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4月之图形的相似—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·温州模拟）如图，在的方格纸中，是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：如图所示，
故答案为：A.
【分析】位似图形对应顶点所在的直线必然经过同一点，这一点就是位似中心.
2．（2024九下·温州模拟）如图，的边与相切于点，交于点，延长交于点，连接．若，，，则的长为（　　）
A．15 B． C． D．12
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的直径，
∴
∵
∴
在中，，
∵
∴即
∴
在中，；
∵即
∴
∴，
∴
∴，
故答案为：B.
【分析】连接，由勾股定理和垂径定理求出，然后根据平行线得到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
3．（2025·衢江模拟）如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设交于点，过点作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
∴；
故答案为：B．
【分析】设交于点，过点作，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，同理可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据这个比例式可将BH用含x的代数式表示出来，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可得y与x之间的函数关系式．
4．（2025九下·东阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形ABCD的边长为2，则点F的坐标（　　）
A．（9，6）
B．（3，2）
C．（6，9）
D．（2，3）
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴△ODC∽△OGF，△OCB∽△OFE，
∴
∴
∴FG=6，
∵正方形BGFE
∴GF=BE=6=EF，
∴
解之：OB=3
∴OE=OB+BE=3+6=9
∵点F在第一象限，
∴点F（9，6）
故答案为：A.
【分析】利用位似图形的性质，可证得△ODC∽△OGF，△OCB∽△OFE，利用相似三角形的性质可求出FG的长，同时可证得，利用正方形的性质可推出GF=BE=6=EF，代入计算求出OB的长，即可得到OE的长，可得到点F的坐标.
5．（2025九下·温州月考）如图，A，B是上的点，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点A，B对应点是点交于点，若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵位似中心是点O，
∴OB=OC=2B'C，即，
∵和是位似图形，
∴△AOB∽△A'OB'，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】根据位似中心可得OB=OC=2B'C，然后根据位似图形的性质得到，解题即可.
6．如图 29-9， 在边长为 1 的小正方形组成的网格中， 四个点均在格点上， 与 相交于点 ， 连结 ，则 与 的周长比为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设AB过格点M，如图忾示，
观察图形可得，，，
∴，
而，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】先证明四边形为平行四边形，再证明，利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．
7．（2025九上·镇海区期末）如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
8．（2025·镇海区模拟）如图， 在中，， ， ， 点N是边上的一点， 且 ，点M是边上一个动点，连接，以为直角边，点M为直角顶点，在的左侧作等腰直角三角形，则的最小值是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
二、填空题
9．（2025·浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在AB边上，连结BE，若∠CBE=67.5°，则=　 　。
【答案】
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设BD=x，
∵ 将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴CE=BC，AC=CD，∠ACB=∠DCE=90 ° ，∠ABC=∠CED.
∵ ∠CBE=67.5°，
∴∠BEC=∠CBE=67.5°，
∴∠BCE=180°-∠BEC-∠CBE=45°.
∴∠BCD=∠DCE-∠BCE=45°.
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=45°.
∴∠A=∠ADC=(180°-∠ACD)=67.5°.
∴∠ABC=∠CED=90°-∠A=22.5°.
∴∠DBE=∠CBE+∠ABC=90°，∠DEB=∠CEB-∠CED=45°.
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=BE，
∴DE=AB=.
∴AD=AB-BD=.
∵∠A=∠ADC=∠CBE=∠CEB=67.5°，
∴△CBE∽△CAD.
∴.
故答案为：.
【分析】先利用旋转的性质，证得CE=BC，AC=CD，∠ACB=∠DCE=90 ° ，∠ABC=∠CED.再利用等边对等角求得∠BEC，然后证明△BDE是等腰直角三角形，用x表示出DE和AD，再利用△CBE∽△CAD，列出比例式，求得.
10．（2025·温州模拟）如图，点E，F分别在的边AB，CD上，连结DE，EF，点关于EF的对称点恰好在AB的延长线上，连结FG交BC于点．若，则　 　，AE=　 　．
【答案】；
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接DG交EF于点O.
关于直线EF对称
四边形ABCD是平行四边形
四边形DEGF是菱形
设，则
四边形ABCD和四边形DEGF都是平行四边形
故答案分别为：和.
【分析】第一空：由轴对称的性质知EF垂直平分DG，则FD等于FG，再等腰三角形三线合一知FE平分，由于平行四边形的对边平行，由平行线的性质结合等量代换得等于，则GE等于GF，可将线段GH与EG的比转化为GH与FG的比，从而利用比例的基本性质得到FH与GH的比值；第二空：由第一空的推理可得四边形DEGF是菱形，则可设FH等于3a，则GH等于5a，则DE、EG、FG都是8a，此时利用平行四边形的对边平行，可借助内错角相等证明与相似，再借助同位角相等证明与相似，由于CF已知，两组三角形的相似比可以计算出来，则可先求出BG的值，进而求出AE的值.
11．（2025九下·宁波模拟）如图，四边形和四边形分别是边长为3和2的正方形，连结，，，则五边形的面积为　 　.
【答案】4.5
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 过点A作. 于T，连接AE，过点E作 于P，
设
∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，
，
.
故答案为： 4.5.
【分析】如图，过点A作. 于T， 连接AE，过点E作 于P， 设. 由勾股定理得 利用余弦列式为 可表示BN的长，证明 利用余弦的定义可得AT的长，最后由面积和即可解答.
12．（2025九下·洞头模拟）如图，在正方形ABCD中，是边AD上一点，.将沿CM翻折得，延长分别交AB于点P、Q，过作交CQ于点，则与的面积比为　 　.
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接，

根据折叠的性质可得，
四边形为正方形，
，
在与中，
，
，
，
设，则，
设，则，，
在直角三角形中，，
即，
解得，
，
，
，
与的面积比为，
故答案为：．
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.根据折叠的性质可得，利用正方形的性质可得：，利用直角三角形全等的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，设，则，设，利用线段的运算可得，，利用勾股定理可得，据此可列出方程，解方程可求出，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得
，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：与的面积比为，代入数据可求出答案.
13．（2024九上·杭州月考）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），∠BAE=∠GEF，AE=EF，FG⊥BC交BC延长线于点G，FQ⊥CD于点Q，连结AF交CD于点H，点P是AF的中点，连结BP.求：
（1）的度数为　 　
（2）当时，　 　.（用的代数式表示）
【答案】（1）45°
（2）
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵FG⊥BC，
∴∠G=90°，
∵∠B=∠G， ∠BAE =∠GEF， AE=EF，
∴△ABE≌△EGF(AAS)；
∴∠AEB=∠EFG，
∴∠AEB+∠GEF =∠AEB+∠BAE=90°，即∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵点P是AF的中点，
∴EP⊥AF，
∴∠APE=90°，∠AEP =∠FEP=45°，
∵∠ABE = 90°，
∴A、B、E、P四点共圆，
；
故答案为： 45°；
∴四边形CGFQ是正方形，
连接BD，
由①得点P在 的平分线即正方形的对角线上，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
，
设
故答案为：
【分析】①根据正方形的性质得到∠B =90°，根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠EFG， 推出△AEF是等腰直角三角形， 得到EP⊥AF， 推出A、B、E、P四点共圆，根据圆周角定理得到∠ABP =∠AEP=45°；
②根据全等三角形的性质得到AB=EG=BC，BE=FG， 求得BE=CG=FG， 根据正方形的性得到连接BD，由①得点P在∠ABC的平分线即正方形的对角线上，根据相似三角形的性质得到HC =mHD，求得DC=DH+HC=(m+1)HD， 得到 设AP=PF=(m+1)k， PH=k， 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
三、解答题
14．（2025·衢州模拟）如图1，在Rt中，是的外接圆，点是的中点，连结CD交AB于点.
（1）求的度数.
（2）如图2，过点作，连结OD，若.
①若，求.
②连结OF，求OF的长.
【答案】（1）解：∵AB是直径，
∴=180°，
∵点D是的中点，
∴=90°，
∴∠DCB=45°.
（2）①∵∠AOD=90°，tanD==，
∴设OE=a，
∴OD=2a，
∵AE=，OA=OD，
∴OE=OA-AE，
∴a=2a-，解得：a=.
∵AF⊥CD，
∴∠AFE=90°，
∵∠AEF=∠OED，
∴∠FAE=∠D，
∴tan∠FAE=，
∵tan∠FAE=，
∴，
∴EF=1，AF=2，
∵∠ACD=45°，
∴CF=AF=2，
∴CE=3，
∵DE2=OE2+OD2=25，
∴DE=5，
∴，
②当＜时，
过点O作OG⊥CD，
∴，
∴EG=DE-DG=1，
∵EF=1∴GF=2，
∴△OEG～△OED，
∴，
∴OG=2，
∵OF2=OG2+GF2，
∴OF=
当＞时
过点O作OG⊥CD，
∵∠BAF=∠D，
∴tanD=tan∠BAF，
∴设OE=b，OD=OA=2b，
∵AE=，
∴b=，
∴OE=，OD=OA=，
∴EF=1，AF=2，
∵∠OGB=∠AFE，∠OEG=∠AEF，
∴△OEG～△AEF，
∴，
∴OG=，
在Rt△ODG中，DG=，
在Rt△ODE中，DE=，
∴DF=，
∴GF=EF-（DE-DG）=
∴OF==.
综上所述，OF=或.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先求得的度数，再求得的度数，然后求得；
（2）①先利用正切，设OE=a，可用a表示出OD，再利用线段差，得到关于a的方程求解，求得a，再求得tan∠FAE=，求得，从而求得EF与AF，再利用等腰直角三角形的性质求得CE，然后利用勾股定理求得DE，再求出CE与DE的比；
②分“＜”、“＞”两种情形，通过证明三角形相似，列出比例式，并用勾股定理分别求得OF.
15．（2025九下·温州月考）如图，在Rt中，，要用尺规在直角边BC上找一点使.
作图方法：延长AB，以为圆心，AB为半径作圆，交AB的延长线于点，连结CD交圆于点，连结AE交BC的点即为.
（1）求证：通过尺规作图，；
（2）若，求.
【答案】（1）证明：由作图可知，AD是的直径
.
即
.
即
（2），
，
，
，
，
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到然后根据等边对等角得到AC=CD，再根据三线合一和圆周角定理的推论得到结论即可；
（2）根据两角相等的两三角形相似得到，即可得到，代入数值求出AB长，然后根据正切的定义解题即可.
16．（2025·浙江模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD，BD，CD，BD交⊙O于点 E，连接CE.已知AB=AC=AD.
（1）如图1，求证：∠ACE=∠ADE.
（2）如图2，BD经过圆心O，AB=2CD.
①求 cos∠BAC 的值；
②若AB=3，求⊙O的半径，
【答案】（1）证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ACE＝∠ABE，
∴∠ACE＝∠ADE.
（2）解：①如图，连接AO，CO，
∵AO＝BO＝CO，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA，
∵AB＝AC，
∴∠AOB＝∠AOC.
∴∠OBA＝∠OAB＝∠BAC.
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC.
∵∠ACE＝∠ADE，
∴∠ECD＝∠EDC＝∠BEC.
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠ECD＝∠EDC.
∴△ABO∽△CDE.
∵AB＝2CD，
∴BO＝2EC，
∴BE＝4EC，
∵BD经过圆心O，
∴BD是⊙O的直径.
∴∠BCE＝90°.
∴cos∠BAC＝cos∠BEC＝
（其他解法提示：如图3，连接AE并延长与CD相交于点G，
可证∠BAC＝∠ACG，cos∠BAC＝cos∠ACG＝)
②如图，延长AO交BC于点F，
∵AB＝AC，∠OAB＝∠OAC，
∴AF⊥BC.
∴∠AFB＝90°，BF＝CF.
∵O为BE的中点，
∴FO＝.
∵BO＝AO＝2CE，
∴BF2＝BO2－FO2＝CE2.
∴BF2＝AB2－AF2＝9－CE2.
∴CE2＝.
∴CE＝（舍去），CE=.
∴.
【知识点】求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角，证明∠ABD＝∠ADB， 再根据圆周角定理得出∠ACE＝∠ABE，从而可得∠ACE＝∠ADE.
（2）①先证明等边对等角，通过证明两对角分别相等，来证明△ABO∽△CDE，列出比例式，可证明BE＝4EC， 再求出cos∠BAC；
②先证明AF⊥BC，利用中位线的定理可得FO＝，再利用勾股定理可求得CE，从而可求得AO.
17．（2025·镇海区模拟）（1） 如图1， 在中， D是上一点，交于点G，则 （用图中已有线段表示）
（2） 如图2，在中， M、N是上的两点， 且满足， 在上取一点D， 过点D作分别交 的延长线、于点 P、Q，求 的值：
（3） 如图3， 在正方形中， 点E是上一点， 连接交于点F， 在上取一点 P， 使得， 若 求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
18．（2025·镇海区模拟）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结．
（1）若，则应该满足什么条件？
（2）若，四边形的面积为，的面积为，求的值．
【答案】（1）应该满足
（2）6
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
19．（2025·浙江模拟）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．
（1）如图1，当，的长为时，求的长．
（2）如图2，当，时，求的值．
（3）如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆与三角形的综合
20．（2024九上·金华开学考）等腰三角形AFG中AF=AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点(D在F、E之间)，分别延长AD、AE交圆O于B、C两点(如图1)，记∠BAF=α，∠AFG=β.
（1）求∠ACB的大小(用α，β表示)；
（2）连接CF，交AB于H(如图2).若β=45°，且BC×EF=AE×CF.求证：∠AHC=2∠BAC；
（3）在(2)的条件下，取CH中点M，连接OM、GM(如图3)，若∠OGM=2α-45°，①求证：GM∥BC，GM=BC②请直接写出的值.
【答案】（1）解：如图：连接CF
∵ AF=AG
∴
∴∠ACF= ∠AFG=β
∵∠BCF=∠BAF= α
∴∠ACB=∠BCF＋∠ACF=α＋β
（2）证明：如图，连接BC
∵ AF=AG
∴
∴∠ACF=∠AFG=45°
∵∠FAE=∠FAE
∴△FAE∽△CAF
∴
∴AE·CF=AF·EF
∵BC·EF=AE·CF
∴BC·EF=AF·EF
∴BC=AF
∴
∴∠BAC=∠ACH=45°
∴∠AHC=90°
∴ ∠AHC=2∠BAC .
（3）解：如图：延长GM交AB于点I，连接FI，FB，CG
由（2）知：FG是 圆O 的直径
∴∠FAG=90°，∠FCG=90°
∵∠AHC=90°
∴AH∥CG
∵∠BCF=∠BAF=α
∴∠IAG=∠FAG－∠FAB=90°－α
∠ABC=90°－∠BCF=90°－α
∴∠IAG=∠ABC
∴IG∥BC
∴四边形BCGI为平行四边形
∴BI=CG，IG=BC
∵AH∥CG
∴∠MGC=∠MIH，∠HMI=∠CMG
∵M是CH的中点
∴HM=CM
∴△HMI≌△CMG(ASA)
∴HI=CG，IM=MG=IG
∴MG=BC，GM∥BC
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（3）②
由 ① 可知：设HI=BI=CG=1，AH=HC=n
∴BH=HF=2，CF=n＋2
在Rt△FHI中，FI=
在Rt△BHC中，
由（2）知：AF=BC
∴
在Rt△AFG中，
又∵在Rt△CFG中，CF2＋CG2=FG2 ∴ n+22+1=8+2n2 ，解得：n=1或n=3
∴HC=1或3
∵OF=OG，IM=GM
∴OM=，MC=CH
∴
当n=1时，
当n=3时，
综上所述：的值为或
故答案为或.
【分析】（1）先根据AF=AG，得到，根据同弧所对的圆周角相等可得：∠BCF=∠BAF= α，∠ACF= ∠AFG=β，又因为∠ACB=∠BCF＋∠ACF，因此可得：∠ACB=α＋β.
（2）先根据∠ACF=∠AFG=45°，∠FAE=∠FAE得到△FAE∽△CAF，再根据对应边成比例得到：，因此AE·CF=AF·EF，又因为BC·EF=AE·CF，因此可得BC=AF，因此，
∠BAC=∠ACH=45°，因而可以得到∠AHC=90°，即可证明：∠AHC=2∠BAC .
（3） ① 先根据FG是 圆O 的直径得到FG是 圆O 的直径，由（2）知：∠AHC=90°，因此可得AH∥CG，再根据∠BCF=∠BAF=α，得到：∠IAG=∠ABC=90°－α，可以得出IG∥BC，从而推出四边形BCGI为平行四边形，得到IG=BC，再证明△HMI≌△CMG(ASA)，得到IM=MG=IG，从而得到MG=BC，GM∥BC.
②设HI=BI=CG=1，AH=HC=n，根据勾股定理分别求出： FI=，，因为AF=BC得到，在Rt△AFG中，，
最后再根据勾股定理：CF2＋CG2=FG2，列出方程 n+22+1=8+2n2 ，解得：n=1或n=3从而求出HC=1或3，再根据中位线定理得到：，然后把数值代入计算即可.
1 / 14月之图形的相似—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·温州模拟）如图，在的方格纸中，是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
2．（2024九下·温州模拟）如图，的边与相切于点，交于点，延长交于点，连接．若，，，则的长为（　　）
A．15 B． C． D．12
3．（2025·衢江模拟）如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·东阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形ABCD的边长为2，则点F的坐标（　　）
A．（9，6）
B．（3，2）
C．（6，9）
D．（2，3）
5．（2025九下·温州月考）如图，A，B是上的点，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点A，B对应点是点交于点，若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图 29-9， 在边长为 1 的小正方形组成的网格中， 四个点均在格点上， 与 相交于点 ， 连结 ，则 与 的周长比为 （　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·镇海区期末）如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·镇海区模拟）如图， 在中，， ， ， 点N是边上的一点， 且 ，点M是边上一个动点，连接，以为直角边，点M为直角顶点，在的左侧作等腰直角三角形，则的最小值是 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在AB边上，连结BE，若∠CBE=67.5°，则=　 　。
10．（2025·温州模拟）如图，点E，F分别在的边AB，CD上，连结DE，EF，点关于EF的对称点恰好在AB的延长线上，连结FG交BC于点．若，则　 　，AE=　 　．
11．（2025九下·宁波模拟）如图，四边形和四边形分别是边长为3和2的正方形，连结，，，则五边形的面积为　 　.
12．（2025九下·洞头模拟）如图，在正方形ABCD中，是边AD上一点，.将沿CM翻折得，延长分别交AB于点P、Q，过作交CQ于点，则与的面积比为　 　.
13．（2024九上·杭州月考）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），∠BAE=∠GEF，AE=EF，FG⊥BC交BC延长线于点G，FQ⊥CD于点Q，连结AF交CD于点H，点P是AF的中点，连结BP.求：
（1）的度数为　 　
（2）当时，　 　.（用的代数式表示）
三、解答题
14．（2025·衢州模拟）如图1，在Rt中，是的外接圆，点是的中点，连结CD交AB于点.
（1）求的度数.
（2）如图2，过点作，连结OD，若.
①若，求.
②连结OF，求OF的长.
15．（2025九下·温州月考）如图，在Rt中，，要用尺规在直角边BC上找一点使.
作图方法：延长AB，以为圆心，AB为半径作圆，交AB的延长线于点，连结CD交圆于点，连结AE交BC的点即为.
（1）求证：通过尺规作图，；
（2）若，求.
16．（2025·浙江模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD，BD，CD，BD交⊙O于点 E，连接CE.已知AB=AC=AD.
（1）如图1，求证：∠ACE=∠ADE.
（2）如图2，BD经过圆心O，AB=2CD.
①求 cos∠BAC 的值；
②若AB=3，求⊙O的半径，
17．（2025·镇海区模拟）（1） 如图1， 在中， D是上一点，交于点G，则 （用图中已有线段表示）
（2） 如图2，在中， M、N是上的两点， 且满足， 在上取一点D， 过点D作分别交 的延长线、于点 P、Q，求 的值：
（3） 如图3， 在正方形中， 点E是上一点， 连接交于点F， 在上取一点 P， 使得， 若 求的长．
18．（2025·镇海区模拟）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结．
（1）若，则应该满足什么条件？
（2）若，四边形的面积为，的面积为，求的值．
19．（2025·浙江模拟）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．
（1）如图1，当，的长为时，求的长．
（2）如图2，当，时，求的值．
（3）如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．
20．（2024九上·金华开学考）等腰三角形AFG中AF=AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点(D在F、E之间)，分别延长AD、AE交圆O于B、C两点(如图1)，记∠BAF=α，∠AFG=β.
（1）求∠ACB的大小(用α，β表示)；
（2）连接CF，交AB于H(如图2).若β=45°，且BC×EF=AE×CF.求证：∠AHC=2∠BAC；
（3）在(2)的条件下，取CH中点M，连接OM、GM(如图3)，若∠OGM=2α-45°，①求证：GM∥BC，GM=BC②请直接写出的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：如图所示，
故答案为：A.
【分析】位似图形对应顶点所在的直线必然经过同一点，这一点就是位似中心.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵是的直径，
∴
∵
∴
在中，，
∵
∴即
∴
在中，；
∵即
∴
∴，
∴
∴，
故答案为：B.
【分析】连接，由勾股定理和垂径定理求出，然后根据平行线得到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设交于点，过点作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
∴；
故答案为：B．
【分析】设交于点，过点作，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，同理可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据这个比例式可将BH用含x的代数式表示出来，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式可得y与x之间的函数关系式．
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴△ODC∽△OGF，△OCB∽△OFE，
∴
∴
∴FG=6，
∵正方形BGFE
∴GF=BE=6=EF，
∴
解之：OB=3
∴OE=OB+BE=3+6=9
∵点F在第一象限，
∴点F（9，6）
故答案为：A.
【分析】利用位似图形的性质，可证得△ODC∽△OGF，△OCB∽△OFE，利用相似三角形的性质可求出FG的长，同时可证得，利用正方形的性质可推出GF=BE=6=EF，代入计算求出OB的长，即可得到OE的长，可得到点F的坐标.
5．【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵位似中心是点O，
∴OB=OC=2B'C，即，
∵和是位似图形，
∴△AOB∽△A'OB'，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】根据位似中心可得OB=OC=2B'C，然后根据位似图形的性质得到，解题即可.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设AB过格点M，如图忾示，
观察图形可得，，，
∴，
而，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：D.
【分析】先证明四边形为平行四边形，再证明，利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
9．【答案】
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：设BD=x，
∵ 将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴CE=BC，AC=CD，∠ACB=∠DCE=90 ° ，∠ABC=∠CED.
∵ ∠CBE=67.5°，
∴∠BEC=∠CBE=67.5°，
∴∠BCE=180°-∠BEC-∠CBE=45°.
∴∠BCD=∠DCE-∠BCE=45°.
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=45°.
∴∠A=∠ADC=(180°-∠ACD)=67.5°.
∴∠ABC=∠CED=90°-∠A=22.5°.
∴∠DBE=∠CBE+∠ABC=90°，∠DEB=∠CEB-∠CED=45°.
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=BE，
∴DE=AB=.
∴AD=AB-BD=.
∵∠A=∠ADC=∠CBE=∠CEB=67.5°，
∴△CBE∽△CAD.
∴.
故答案为：.
【分析】先利用旋转的性质，证得CE=BC，AC=CD，∠ACB=∠DCE=90 ° ，∠ABC=∠CED.再利用等边对等角求得∠BEC，然后证明△BDE是等腰直角三角形，用x表示出DE和AD，再利用△CBE∽△CAD，列出比例式，求得.
10．【答案】；
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接DG交EF于点O.
关于直线EF对称
四边形ABCD是平行四边形
四边形DEGF是菱形
设，则
四边形ABCD和四边形DEGF都是平行四边形
故答案分别为：和.
【分析】第一空：由轴对称的性质知EF垂直平分DG，则FD等于FG，再等腰三角形三线合一知FE平分，由于平行四边形的对边平行，由平行线的性质结合等量代换得等于，则GE等于GF，可将线段GH与EG的比转化为GH与FG的比，从而利用比例的基本性质得到FH与GH的比值；第二空：由第一空的推理可得四边形DEGF是菱形，则可设FH等于3a，则GH等于5a，则DE、EG、FG都是8a，此时利用平行四边形的对边平行，可借助内错角相等证明与相似，再借助同位角相等证明与相似，由于CF已知，两组三角形的相似比可以计算出来，则可先求出BG的值，进而求出AE的值.
11．【答案】4.5
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 过点A作. 于T，连接AE，过点E作 于P，
设
∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，
，
.
故答案为： 4.5.
【分析】如图，过点A作. 于T， 连接AE，过点E作 于P， 设. 由勾股定理得 利用余弦列式为 可表示BN的长，证明 利用余弦的定义可得AT的长，最后由面积和即可解答.
12．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接，

根据折叠的性质可得，
四边形为正方形，
，
在与中，
，
，
，
设，则，
设，则，，
在直角三角形中，，
即，
解得，
，
，
，
与的面积比为，
故答案为：．
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质.根据折叠的性质可得，利用正方形的性质可得：，利用直角三角形全等的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得，设，则，设，利用线段的运算可得，，利用勾股定理可得，据此可列出方程，解方程可求出，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得
，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：与的面积比为，代入数据可求出答案.
13．【答案】（1）45°
（2）
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵FG⊥BC，
∴∠G=90°，
∵∠B=∠G， ∠BAE =∠GEF， AE=EF，
∴△ABE≌△EGF(AAS)；
∴∠AEB=∠EFG，
∴∠AEB+∠GEF =∠AEB+∠BAE=90°，即∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵点P是AF的中点，
∴EP⊥AF，
∴∠APE=90°，∠AEP =∠FEP=45°，
∵∠ABE = 90°，
∴A、B、E、P四点共圆，
；
故答案为： 45°；
∴四边形CGFQ是正方形，
连接BD，
由①得点P在 的平分线即正方形的对角线上，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
，
设
故答案为：
【分析】①根据正方形的性质得到∠B =90°，根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠EFG， 推出△AEF是等腰直角三角形， 得到EP⊥AF， 推出A、B、E、P四点共圆，根据圆周角定理得到∠ABP =∠AEP=45°；
②根据全等三角形的性质得到AB=EG=BC，BE=FG， 求得BE=CG=FG， 根据正方形的性得到连接BD，由①得点P在∠ABC的平分线即正方形的对角线上，根据相似三角形的性质得到HC =mHD，求得DC=DH+HC=(m+1)HD， 得到 设AP=PF=(m+1)k， PH=k， 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
14．【答案】（1）解：∵AB是直径，
∴=180°，
∵点D是的中点，
∴=90°，
∴∠DCB=45°.
（2）①∵∠AOD=90°，tanD==，
∴设OE=a，
∴OD=2a，
∵AE=，OA=OD，
∴OE=OA-AE，
∴a=2a-，解得：a=.
∵AF⊥CD，
∴∠AFE=90°，
∵∠AEF=∠OED，
∴∠FAE=∠D，
∴tan∠FAE=，
∵tan∠FAE=，
∴，
∴EF=1，AF=2，
∵∠ACD=45°，
∴CF=AF=2，
∴CE=3，
∵DE2=OE2+OD2=25，
∴DE=5，
∴，
②当＜时，
过点O作OG⊥CD，
∴，
∴EG=DE-DG=1，
∵EF=1∴GF=2，
∴△OEG～△OED，
∴，
∴OG=2，
∵OF2=OG2+GF2，
∴OF=
当＞时
过点O作OG⊥CD，
∵∠BAF=∠D，
∴tanD=tan∠BAF，
∴设OE=b，OD=OA=2b，
∵AE=，
∴b=，
∴OE=，OD=OA=，
∴EF=1，AF=2，
∵∠OGB=∠AFE，∠OEG=∠AEF，
∴△OEG～△AEF，
∴，
∴OG=，
在Rt△ODG中，DG=，
在Rt△ODE中，DE=，
∴DF=，
∴GF=EF-（DE-DG）=
∴OF==.
综上所述，OF=或.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先求得的度数，再求得的度数，然后求得；
（2）①先利用正切，设OE=a，可用a表示出OD，再利用线段差，得到关于a的方程求解，求得a，再求得tan∠FAE=，求得，从而求得EF与AF，再利用等腰直角三角形的性质求得CE，然后利用勾股定理求得DE，再求出CE与DE的比；
②分“＜”、“＞”两种情形，通过证明三角形相似，列出比例式，并用勾股定理分别求得OF.
15．【答案】（1）证明：由作图可知，AD是的直径
.
即
.
即
（2），
，
，
，
，
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到然后根据等边对等角得到AC=CD，再根据三线合一和圆周角定理的推论得到结论即可；
（2）根据两角相等的两三角形相似得到，即可得到，代入数值求出AB长，然后根据正切的定义解题即可.
16．【答案】（1）证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ACE＝∠ABE，
∴∠ACE＝∠ADE.
（2）解：①如图，连接AO，CO，
∵AO＝BO＝CO，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA，
∵AB＝AC，
∴∠AOB＝∠AOC.
∴∠OBA＝∠OAB＝∠BAC.
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC.
∵∠ACE＝∠ADE，
∴∠ECD＝∠EDC＝∠BEC.
∵∠BAC＝∠BEC，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠ECD＝∠EDC.
∴△ABO∽△CDE.
∵AB＝2CD，
∴BO＝2EC，
∴BE＝4EC，
∵BD经过圆心O，
∴BD是⊙O的直径.
∴∠BCE＝90°.
∴cos∠BAC＝cos∠BEC＝
（其他解法提示：如图3，连接AE并延长与CD相交于点G，
可证∠BAC＝∠ACG，cos∠BAC＝cos∠ACG＝)
②如图，延长AO交BC于点F，
∵AB＝AC，∠OAB＝∠OAC，
∴AF⊥BC.
∴∠AFB＝90°，BF＝CF.
∵O为BE的中点，
∴FO＝.
∵BO＝AO＝2CE，
∴BF2＝BO2－FO2＝CE2.
∴BF2＝AB2－AF2＝9－CE2.
∴CE2＝.
∴CE＝（舍去），CE=.
∴.
【知识点】求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角，证明∠ABD＝∠ADB， 再根据圆周角定理得出∠ACE＝∠ABE，从而可得∠ACE＝∠ADE.
（2）①先证明等边对等角，通过证明两对角分别相等，来证明△ABO∽△CDE，列出比例式，可证明BE＝4EC， 再求出cos∠BAC；
②先证明AF⊥BC，利用中位线的定理可得FO＝，再利用勾股定理可求得CE，从而可求得AO.
17．【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
18．【答案】（1）应该满足
（2）6
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆与三角形的综合
20．【答案】（1）解：如图：连接CF
∵ AF=AG
∴
∴∠ACF= ∠AFG=β
∵∠BCF=∠BAF= α
∴∠ACB=∠BCF＋∠ACF=α＋β
（2）证明：如图，连接BC
∵ AF=AG
∴
∴∠ACF=∠AFG=45°
∵∠FAE=∠FAE
∴△FAE∽△CAF
∴
∴AE·CF=AF·EF
∵BC·EF=AE·CF
∴BC·EF=AF·EF
∴BC=AF
∴
∴∠BAC=∠ACH=45°
∴∠AHC=90°
∴ ∠AHC=2∠BAC .
（3）解：如图：延长GM交AB于点I，连接FI，FB，CG
由（2）知：FG是 圆O 的直径
∴∠FAG=90°，∠FCG=90°
∵∠AHC=90°
∴AH∥CG
∵∠BCF=∠BAF=α
∴∠IAG=∠FAG－∠FAB=90°－α
∠ABC=90°－∠BCF=90°－α
∴∠IAG=∠ABC
∴IG∥BC
∴四边形BCGI为平行四边形
∴BI=CG，IG=BC
∵AH∥CG
∴∠MGC=∠MIH，∠HMI=∠CMG
∵M是CH的中点
∴HM=CM
∴△HMI≌△CMG(ASA)
∴HI=CG，IM=MG=IG
∴MG=BC，GM∥BC
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（3）②
由 ① 可知：设HI=BI=CG=1，AH=HC=n
∴BH=HF=2，CF=n＋2
在Rt△FHI中，FI=
在Rt△BHC中，
由（2）知：AF=BC
∴
在Rt△AFG中，
又∵在Rt△CFG中，CF2＋CG2=FG2 ∴ n+22+1=8+2n2 ，解得：n=1或n=3
∴HC=1或3
∵OF=OG，IM=GM
∴OM=，MC=CH
∴
当n=1时，
当n=3时，
综上所述：的值为或
故答案为或.
【分析】（1）先根据AF=AG，得到，根据同弧所对的圆周角相等可得：∠BCF=∠BAF= α，∠ACF= ∠AFG=β，又因为∠ACB=∠BCF＋∠ACF，因此可得：∠ACB=α＋β.
（2）先根据∠ACF=∠AFG=45°，∠FAE=∠FAE得到△FAE∽△CAF，再根据对应边成比例得到：，因此AE·CF=AF·EF，又因为BC·EF=AE·CF，因此可得BC=AF，因此，
∠BAC=∠ACH=45°，因而可以得到∠AHC=90°，即可证明：∠AHC=2∠BAC .
（3） ① 先根据FG是 圆O 的直径得到FG是 圆O 的直径，由（2）知：∠AHC=90°，因此可得AH∥CG，再根据∠BCF=∠BAF=α，得到：∠IAG=∠ABC=90°－α，可以得出IG∥BC，从而推出四边形BCGI为平行四边形，得到IG=BC，再证明△HMI≌△CMG(ASA)，得到IM=MG=IG，从而得到MG=BC，GM∥BC.
②设HI=BI=CG=1，AH=HC=n，根据勾股定理分别求出： FI=，，因为AF=BC得到，在Rt△AFG中，，
最后再根据勾股定理：CF2＋CG2=FG2，列出方程 n+22+1=8+2n2 ，解得：n=1或n=3从而求出HC=1或3，再根据中位线定理得到：，然后把数值代入计算即可.
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