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2025 年湖南省株洲市九方中学高考数学调研试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1+3 . 2+ 3 =( )
A. 2 B. 1 + 2 C. 1 D. 2
2
2 2 2
.已知双曲线 2
2 = 1 与双曲线 4

2 = 1( > 0)的离心率相同，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 8
3.已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 1，若 在 上的投影向量为 3 ，则 , =( )
A. 5 6 B.
3 2 7
4 C. 3 D. 12
4.在二项式( + 14 ) 的展开式中，二项式的系数和为 256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项2
都互不相邻的概率为( )
A. 16 B.
1 5 1
4 C. 12 D. 3
5.对数螺线在自然界中广泛存在，比如鹦鹉螺的外壳就是精度很高的对数螺线，向日葵种子的排列方式、

松子在松果上的排列方式都和对数螺线高度吻合.已知某种对数螺线的解析式可以用 = 2 表示，其中
> 0， ∈ [0, + ∞)，则( )
A. 0.05 > 5 > 1.5 B. 0.05 > sin 1.5 > 24 sin
5
24
C. >
sin5 1.5
> 0.05 D. 1.5 > > 0.05
24 sin
5
24
6.已知圆台 1 2的上、下底面面积分别为 4 ，36 ，其外接球球心 满足 1 = 3 2，则圆台 1 2的外接
球体积与圆台 1 2的体积之比为( )
A. 20 513 B.
10 10
13 C.
10 5 10
13 D. 13
7 4 1 1 1.已知 0 < < < 2，cos( ) = 5， = 2，则tan tan =( )
A. 110 B.
3
10 C. 1 D. 2
8

.已知函数 = ( )的表达式为 ( ) = ，若函数 ( ) = [ ( )]2| | + 2 ( )
2 恰有 4 个不同的零点，
则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2 ) B. ( ∞, ) C. ( ∞, 2 1 ) D. ( ∞, )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知函数 ( ) = 2 (3 4 )，则( )
A. ( ) 2 的最小正周期为 3
B.将 ( ) 7 的图象向左移动12个单位长度后关于原点对称
C. ( )在( , 3 2 )上恰有一个极值点
D.函数 ( ) = ( ) + 有 5 个零点
10.已知数列{ }是等比数列，前 项积为 ，则( )
A. 5 11 = 28 B. 17 = 178
C.若 = 9 10 11，则 8 = 7 D. { 2 }是等比数列
11 1.记函数 ( ) = 的零点为 0，则( )
A. 0 0 = 0
B. ∈ ( 10 2 , 1)
C.当 > 2 时， ( ) > + 1
1

D. = ( ) = + 0为函数 +1 的极小值点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 2 = cos2( 4 )，则 = ______．
13.已知( + )2 = 2 + 2 + 2其等号右侧展开式共有 3 类非同类项，( + + )2 = 2 + 2 + 2 +
2 + 2 + 2 ，其等号右侧展开式共有 6 类非同类项，则( 1 + 22 + + 6) 的展开式共有______类非
同类项．
14.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，第一象限与第四象限内的点 ， 在 上，且 ⊥ ，则△
的面积为 25 时，| | + | | = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，
1
负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为2．
(1)求甲连续打四局比赛的概率；
(2)求在前四局中甲轮空两局的概率；
(3)求第四局甲轮空的概率．
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16.(本小题 15 分)
已知锐角 的三个内角 ， ， 所对的边为 ， ， ，( + )( ) = ( 2 )．
(1)求角 的大小；
2 2
(2) + 求 2 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
2024 年 5 月某数据挖掘与分析机构发布《2024 年中国国货消费品牌 500 强》，统计榜单前 20 名品牌所
在行业，得到如下频数表．
行业 汽车出行 3 数码 家用电器 食品饮料 生鲜水果 珠宝文玩
频数 7 4 4 3 1 1
(1)从表中家用电器、生鲜水果、珠宝文玩行业的 6 个品牌中随机抽 3 个，求抽取的 3 个品牌恰好来自 2 个
不同行业的概率；
(2)从来自汽车出行、3 数码及家用电器的 15 个品牌中抽取 4 个品牌，且来自 3 数码及家用电器的品牌抽
取的数目相同，记该数目为 ，求 的分布列与期望．
18.(本小题 17 分)

2 2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 2 ， 上一动点 到右焦点 的距离的最小值为 6 3．
(1)求 的方程；
(2)若直线 的斜率为 1，且 与 交于 ， 两点，求| |；
(3)若原点 到直线 的距离为 1，且直线 与 交于 ， 两点，且 + = ，求四边形 的面积．
19.(本小题 17 分)
给定平面上一些点的集合 及若干个点 1， 2， ， ，
2
∈ ( = 1,2, , )，若对于 ∈ ， | =1 |
为定值，我们就称( , 1, 2, , )为一个稳定点集．
(1)判断集合 = {( , )| ≥ 0， ≥ 0， + ≤ 2}与点 1(0,0)， 2(2,0)， 3(0,2)构成的( , 1, 2, 3)是不
是稳定点集，并说明理由；
(2)判断集合 = {( , )| 2 + 2 = 2}，以及点 (1,1)， (1, 1)， ( 1,1)， ( 1, 1)构成的( , , , , )
是不是稳定点集，并说明理由；
(3)若集合 = {( , )| 2 + 2 = 1}及单位圆 ： 2 + 2 = 1 中的内接 2024 边形的顶点 1， 2， ， 2024
构成的( , , , …, 20241 2 2024)是一个稳定点集，求| =1 |的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1 1或3
13.21
14.15
15. 1 1解：(1)若甲连续打四轮，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛得概率为( 32 ) = 8；
(2)在前四局中甲轮空两局的情况为：第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，
1 1 1
故在前四局中甲轮空两局的概率为(1 2 ) × (1 2 ) = 4；
(3)甲第四轮轮空有两种情况：
1 1 1
第一种，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，概率为(1 2 ) × (1 2 ) = 4，
1 1 1 1
第二种，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，概率为2 × 2 × (1 2 ) = 8，
1 1 3
则第四局甲轮空的概率为4+ 8 = 8．
16.解：(1)由( + )( ) = ( 2 )，
可得cos2 cos2 = sin2 2 ，即sin2 sin2 = sin2 2 ，
由正弦定理可得 2 2 = 2 2 ，即 2 + 2 2 = 2 ，
2 2 2
所以 = + 2 2 = 2 ，因为 ∈ (0, )，所以 = 4；
2 2 2 2
(2) + sin +sin 应用正弦定理可得，设 = 2 = sin2 ，
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因为 = 3 4， = 4 ，
所以 = 2[sin2 + sin2( 3 4 )] = 1 2 + 1 2(
3
4 )
= 2 + 2 2 = 2 + 2sin(2 4 )，
3
因为 ∈ (0, 4 )，所以 2
5
4 ∈ ( 4 , 4 )，
所以 sin(2 4 ) ∈ (
2
2 , 1],
2 2
所以 2 + 2sin(2 4 ) ∈ (1,2 + 2]
+
，即 2 的取值范围为(1,2 + 2]．
17.解：(1)从这 6 个品牌中随机抽 3 个，共有 36 = 20 种情况，
抽取的 3 个品牌恰好来自 2 个不同行业，抽取结果数为 2 14 2 = 12，
12 3
所以所求概率为 = 20 = 5；
(2)由题意可知， 的所有可能取值为 0，1，2，
从 15 个品牌中抽取 4 个品牌，且来自 3 数码及家用电器的品牌抽取的数目相同的总数为：
47 + 2 17 4 14 + 2 24 4 = 407，
4 35
则 ( = 0) = 7407 = 407，
( = 1) =
2 1 1
7 4 4 336
407 = 407，
2 2
( = 2) = 4 4407 =
36
407，
所以 的分布列为：
0 1 2
35 336 36
407 407 407
= 0 × 35所以 407 + 1 ×
336
407 + 2 ×
36 336 72 408
407 407 + 407 = 407．
18.解：(1)设椭圆 的半焦距为 ，则由椭圆性质可知，
椭圆上一动点 到右焦点 的距离的最小值为 ，
2
则 = 6 3 =，又椭圆 的离心率为 2，所以 2 ，2 = 6 3
= 6
解得 ，则 2 = 2 2 = 6 3 = 3，
= 3
2 2
故 C 的方程为 + = 1．6 3
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(2)由(1)知 ( 3, 0)，因为直线 的斜率为 1，则直线 ： = 3，
2 + 2 2 6 = 0
联立 ，消去 得 3 2 4 3 = 0，解得 = 0 或
= 3 =
4 3，
3
设 ， 的横坐标分别为 ， ，不妨设 = 0， =
4 3
，3
故| | = 1 + 2 | 4 3 4 6 | = 2 × ．3 = 3
(3)当直线 的斜率存在时，设直线 ： = + ，
| |
由原点 到直线 的距离为 1 得 = 12 ，化简得
2 = 2 + 1．
+1
= + ,
联立 2 2 2 2 + 2 2 = 6得(2 + 1) + 4 + 2 6 = 0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 ( 1 + 2, 1 + 2)，
4 2
由韦达定理得 1 + 2 = 2 2+1 , 1 =
2 6
2 ，2 2+1
4 2 2
所以 1 + 2 = ( 1 + 2) + 2 = ，2 2+1 + 2 = 2 2+1
( 4 , 2 所以 2 2+1 2 2+1 )，又点 在椭圆 上，
4
所以( )2 2 22 2+1 + 2( 2 2+1 ) = 6，即 4
2(2 2 + 1) = 3(2 2 + 1)2，
解得 =± 2， 2 = 2 + 1 =
3
2．2
此时弦长| | = 2 + 1 ( 1 + 2)2 4
6 2 2 2 6 2 3 6
1 2 = 2 4 4( 3) = 2 12 2 = ，2
因为 到直线 的距离 = 1，所以平行四边形 的面积 = 3 6．2
当直线 的斜率不存在时，不妨设直线 ： = 1，则 (1, 102 ), (1,
10 )，2
所以 (2,0)不在椭圆 上，不合题意．
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综上所述，四边形 的面积为3 6．
2
19.解：(1)根据定义：若对于 ∈ ， 2 =1 | | 为定值，
我们就称( , 1, 2, , )为一个稳定点集．
不是稳定点集，理由如下：
取 2 21(0,0)，则| 1 1| + | 1 2| + | 1 3|2 = 8；
取 ( 2,0)， (2,0)，则| |2 + | |21 2 2 1 2 2 + | 2 23| = 12 ≠ 8，
故( , 1, 2, 3)不是稳定点集．
(2)是稳定点集，
设 ∈ ， ( 0, 0)，则 20 + 20 = 2，
则| |2 + | |2 + | |2 + | |2 = ( 1)20 + ( 0 1)2 + ( 0 1)2 + ( 0 + 1)2 + ( 2 20 + 1) + ( 0 1) +
( + 1)2 + ( + 1)20 0
= 8 + 4( 2 + 20 0) = 16，为定值，
所以( , , , , )是稳定点集．
(3)由题：集合 = {( , )| 2 + 2 = 1}及单位圆 ： 2 + 2 = 1，
中的内接 2024 边形的顶点 1， 2， ， 2024构成的( , 1, 2, …, 2024)是一个稳定点集，
设 是单位圆上任意一点，故2024 =1 | |
2为定值，
所以2024 | |2 = 2024 ( + 2 ) = 2024| |2 + 2 2024 + 2024 2 =1 =1 =1 =1 | | ，
因为| | = | | = 1，故2024 =1 | |
2 = 4048 + 2 2024 =1 ，
因为2024 | |2为定值，故
2024 =1 =1 为定值，
因为 是单位圆上任意一点，故2024 = 0，故| =1 =1 2024 | = 0．
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