得
又．
∴．

【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到，再利用三角形内心解题即可；
（2）①过点作的垂线，垂足为，即可得到，然后根据三角函数得到，即可表示三角形的面积；
②过点作于点，得到，即可得到，即可得到，代入数值求出m，再根据三角形的面积公式解题即可．
24．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
（3）解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由三角形外角得到，然后根据圆周角定理得到，即可得到，即可得到，证明结论；
（2）在和中得到，即可转化成与，，相关的角，求得，即可解题；
（3）过作于，连接，根据（1）（2）中结论，即可得到，设，即可得到，然后得到，根据对应边成比例得到的值，再在中，利用勾股定理解题即可．
1 / 14月之圆—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·龙湾模拟）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】圆的相关概念；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是位似图形，位似中心为点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：A．
【分析】利用位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比得出，再结合，，得出，即可求解．
2．（2024九下·新昌模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
3．（2025·钱塘模拟）复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角内接于于点，点是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点．方法②：作直线，，相交于点，连结，延长交于点．下列判断正确的是（　　）
A．方法①，方法②都错误 B．方法①，方法②都正确
C．方法①错误，方法②正确 D．方法①正确，方法②错误
【答案】B
【知识点】平行线的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
4．（2025·湖州模拟）如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
5．（2025·浙江模拟）如图，的半径为，以圆外一点为圆心，画半径为4的弧，将截成弧长相等的两部分，则两点的距离为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，设两弧交于点C，D，连接CD，AC，AB，则CD是 的直径，
∴BC=BD=，AC=4，
∵B是CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴，
故答案为：C.
【分析】设两弧交于点C，D，连接CD，AC，AB，BC=BD=，AC=4，然后根据勾股定理解题即可.
6．（2024九上·绍兴模拟）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
方案一：图形中的圆过点A、B、C；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率100%．以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：方案一中，连接，，，
，
∵棱长为1cm的正方体纸盒，
∴，，
∴，即，
∴为该圆的直径，
∴该圆的半径为：，
∴，
方案二中先将图进行命名：
，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，，，根据勾股定理的逆定理可得，即可得到为该圆的直径，利用勾股定理即可求出，方案二中得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
7．如图，是的内接三角形，AD是的直径，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
8．（2025·镇海区模拟）如图，已知内接于，点M为的中点，连接交于点E，且C为弧的中点，连接 ，在上存在点 H，使得 若 ， 则的长（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
二、填空题
9．（2025·龙湾模拟）如图，点是以为直径的半圆上的一点，分别是和的中点，连结交于，交于．若时，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接交于点，连接交于点W，如图：
∵以为直径的半圆，
∴，
∴，
∴，
∵分别是和的中点，，
∴，点分别是的中点，
∵是的中点，
∴，
∴
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】由直径所对的圆周角是直角得，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC=10，即直径是10，由垂径定理得OD垂直平分AB，OE垂直平分AC，利用三角形中位线定理，得到，再根据有三个角是直角的四边形是矩形得四边形HOWA是矩形，由矩形性质得∠DOE=90°，从而用等腰直角三角形性质及勾股定理算出DE、DM、NE，再代入MN=DE-DM-NE进行计算，即可作答．
10．（2025九下·温州月考）如图，点是以BC为直径的半圆上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于，交AC于.若时，则MN的值为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接OD交AB于点F，连接OE交AC于点G，
∵D，E分别是和的中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
又∵BC是直径，
∴∠A=90°，
∴OFAG是矩形，BF=FA=4，AG=CG=3，
∴OF=3，OG=4，∠DOE=90°，
∴∠D=∠E=45°，
又∵，
∴OD=OE=5，
∴DF=FM=2，EG=NG=1，
∴AM=2，AN=2，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OD交AB于点F，连接OE交AC于点G，即可得到OFAG是矩形，求出OF=3，OG=4，然后根据勾股定理求出半径为5，然后求出AM和AN长，利用勾股定理解题即可.
11．（2025·衢江模拟）如图，在中，将沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接，
∵和是圆周角所对的弧，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴，，
在，，
故答案为：．
【分析】延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，根据等腰三角形三线合一性质，得到，设，则，结合已知根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，整理可得，在中，利用勾股定理得到，即，解方程求出a的值，在Rt△ABH中，用勾股定理计算即可求解.
12．（2025·镇海区模拟）如图， 为直角三角形，且，以O为圆心，为半径作圆与交于点E．过点A作于点F交圆O于点C，延长交圆O于点D，连结交于点M，若圆O的半径为5， 则的长为 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
三、解答题
13．（2025·温州模拟）根据要求作图并证明．
（1）如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹：
①画一条直径AB；
②作OB的垂直平分线交于点C，D；
③连结AC，AD，得到．
（2）根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明．
【答案】（1）图1即为所作图形．
（2）证明：如图2，连结OD，BD．
是OB的中垂线，AB为的直径，
．
是等边三角形，
．
，
是等边三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）过圆心O可画任意一条直线交于A、B两点，再作OB的垂直平分线交于C、D两点，顺次连接A、C、D三点即可；
（2）由于线段垂直平分线上的点到两个端点距离相等，所以OD等于BD；又因为半径处处相等，所以OD等于OB等于BD，则是等边三角形.
14．（2025·浙江模拟）已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结BC.在AB上截取BF=BC，连结DF并延长，交⊙O于点G，连结CG.
（1）如图1，当点E与圆心O重合时，求∠D的度数.
（2）如图2，连结BG，交CD于点N，过点F作FM //BG，交CD于点M，连结GE.
①求证：BG平分∠ABC.
②若△EFG与△DFM的面积相等，BC=1，求BE的长.
【答案】（1）解：连接CF，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴EC=ED
∴AB垂直平分CD，
∴FC=FD，
∵CD⊥AB，
∴∠CFE=∠DFE，
∵EC=EB，CD⊥AB，
∴∠B=∠ECB=45°，
∵BF=BC，
∴∠BFC=∠BCF =
=67.5°=∠BFD，
∴∠D=90°-67.5°= 22.5°；
（2）解：①证明：设∠1=α，连接CF，
∵CF=FD，
∴∠1=∠D.
∵∠4=∠D，
∴∠4=∠1=∠D=α.
∵CD⊥AB，
∴∠3=90°-∠1=90°-α.
∵BC=BF，
∴∠BCF=∠3=90°-α，
∴∠CBF=180°-∠BCF-∠3=180°-2(90°-α)=2α，
∴∠4=∠CBF，
∴BG平分∠ABC；
②连接CF与BG交于点H，连接AG，AC，作GP⊥AB，
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG=∠FBG，
∵BC=BF，BG=BG，
∴△ACBG≌△FBG(SAS)，
∴GC=GF，∠CGB=∠FGB，
∵GH =GH
∴△HCG≌△HFG(SAS)，
∴CH=FH，
∵FM//HN，
∴CH：CF=CN：CM，
∴CM=2CN，
∵OB⊥CD，
∴CD=2CE，
∴DM=CD-CM=2CE-2CN=2NE，
∵△EFG与△DFM的面积相等，
∴EF·GP=EF·DM，
∴GP=DM=2EN，
∵NE⊥AB，GP⊥AB，
∴NE//GP，
∴△BNE∽△BCP，
∴BE：BP＝EN：GP＝1：2，
设BE=PE=X，
∵BC=BF=1，
∴PF=2x-1，
∵∠GBC=GBA，
∴CG=AG=GF，
∵GP⊥AB，
∴AP=PF=2x-1，
∴AB=AF+BF=2PF+BF=4x-1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cos ∠ABC ==，
∴BC2=BE·AB，
∴4x2-x-1=0，
解得：x=（负值舍去），
∴BE=.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)连接CF，先证明AB垂直平分CD，根据垂直平分线的性质及在同一个三角形中等边对等角，可求得∠B=45°，再利用在同一个三角形中等边对等角，可求得∠BFC，然后根据直角三角形两个锐角互余，求得∠D；
（2）①设∠1=α，连接CF，先利用在同一个三角形中等边对等角，说明∠4=∠1=∠D=α，再利用在同一个三角形中等边对等角，说明∠BCF=∠3=90°-α，利用三角形内角和定理，可用α表示出∠CBF，从而可说明∠4=∠CBF，也就是BG平分∠ABC；
②设BE=PE=X，先利用SAS证明△ACBG≌△FBG，可用全等三角形的性质，得出GC=GF，∠CGB=∠FGB，再利用SAS证明SAS，可说明CH=FH，再根据FM//HN，列出比例式，说明CM=2CN，通过△EFG与△DFM的面积相等，说明GP=DM=2EN，再证明△BNE∽△BCP，列出比例式，得出PF=2x-1，然后借助余弦，说明BC2=BE·AB，可得出关于x的方程，求出x，正值即为BE的长.
15．（2025九下·浙江模拟）如图1，是的直径，是圆上不同于的任意一点，延长到点，连结．过点作，交于点，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，若，求的值．
（3）若，求的值（用含的代数式表示）
【答案】（1）证明： AB是⊙O的直径， C是圆上不同于A， B的任意一点， ，交BD于点E， 如图， 设CE， AB交点为G，
（2）解：
即
（3）解：过点E作 于点H，
设 则
在直角三角形ACG中，由勾股定理得：
即
即

【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)如图，设CE，AB交点为G，根据直径所对圆周角为 得到 由 得到 利用同角的余角相等即可证明结论；
(2)根据平行线的性质可证 证明 推出 求出BC，再证明 推出 求出CD，根据正切的定义即可求解；
(3)过点E作 于点H，根据 ， 设 则 求出 证明 推出 即可得到求出 然后根据正切的定义解题即可.
16．（2025九下·宁波模拟）如图1，四边形是的内接四边形，为对角线，且为的直径，，已知，.
（1）求的长；
（2）如图2，为上一点，过作，其反向延长线交于点，连结、、，若，
①求的值；
②试求的长.
【答案】（1）连结OD、OC，设OD与AC交于点P
∵AD＝DC，∴，∴AC⊥OD，∴P为AC中点，
又O为圆心，AB为直径∴OP＝BC＝，
由S△ADC＝S△ACB可知DP＝BC＝1，∴AB＝3，从而AC＝2
（2）①∵GF⊥AC，AG⊥BG，∠ACG＝∠ABG
∴∠BAG＝∠FGC，又∠CAB＝∠CGB＝∠AGF，
∴∠CAG＝∠CGA，∴CG＝AC＝2.
设AF＝a，由tan∠CAB＝tan∠AGF＝可知，
FG＝2a，AG＝3a，∴FC＝2－a，
∴（2－a）2＋（2a）2＝（2）2，
解得a＝，从而AG＝，∴＝.
②由△AFE∽△ACB，∴，
∴EF＝，AE＝，∴EG＝FG－EF＝，EB＝
又由①得∠BCH＝∠BAG＝∠FGC，
∴△BCH∽△EGH，∴，解得BH＝.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
(1)连结OD、OC， 设OD与AC交于点P， 易得P为AC中点， 由 可知 进而利用勾股定理求解即可；
(2)①导角易求 设 易得 在 中利用勾股定理求解即可；
②易求 所以 证 即可得解.
17．（2025·浙江模拟）如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，F是弧BC上一点，连结AC，CF，BF，AF，AF与CD交于点G。
（1）求证：∠AFC=∠CAB；
（2）如图2，连结CB交AF于点H。
①当AF⊥CB时，试判断△CGF的形状，并说明理由；
②在①的条件下，延长CF，AB相交于点Q，若CD=10，AB=8，求的值。
【答案】（1）证明：∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴，
∴∠AFC=∠CAB.
（2）解： ①△CGF是等腰三角形.
∵AF⊥CB，CD⊥AB，
∴∠AEG=∠AHB=90°，
∴∠GAE+∠AGE=∠GAE+∠ABH=90°，
∴∠AGE=∠ABH，
∵∠AGE=∠CGF，∠AFC=∠ABH，
∴∠CGF=∠AFC，
∴CG=CF，
∴△CGF是等腰三角形.
②连结OA，AD，
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴AE=EB=4 ， ，
∵CD=10，
∴OA=OC=OD=5，
在Rt△OAE中，OE==3，
∴DE=5-3=2，
在Rt△DAE中，AD== ，
∵△CGF是等腰三角形，CB⊥AF，
∴CH平分∠GCF，
∴∠FCH=∠GCH，
∵∠FCH=∠GAE，∠GCH=∠DAE，
∴∠DAE=∠GAE，
∵∠AEG=∠AED=90°，AE=AE，
∴△ADE≌△AGE（ASA），
∴DE=EG=2，
∴CG=10-2-2=6，
∴CF=6，
∵∠DAE=∠GAE
∴，
∴
∴BF=AD=，
∵∠BFQ=∠CAB，∠CAB=∠AFC，
∴∠BFQ=∠AFC，
∵∠FBQ=∠ACF，
∴△BFQ∽△CFA，
∴.
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)先利用垂径定理证明=，再利用圆周角定理证明；
（2）①先判断△CGF是等腰三角形，再说理.先说明∠AGE=∠ABH，再∠CGF=∠AFC，然后根据等腰三角形判定得出结论；
②先利用勾股定理分别求得OE与AD，再利用等腰三角形三线合一，证得CH平分∠GCF，从而可得∠FCH=∠GCH，再利用ASA证明△ADE≌△AGE，分别求得CG、CF与BF，再证明△BFQ∽△CFA，列出比例式求得.
18．（2025·温州模拟）如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB，DC交于点，在DE上方作，使点在线段DE上，且，连结DG．
（1）若为的中点，求的度数．
（2）连结BD，当时．
①求证：四边形BEGD是平行四边形．
②若，求证：．
【答案】（1）解：为的中点，．
，
．
，
．
（2）①，
，
．
，
，
四边形BEGD为平行四边形．
②如图2，过点作交圆于点，连结PD，
则，
．
四边形BEGD是平行四边形，
．
．
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由于圆内接四边形对角互补，因此求的度数，实质是求的度数；由于点平分劣弧，由圆周角定理知，等于等于，则由三角形内角和定理求出即可；
（2） ① 由圆周角定理知，等于等于，则由内错角相等两直线平行知，又因为，则由等角的补角相等可得到，则四边形BEGD是平行四边形；
② 可过点B作BP平行DE交圆于点P，此时由于夹在一组平行线间的圆弧相等，则BC等于PD；由圆周角定理结合平行线的性质可得等于，等于，由于平行四边形的对边相等即DB等于GE，则由“AAS”可证即可.
19．（2025·浙江模拟）已知的半径为是其内接三角形，.
图1图2
（1）如图1，求；
（2）如图2，弦，连结分别交于点.
①求证：；
②若点为的中点，求的长.
【答案】（1）解：在图①中，连结并延长交于点，连接，
是直径，
.
由题，
，
是所对的圆周角，，
.
（2）解：①证明：由(1)，在中，，
又.
，即.
②当点与点重合时，如图③，此时为直径，
于点.
由，可得.
当点与点不重合时，
如图④，作，截取，连结.
，
，
.
由①.
又，
又，
.
又.
.
设，则.
.
由.
.
综上所述，或.
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接，得到，则有∠F=∠A，求出∠F的正切即可；
（2）①先根据勾股定理求出CF长，即可得到，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等解题即可；
②分为两种情况：点与点重合时，直接根据正弦解题即可；点与点不重合时，作，截取，连结，证明，即可得到，然后推理得到，证明，即可得到，设，即可得到∠ABM=90°，然后利用正弦解题即可.
20．（2025·浙江模拟）如图1，是等腰的外接圆，，点是所对弧上的任意一点，连结AD，将AD绕点逆时针旋转，交于点，连结BD、DC、CE
（1）求证：．
（2）如图2，若，
①求的值．
②当的度数与的度数之比为3时，求BD：DC的值．
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=a，
∴∠BAD=∠CAE
∴
∴CE=BD
（2）解：①如图，
∵CE//AD
∴∠2=∠4
又∵∠2=∠6
∴∠4=∠6
∵∠1=∠3，∠5=∠3
∴∠5=∠1
∴△AEC∽△CDB
∴∠E=∠CDB
∵∠E+∠ABC=∠CDB+∠BAC=180°
∴∠ABC=∠BAC
∴AC=BC
又∵AB=AC，
∴AC=BC=AB
∴△ABC是正三角形
∴a=60；
②∵的度数与的度数之比为3，且的度数+的度数=120°，
∴∠2=15°， ∠3=45°
∴∠2=∠6=15°，∠3=∠5=45°
作DH⊥BC于点H，取BD的中点G，连接GH，过点H作HM⊥BD于点M，
∴∠DHC=∠DHB=∠HMD=∠HMG=90°，
∴GH=BG=GD=BD，
∴∠6=∠BHG=15°，
∴∠HGM=∠6+∠BHG=30°，
设MH=x，则GH=GD=2x，GM=x，
∴MD=GD-GM=
设DH=CH=1，
则CD=，，
解得x=（负值已舍），
∴GH=GD=BG=
∴BD= +
∴BD：DC=1+
【知识点】相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得∠BAC=∠DAE=a，由等量减去等量差相等推出∠BAD=∠CAE，由同圆中，相等的圆周角所对的弧相等得，进而根据等弧所对的弦相等可得结论；
（2）①由二直线平行，内错角相等得∠2=∠4，由同弧所对的圆周角相等得∠2=∠6，则∠4=∠6；由同弧所对的圆周角相等得∠5=∠3，结合∠1=∠3可得∠5=∠1，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEC∽△CDB，由相似三角形对应角相等得∠E=∠CDB，由圆内接四边形的对角互补及等角的补角相等得∠ABC=∠BAC，由等角对等边得AC=BC，从而由三边相等的三角形是等边三角形得△ABC是正三角形，根据等边三角形内角都是60°可得答案；
②根据圆心角、弧、弦的关系可得∠2=15°， ∠3=45°，由同弧所对的圆周角相等得∠2=∠6=15°，∠3=∠5=45°，作DH⊥BC于点H，取BD的中点G，连接GH，过点H作HM⊥BD于点M，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得GH=BG=GD=BD，由等边对等角及三角形的外角性质得∠HGM=∠6+∠BHG=30°，由含30°角直角三角形的性质得设MH=x，则GH=GD=2x，GM=x，则MD=GD-GM=，设DH=CH=1，由勾股定理可得CD=，x=（负值已舍），从而可求出BD的长，此题得解了.
21．（2025·龙湾模拟）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．
（1）求的度数；
（2）当是圆的直径，
①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；圆周角定理；切线的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接CE，根据圆心角、弧、弦的关系可证明CE是直径，根据圆的切线垂直经过切点的半径得，由角平分线定义及三角形内角和定理求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）①连接EF，由直径所对的圆周角是直角得，由同旁内角互补，两直线平行，可证，由二直线平行，内错角相等及等量代换可得，从而由同位角相等，两直线平行，可得，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形；
②延长BC、AD相交于H，由等角对等边得BE=CE，由等腰直角三角形性质求出，，由等弧所对的圆周角相等及平行线的性质可推出，由等角对等边得出，由有两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得，代入数据即可求解．
（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（2025·浙江模拟）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．
（1）如图1，当，的长为时，求的长．
（2）如图2，当，时，求的值．
（3）如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆与三角形的综合
23．（2024九下·海宁模拟）已知内接于，为的内心，延长交于点，交于点．连结，，．
（1）若求的度数；
（2）设四边形的面积记为， 连结， 当时，请完成下列问题．
①求证∶
②已知求的值．
【答案】（1）解：∵
∴
又∵为的内心，，
∴

（2）①证明：如图所示，过点作的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的内心，
∴，
∴
∴
∴
∴；
②解：如图所示，过点作于点，
∵是的内心
∴，
设
又∵
∴
∴，
∴
∴，则
∴
又∵
∴
∴，
∵，则到的距离相等，设到的距离为，设到的距离为，
∴
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
由①可得
又．
∴．

【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到，再利用三角形内心解题即可；
（2）①过点作的垂线，垂足为，即可得到，然后根据三角函数得到，即可表示三角形的面积；
②过点作于点，得到，即可得到，即可得到，代入数值求出m，再根据三角形的面积公式解题即可．
24．（2024九下·镇海区模拟）已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
（3）解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由三角形外角得到，然后根据圆周角定理得到，即可得到，即可得到，证明结论；
（2）在和中得到，即可转化成与，，相关的角，求得，即可解题；
（3）过作于，连接，根据（1）（2）中结论，即可得到，设，即可得到，然后得到，根据对应边成比例得到的值，再在中，利用勾股定理解题即可．
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