资源简介

4月之解直角三角形—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025九下·宁波模拟）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图).如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较小的边的边长为x，
解得 (负值不合题意，舍去)，
故答案为：A.
【分析】由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形中较小的边的边长为x，然后列出方程 然后解方程即可求解.
2．（2025九下·浙江模拟） 如图，在△ABC中，AB=AC，点G是重心，连结AG交BC于点D， BC=4， cos∠ACB=，F是边AC上一点，当FG⊥AD时，则CF的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：∵ 在△ABC中，点G是重心，连结AG交BC于点D， BC=4，
∴AD为中线，CD=BC=2，AG：GD=2：1.
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴cos∠ACB=，
∵ cos∠ACB=，
∴=，
∴=，解得AC=5，
当FG⊥AD时， GF//CD，
∴AG：GD=AF：FC，
∴AF：FC=2：1，
∴CF=AC=.
故答案为：B.
【分析】先利用三角形重心的意义，说明AD为中线，并求出CD，得出AG：GD=2：1，再利用余弦，求得AC，然后说明GF//CD，列出比例式，说明AF：FC=2：1，就可求出FC.
3．（2025·鄞州模拟）在中，，a，b，c分别为的对边，且有，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
如图所示：
得到
故答案为：D.
【分析】首先根据题意画出图形，然后利用 得到 ，然后利用勾股定理求出 然后利用正弦的概念求解即可.
4．（2025·龙湾模拟）如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：如图所示，连接，设交于点，
∵四边形，是正方形，
∴AG⊥CF，AO=OF，∠DAB=∠CAG=45°，
又∵
∴
∴三点共线，
又∵
∴，
∵
∴
∴
故答案为：C．
【分析】连AD、AG，设AG与CF交于点O，由正方形对角线互相垂直平分、相等及每条对角线平分一组对角得AG⊥CF，AO=OF及∠DAB=∠CAG=45°，从而证明D、A、G三点共线，利用勾股定理分别算出AD、AO及OF的长，进而根据正切的定义，即可求解．
5．（2025·温州模拟）如图，BD是正方形ABCD的对角线，为边BC上的动点（不与端点重合），点在BC的延长线上，且，过点作于点，连结．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接AG、CG。
四边形ABCD是正方形
为等腰直角三角形
故答案为：A.
【分析】由于正方形的每一个内角都是90度，其对角线平分一组对角，因此可连接AG、CG，则可证与全等，则有AG等于CG；由于FG垂直BD且等于45度，则可得是等腰直角三角形，则有FG等于BG，再利用已知BE等于CF，则可证与全等，则有EG等于CG，此时等量代换得AG等于EG；由于BE等于CF，则可得EF等于BC等于AB，可证明与全等，则利用全等的性质可把转化到的位置上，从而得到等于90度，即是等腰直角三角形，则由勾股定理或锐角三角函数知其直角边与斜边的比必然是定值.
二、填空题
6．（2025九下·宁波模拟）长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且、、、四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是　 　.
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
设正方形边长为x，假设AC在矩形里与其它线段分别交于点T和点P，过T做平行于点C所在的矩形边，交矩形另外两边于点E和点F；过点P做平行于点B所在的矩形边，交矩形另外两边于点J和点H；EF和JH相交于点O， EF垂直于JH， 设EF与DT边成的角为θ，则PJ与PC边成的角也为θ，
在 中，
可得 ①
解得
两边平方相加得
所以正方形的边长
故答案为：.
【分析】如图，设正方形边长为x，设EF与DT边成的角为θ，则PJ与PC边成的角也为θ，利用三角函数值表示出EF和JH的值求出然后根据一个角的正弦与余弦的平方和为1求出x值即可.
7．（2025·浙江模拟） 如图，已知AD//BC，BD⊥AC，AC=4，BD=8，则 sin∠DBC=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；求正弦值
【解析】【解答】解：过点D作DE//AC，交BC延长线于点E，
∵AD//BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE=4，
∵DB⊥AC，
∴BD⊥DE.
∴∠BDE=90°.
∴BE===4.
∴sin∠DBC=.
故答案为：.
【分析】先证明四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AC=DE=4，再证明∠BDE=90°，利用勾股定理求得BE，再求得sin∠DBC.
8．（2025·浙江模拟）如图，在Rt∠ABC中，∠ABC=90°，tan∠ACB=，BC=8，D 是斜边AC上的动点，以线段 BD为一边并在其右侧作等边三角形BDE，连结CE，则CE的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴tan∠ACB=.
∵tan∠ACB=，BC=8，
∴=，解得AB=4.
∴AC=.
以BC为边在BC上方作等边△BCF，连接DF，AF，过点F作FG⊥BC于点G，
∵△BDE是等边三角形，
∴BD=BE，BC=BF=8， ∠DBE=∠FBC=60°，
∴∠DBE-∠FBE=∠FBC-∠FBE，
∴∠DBF=∠EBC，
∴△DBF≌△EBC(SAS)，
∴CE=DF，
当DF⊥AC时，DF的值最小，CE的值就最小，
∵BG=BC=4，“
∴FG==4，
∴FG=AB，
∵FG//AB，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABGF是矩形，
∴AF//BC，AF =BG=4，
∴∠FAC=∠ACB，
∵∠ADF=∠ABC=90°，
∴△ADF∽△CBA，
∴DF：AB=AF：AC，
∴DF：4=4：4，解得DF=.
∴CE的最小值为.
故答案为：.
【分析】先利用正切求出AB，再利用勾股定理求出AC，以BC为边在BC上方作等边△BCF，连接DF，AF，过点F作FG⊥BC于点G，利用SAS证明△DBF≌△EBC，根据全等三角形的性质可得CE=DF，当DF⊥AC时，DF的值最小，CE的值就最小，利用勾股定理求得FG，再证明四边形ABGF是矩形，根据矩形的性质，可证明△ADF∽△CBA，列出关于DF的比例式，求出DF，即为CE的最小值.
三、解答题
9．（2025·浙江模拟）如图是某种固定式遮阳棚的实物图，某校数学兴趣小组对其进行实际测量，绘制了其横截面示意图，并得到以下数据：遮阳篷AB长为3米，与水平面的夹角为20°，且靠墙端离地高BC为3.5米。
（1）求遮阳棚外端A点离地面的高度；
（2）若在某天的日照时间内，此处太阳光线与地面的夹角范围为45°至70°之间（包含45°和70°），求日照时间内阴影CE的最小值与最大值。（结果精确到0.1，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】（1）解：过A作AF⊥BC于点F
∵，AB=3米
∴米
∴CF=BC-BF=3.5-1.02≈2.5米
∴遮阳棚外端A点离地面的高度为2.5米。
（2）解：过A作AG⊥CD于点G
∵
∴米
∵AG=CF=2.5米
∴当∠AEG=45°时，EG=AG=2.5米
此时CE=2.82-2.5≈0.3米
当∠AEG=70°时，米
此时CE=2.82-0.9≈1.9米
∴阴影CE的最小值为0.3米，最大值为1.9米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）先根据正弦求得BF，再利用线段差求得CF即可；
（2）先利用余弦求得AF，再分“∠AEG=45°”、“∠AEG=70°”两种情形，分别求得CE，从中得两出CE的最小值与最大值.
10．（2025·钱塘模拟）在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶处观测，测得对面一幢楼房顶部处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）．
（1）求两幢楼房之间的水平距离（结果保留根号）．
（2）求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：）
【答案】（1）为米
（2）对面这幢楼房的高度约为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
11．（2025·浙江模拟）小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座AB的高为2 cm， ∠ABC=150°，支架长 BC为 18 cm，面板长 DE为24 cm，CD为6 cm（厚度忽略不计）.
（1）求支点C离桌面/的高度
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足30°<α<60°，当面板与桌面的夹角增大时，点E离桌面1的高度也随之增大，问当面板DE绕点C转动过程中，点E离桌面l最大高度与最小高度的差是多少 （计算结果保留根号）
【答案】（1）解：如图，过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA=∠BMC＝∠BMF=∠BAF=90°，
∴四边形ABMF是矩形，
∴∠ABM=90°，MF=AB=2，
∵∠ABC=150°，
∴∠MBC=∠ABC-∠ABM=60°，
∵BC=18，
∴CM=BCsin60°=9，
∴CF=CM+MF=2+9，
即支点C离桌面l的高度为2+9cm.

（2）解：如图，过点C作CN//l，过E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC=90，
∵DE=24，CD=2，
∴CE=DE-CD=18，
当∠ECH=30°时，
EH=CEsin30°=9；
当∠ECH=60°时，EH=CEsin60°=9；
∴当面板DE绕点C转动过程中，E离桌面1最大高度与最小 高度的差是 9-9cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】(1)先证明四边形ABMF是矩形，根据矩形的性质，可得∠ABM=90°，MF=AB=2，再利用角的和差求出∠MBC，然后利用正弦求出CM，再利用线段的和差求出CF即为支点C离桌面l的高度；
（2）分“∠ECH=30°”、“∠ECH=60°”两种情况，分别求出CH，再求出E离桌面1最大高度与最小 高度的差.
12．（2025·龙湾模拟）如图，在中，，要用尺规在直角边上找一点使．
作图方法：延长，以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连结交圆于点，连接交的点即为．
（1）求证：通过尺规作图，；
（2）若，求．
【答案】（1）证明：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，即
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；求正切值
【解析】【分析】（1）根据作图可得垂直平分，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CA=CD，进而根据等边对等角得出，根据直径所对的圆周角是直角得∠AED=90°，再由三角形的内角和定理及等角的余角相等得∠BAP=∠ACB；
（2）根据等角的同名三角函数值相等可得，从而结合正切函数的定义得出，然后代值计算可算出AB的长，最后根据正切函数的定义，即可求解．
（1）证明：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，即
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴，又，则，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
13．（2025·衢州模拟）如图1，在Rt中，是的外接圆，点是的中点，连结CD交AB于点.
（1）求的度数.
（2）如图2，过点作，连结OD，若.
①若，求.
②连结OF，求OF的长.
【答案】（1）解：∵AB是直径，
∴=180°，
∵点D是的中点，
∴=90°，
∴∠DCB=45°.
（2）①∵∠AOD=90°，tanD==，
∴设OE=a，
∴OD=2a，
∵AE=，OA=OD，
∴OE=OA-AE，
∴a=2a-，解得：a=.
∵AF⊥CD，
∴∠AFE=90°，
∵∠AEF=∠OED，
∴∠FAE=∠D，
∴tan∠FAE=，
∵tan∠FAE=，
∴，
∴EF=1，AF=2，
∵∠ACD=45°，
∴CF=AF=2，
∴CE=3，
∵DE2=OE2+OD2=25，
∴DE=5，
∴，
②当＜时，
过点O作OG⊥CD，
∴，
∴EG=DE-DG=1，
∵EF=1∴GF=2，
∴△OEG～△OED，
∴，
∴OG=2，
∵OF2=OG2+GF2，
∴OF=
当＞时
过点O作OG⊥CD，
∵∠BAF=∠D，
∴tanD=tan∠BAF，
∴设OE=b，OD=OA=2b，
∵AE=，
∴b=，
∴OE=，OD=OA=，
∴EF=1，AF=2，
∵∠OGB=∠AFE，∠OEG=∠AEF，
∴△OEG～△AEF，
∴，
∴OG=，
在Rt△ODG中，DG=，
在Rt△ODE中，DE=，
∴DF=，
∴GF=EF-（DE-DG）=
∴OF==.
综上所述，OF=或.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先求得的度数，再求得的度数，然后求得；
（2）①先利用正切，设OE=a，可用a表示出OD，再利用线段差，得到关于a的方程求解，求得a，再求得tan∠FAE=，求得，从而求得EF与AF，再利用等腰直角三角形的性质求得CE，然后利用勾股定理求得DE，再求出CE与DE的比；
②分“＜”、“＞”两种情形，通过证明三角形相似，列出比例式，并用勾股定理分别求得OF.
14．（2024·金华模拟）问题：如何将物品搬过直角过道
情景：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是.矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为.
操作：
步骤 动作 目标
1 靠边 将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
2 推移 矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点在边AD上
3 旋转 如图2，将矩形ABCD绕点旋转
4 推移 将矩形ABCD沿OT方向继续推移
探究：
（1）如图2，已知BC=1.6m，OD=0.6m.小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道.”你赞同小明的结论吗？请通过计算说明.
（2）如图3，物品转弯时被卡住（分别在墙面PQ与PR上)，若.求OD的长.
（3）求该过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值(精确到0.01米，).
【答案】（1）解：不赞同，理由如下：
连结OB，
由题知，，
则，
该物品不能顺利通过直角过道，
（2）解：如图，过点作PR的平行线，交过道两侧分别于点，由题可知，
，
，
，
，
（3）解：当时，物品能通过直角过道．
当，则，
同理，，
此时，，
所以物品的最大长度为米．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—边角关系
15．（2025九下·浙江模拟）如图1，是的直径，是圆上不同于的任意一点，延长到点，连结．过点作，交于点，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，若，求的值．
（3）若，求的值（用含的代数式表示）
【答案】（1）证明： AB是⊙O的直径， C是圆上不同于A， B的任意一点， ，交BD于点E， 如图， 设CE， AB交点为G，
（2）解：
即
（3）解：过点E作 于点H，
设 则
在直角三角形ACG中，由勾股定理得：
即
即

【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)如图，设CE，AB交点为G，根据直径所对圆周角为 得到 由 得到 利用同角的余角相等即可证明结论；
(2)根据平行线的性质可证 证明 推出 求出BC，再证明 推出 求出CD，根据正切的定义即可求解；
(3)过点E作 于点H，根据 ， 设 则 求出 证明 推出 即可得到求出 然后根据正切的定义解题即可.
16．（2025·浙江模拟）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．
（1）如图1，当，的长为时，求的长．
（2）如图2，当，时，求的值．
（3）如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆与三角形的综合
1 / 14月之解直角三角形—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025九下·宁波模拟）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图).如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九下·浙江模拟） 如图，在△ABC中，AB=AC，点G是重心，连结AG交BC于点D， BC=4， cos∠ACB=，F是边AC上一点，当FG⊥AD时，则CF的长为（　　）
A．1 B． C． D．
3．（2025·鄞州模拟）在中，，a，b，c分别为的对边，且有，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·龙湾模拟）如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
5．（2025·温州模拟）如图，BD是正方形ABCD的对角线，为边BC上的动点（不与端点重合），点在BC的延长线上，且，过点作于点，连结．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2025九下·宁波模拟）长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且、、、四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是　 　.
7．（2025·浙江模拟） 如图，已知AD//BC，BD⊥AC，AC=4，BD=8，则 sin∠DBC=　 　.
8．（2025·浙江模拟）如图，在Rt∠ABC中，∠ABC=90°，tan∠ACB=，BC=8，D 是斜边AC上的动点，以线段 BD为一边并在其右侧作等边三角形BDE，连结CE，则CE的最小值是　 　.
三、解答题
9．（2025·浙江模拟）如图是某种固定式遮阳棚的实物图，某校数学兴趣小组对其进行实际测量，绘制了其横截面示意图，并得到以下数据：遮阳篷AB长为3米，与水平面的夹角为20°，且靠墙端离地高BC为3.5米。
（1）求遮阳棚外端A点离地面的高度；
（2）若在某天的日照时间内，此处太阳光线与地面的夹角范围为45°至70°之间（包含45°和70°），求日照时间内阴影CE的最小值与最大值。（结果精确到0.1，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
10．（2025·钱塘模拟）在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶处观测，测得对面一幢楼房顶部处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）．
（1）求两幢楼房之间的水平距离（结果保留根号）．
（2）求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：）
11．（2025·浙江模拟）小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座AB的高为2 cm， ∠ABC=150°，支架长 BC为 18 cm，面板长 DE为24 cm，CD为6 cm（厚度忽略不计）.
（1）求支点C离桌面/的高度
（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足30°<α<60°，当面板与桌面的夹角增大时，点E离桌面1的高度也随之增大，问当面板DE绕点C转动过程中，点E离桌面l最大高度与最小高度的差是多少 （计算结果保留根号）
12．（2025·龙湾模拟）如图，在中，，要用尺规在直角边上找一点使．
作图方法：延长，以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连结交圆于点，连接交的点即为．
（1）求证：通过尺规作图，；
（2）若，求．
13．（2025·衢州模拟）如图1，在Rt中，是的外接圆，点是的中点，连结CD交AB于点.
（1）求的度数.
（2）如图2，过点作，连结OD，若.
①若，求.
②连结OF，求OF的长.
14．（2024·金华模拟）问题：如何将物品搬过直角过道
情景：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是.矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为.
操作：
步骤 动作 目标
1 靠边 将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
2 推移 矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点在边AD上
3 旋转 如图2，将矩形ABCD绕点旋转
4 推移 将矩形ABCD沿OT方向继续推移
探究：
（1）如图2，已知BC=1.6m，OD=0.6m.小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道.”你赞同小明的结论吗？请通过计算说明.
（2）如图3，物品转弯时被卡住（分别在墙面PQ与PR上)，若.求OD的长.
（3）求该过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值(精确到0.01米，).
15．（2025九下·浙江模拟）如图1，是的直径，是圆上不同于的任意一点，延长到点，连结．过点作，交于点，连结．
（1）求证：．
（2）如图2，若，求的值．
（3）若，求的值（用含的代数式表示）
16．（2025·浙江模拟）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．
（1）如图1，当，的长为时，求的长．
（2）如图2，当，时，求的值．
（3）如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较小的边的边长为x，
解得 (负值不合题意，舍去)，
故答案为：A.
【分析】由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，设直角三角形中较小的边的边长为x，然后列出方程 然后解方程即可求解.
2．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：∵ 在△ABC中，点G是重心，连结AG交BC于点D， BC=4，
∴AD为中线，CD=BC=2，AG：GD=2：1.
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴cos∠ACB=，
∵ cos∠ACB=，
∴=，
∴=，解得AC=5，
当FG⊥AD时， GF//CD，
∴AG：GD=AF：FC，
∴AF：FC=2：1，
∴CF=AC=.
故答案为：B.
【分析】先利用三角形重心的意义，说明AD为中线，并求出CD，得出AG：GD=2：1，再利用余弦，求得AC，然后说明GF//CD，列出比例式，说明AF：FC=2：1，就可求出FC.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
如图所示：
得到
故答案为：D.
【分析】首先根据题意画出图形，然后利用 得到 ，然后利用勾股定理求出 然后利用正弦的概念求解即可.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：如图所示，连接，设交于点，
∵四边形，是正方形，
∴AG⊥CF，AO=OF，∠DAB=∠CAG=45°，
又∵
∴
∴三点共线，
又∵
∴，
∵
∴
∴
故答案为：C．
【分析】连AD、AG，设AG与CF交于点O，由正方形对角线互相垂直平分、相等及每条对角线平分一组对角得AG⊥CF，AO=OF及∠DAB=∠CAG=45°，从而证明D、A、G三点共线，利用勾股定理分别算出AD、AO及OF的长，进而根据正切的定义，即可求解．
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接AG、CG。
四边形ABCD是正方形
为等腰直角三角形
故答案为：A.
【分析】由于正方形的每一个内角都是90度，其对角线平分一组对角，因此可连接AG、CG，则可证与全等，则有AG等于CG；由于FG垂直BD且等于45度，则可得是等腰直角三角形，则有FG等于BG，再利用已知BE等于CF，则可证与全等，则有EG等于CG，此时等量代换得AG等于EG；由于BE等于CF，则可得EF等于BC等于AB，可证明与全等，则利用全等的性质可把转化到的位置上，从而得到等于90度，即是等腰直角三角形，则由勾股定理或锐角三角函数知其直角边与斜边的比必然是定值.
6．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
设正方形边长为x，假设AC在矩形里与其它线段分别交于点T和点P，过T做平行于点C所在的矩形边，交矩形另外两边于点E和点F；过点P做平行于点B所在的矩形边，交矩形另外两边于点J和点H；EF和JH相交于点O， EF垂直于JH， 设EF与DT边成的角为θ，则PJ与PC边成的角也为θ，
在 中，
可得 ①
解得
两边平方相加得
所以正方形的边长
故答案为：.
【分析】如图，设正方形边长为x，设EF与DT边成的角为θ，则PJ与PC边成的角也为θ，利用三角函数值表示出EF和JH的值求出然后根据一个角的正弦与余弦的平方和为1求出x值即可.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；求正弦值
【解析】【解答】解：过点D作DE//AC，交BC延长线于点E，
∵AD//BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE=4，
∵DB⊥AC，
∴BD⊥DE.
∴∠BDE=90°.
∴BE===4.
∴sin∠DBC=.
故答案为：.
【分析】先证明四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AC=DE=4，再证明∠BDE=90°，利用勾股定理求得BE，再求得sin∠DBC.
8．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴tan∠ACB=.
∵tan∠ACB=，BC=8，
∴=，解得AB=4.
∴AC=.
以BC为边在BC上方作等边△BCF，连接DF，AF，过点F作FG⊥BC于点G，
∵△BDE是等边三角形，
∴BD=BE，BC=BF=8， ∠DBE=∠FBC=60°，
∴∠DBE-∠FBE=∠FBC-∠FBE，
∴∠DBF=∠EBC，
∴△DBF≌△EBC(SAS)，
∴CE=DF，
当DF⊥AC时，DF的值最小，CE的值就最小，
∵BG=BC=4，“
∴FG==4，
∴FG=AB，
∵FG//AB，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABGF是矩形，
∴AF//BC，AF =BG=4，
∴∠FAC=∠ACB，
∵∠ADF=∠ABC=90°，
∴△ADF∽△CBA，
∴DF：AB=AF：AC，
∴DF：4=4：4，解得DF=.
∴CE的最小值为.
故答案为：.
【分析】先利用正切求出AB，再利用勾股定理求出AC，以BC为边在BC上方作等边△BCF，连接DF，AF，过点F作FG⊥BC于点G，利用SAS证明△DBF≌△EBC，根据全等三角形的性质可得CE=DF，当DF⊥AC时，DF的值最小，CE的值就最小，利用勾股定理求得FG，再证明四边形ABGF是矩形，根据矩形的性质，可证明△ADF∽△CBA，列出关于DF的比例式，求出DF，即为CE的最小值.
9．【答案】（1）解：过A作AF⊥BC于点F
∵，AB=3米
∴米
∴CF=BC-BF=3.5-1.02≈2.5米
∴遮阳棚外端A点离地面的高度为2.5米。
（2）解：过A作AG⊥CD于点G
∵
∴米
∵AG=CF=2.5米
∴当∠AEG=45°时，EG=AG=2.5米
此时CE=2.82-2.5≈0.3米
当∠AEG=70°时，米
此时CE=2.82-0.9≈1.9米
∴阴影CE的最小值为0.3米，最大值为1.9米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）先根据正弦求得BF，再利用线段差求得CF即可；
（2）先利用余弦求得AF，再分“∠AEG=45°”、“∠AEG=70°”两种情形，分别求得CE，从中得两出CE的最小值与最大值.
10．【答案】（1）为米
（2）对面这幢楼房的高度约为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
11．【答案】（1）解：如图，过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA=∠BMC＝∠BMF=∠BAF=90°，
∴四边形ABMF是矩形，
∴∠ABM=90°，MF=AB=2，
∵∠ABC=150°，
∴∠MBC=∠ABC-∠ABM=60°，
∵BC=18，
∴CM=BCsin60°=9，
∴CF=CM+MF=2+9，
即支点C离桌面l的高度为2+9cm.

（2）解：如图，过点C作CN//l，过E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC=90，
∵DE=24，CD=2，
∴CE=DE-CD=18，
当∠ECH=30°时，
EH=CEsin30°=9；
当∠ECH=60°时，EH=CEsin60°=9；
∴当面板DE绕点C转动过程中，E离桌面1最大高度与最小 高度的差是 9-9cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】(1)先证明四边形ABMF是矩形，根据矩形的性质，可得∠ABM=90°，MF=AB=2，再利用角的和差求出∠MBC，然后利用正弦求出CM，再利用线段的和差求出CF即为支点C离桌面l的高度；
（2）分“∠ECH=30°”、“∠ECH=60°”两种情况，分别求出CH，再求出E离桌面1最大高度与最小 高度的差.
12．【答案】（1）证明：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，即
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；求正切值
【解析】【分析】（1）根据作图可得垂直平分，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CA=CD，进而根据等边对等角得出，根据直径所对的圆周角是直角得∠AED=90°，再由三角形的内角和定理及等角的余角相等得∠BAP=∠ACB；
（2）根据等角的同名三角函数值相等可得，从而结合正切函数的定义得出，然后代值计算可算出AB的长，最后根据正切函数的定义，即可求解．
（1）证明：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，即
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴，又，则，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
13．【答案】（1）解：∵AB是直径，
∴=180°，
∵点D是的中点，
∴=90°，
∴∠DCB=45°.
（2）①∵∠AOD=90°，tanD==，
∴设OE=a，
∴OD=2a，
∵AE=，OA=OD，
∴OE=OA-AE，
∴a=2a-，解得：a=.
∵AF⊥CD，
∴∠AFE=90°，
∵∠AEF=∠OED，
∴∠FAE=∠D，
∴tan∠FAE=，
∵tan∠FAE=，
∴，
∴EF=1，AF=2，
∵∠ACD=45°，
∴CF=AF=2，
∴CE=3，
∵DE2=OE2+OD2=25，
∴DE=5，
∴，
②当＜时，
过点O作OG⊥CD，
∴，
∴EG=DE-DG=1，
∵EF=1∴GF=2，
∴△OEG～△OED，
∴，
∴OG=2，
∵OF2=OG2+GF2，
∴OF=
当＞时
过点O作OG⊥CD，
∵∠BAF=∠D，
∴tanD=tan∠BAF，
∴设OE=b，OD=OA=2b，
∵AE=，
∴b=，
∴OE=，OD=OA=，
∴EF=1，AF=2，
∵∠OGB=∠AFE，∠OEG=∠AEF，
∴△OEG～△AEF，
∴，
∴OG=，
在Rt△ODG中，DG=，
在Rt△ODE中，DE=，
∴DF=，
∴GF=EF-（DE-DG）=
∴OF==.
综上所述，OF=或.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先求得的度数，再求得的度数，然后求得；
（2）①先利用正切，设OE=a，可用a表示出OD，再利用线段差，得到关于a的方程求解，求得a，再求得tan∠FAE=，求得，从而求得EF与AF，再利用等腰直角三角形的性质求得CE，然后利用勾股定理求得DE，再求出CE与DE的比；
②分“＜”、“＞”两种情形，通过证明三角形相似，列出比例式，并用勾股定理分别求得OF.
14．【答案】（1）解：不赞同，理由如下：
连结OB，
由题知，，
则，
该物品不能顺利通过直角过道，
（2）解：如图，过点作PR的平行线，交过道两侧分别于点，由题可知，
，
，
，
，
（3）解：当时，物品能通过直角过道．
当，则，
同理，，
此时，，
所以物品的最大长度为米．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形—边角关系
15．【答案】（1）证明： AB是⊙O的直径， C是圆上不同于A， B的任意一点， ，交BD于点E， 如图， 设CE， AB交点为G，
（2）解：
即
（3）解：过点E作 于点H，
设 则
在直角三角形ACG中，由勾股定理得：
即
即

【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)如图，设CE，AB交点为G，根据直径所对圆周角为 得到 由 得到 利用同角的余角相等即可证明结论；
(2)根据平行线的性质可证 证明 推出 求出BC，再证明 推出 求出CD，根据正切的定义即可求解；
(3)过点E作 于点H，根据 ， 设 则 求出 证明 推出 即可得到求出 然后根据正切的定义解题即可.
16．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆与三角形的综合
1 / 1

展开更多......

收起↑