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2024 - 2025 学年度第二学期期中质量检测八年级数学（2025.4）
本试题分试卷和答题卡两部分。第 I 卷满分为 40 分；第 II 卷满分为 110 分。本试题共 8 页，满分为 150 分。考试时间为 120 分钟。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将试卷、答题卡一并交回。本考试不允许使用计算器。
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
注意事项：
第 I 卷为选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答案写在试卷上无效。
一、选择题（本大题共 10 个小题。每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列四幅作品分别代表 “立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
2.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. 8a2b2=2ab·4ab B. x2+4x+1=x(x+4)+1 C. x2 4xy=x(x 4y) D. (a 2)(a+2)=a2 4
3.使分式有意义的实数a的取值范围是（ ）
A. a≠3 B. a≠ 3 C. a≠5 D. a≥3
4.如图，在□ABCD中，∠A+∠C=80 ，则∠B为（ ）
A. 140 B. 40 C. 80 D. 120
5.将分式中的x、y的值同时扩大为原来的 2 倍，则分式的值（ ）
A. 缩小为原来的一半 B. 扩大为原来的 2 倍 C. 无法确定 D. 保持不变
6.风能是一种清洁无公害的可再生能源。图 1 是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成。图 2 为风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片OAB
绕点O顺时针旋转60 后到达OA′B′处，则下列选项错误的是（ ）
A. AB=A′B′ B. OA=OA′ C. ∠BOB′=60 D. AB⊥A′B′
7.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，大于CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，BC=6，则EF的长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 3 D. 10
8.济南轨道交通 3 号线二期工程于 2024 年 11 月 22 日开通运营，是济南市首条接入机场实现 “空轨换乘” 的地铁线路。小济和小南分别从A地和B地出发赶往机场乘坐飞机，出行方式、路径及路程如下表所示：
由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的 1.5 倍，于是小济比小南少用了半小时到达机场。若设公交的平均速度为x千米 / 时，根据题意可列方程（ ）
A.+ = B. + = C. = D. ﹣ =
9.已知实数m满足m2 m=1，则m3 m2 m+8的值是（ ）
A. 7 B. 10 C. 8 D. 9
10.如图，边长为 8 的等边三角形ABC中，点E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60 得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
所有答案必须用 0.5 毫米的黑色签字笔 (不得使用铅笔和圆珠笔) 写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。不按以上要求作答，答案无效。
二、填空题（本大题共 6 个小题。每小题 4 分，共 24 分。把答案填在答题卡的横线上。）
11. 因式分解：3mn+m= 。
12. 关于x的方程+=3的根为x=2，则a= 。
13. 已知二次三项式x2+kx+9能用完全平方公式分解因式，则k的值为______。
14. 如图，将周长为10cm的△ABC沿射线BC方向平移3cm后得到△DEF，则四边形ABFD的周长为______cm。
15.如图，在□ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点
D运动，点Q在边BC上以每秒3cm的速度从点C向点B运动。两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动 (同时点P也停止运动)。当运动时间为______秒时，线段PQ∥AB。
16.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上。再将△AB1C1绕点B1按顺时针方向旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上。将△A1B1C2绕点C2按顺时针方向旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…… 若点A的坐标为(,0)，点B的坐标为(0,4)，则B2025的坐标为______。
三、解答题 (本大题共 10 个小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17. (本小题满分 6 分)分解因式：2a2 8a+8。
18.(本小题满分 6 分)解方程：+1=
19.(本小题满分 6 分)已知：在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，连接AE、CF，∠BAE=∠DCF。求证：AE=CF。
20.(本小题满分 8 分)先化简，再求值：(+）÷，其中a=3。
21、(本小题满分 8 分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上。
(1) 将△ABC向右平移 6 个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2) 画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3) 若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为______。
22.(本小题满分 8 分)
阅读下面的解题过程：
例：已知=，求代数式x2+的值。
第一步 因为=，所以==，即x+=2；
第二步 因为(x+)2=x2+2·x·+=x2++2；
所以x2+ =(x+)2 2=22 2=2。
该题的解法叫作 “倒数法”，请你利用 “倒数法” 解决下面的问题。
已知=
(1) 求x﹣的值；
(2) 求x2+的值。
23.(本小题满分 10 分)为庆祝我国申报的 “春节 —— 中国人庆祝传统新年的社会实践” 在北京时间 2024 年 12 月 4 日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第 19 届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花。
某喜庆店第一次用 800 元购进这款窗花，很快售完，又花 1200 元第二次购进这款窗花。已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜 1 元，且第二次购进的数量是第一次的 2 倍。
(1) 求该店两次购进这款窗花各多少个？
(2) 第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于 3400 元，则每个窗花的售价至少为多少元？
24.(本小题满分 10 分)在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为 “智慧数”，例如：12=42 22，20=62 42，28=82 62，我们称 12，20，28 这三个数为 “智慧数”。
(1) 36______“智慧数”（填 “是” 或 “不是”）。
(2) 设两个连续偶数是2n和2n+2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的 “智慧数” 是 4 的倍数吗？请解释说明。
(3) 在数学学习中，数形结合思想是常用的数学思想。如图，拼叠的正方形边长是从 2 开始的连续偶数…… 按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为 20，请结合 (2) 中的结论，求阴影部分的面积。
25.(本小题满分 12 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，点A、C的坐标分别为(4,0)、( 2,3)。将□OABC先向右平移 4 个单位后，再向下平移 1 个单位，得到□NPQM。
(1) 请直接写出点M的坐标______，点N的坐标______。
(2) 请判断□NPQM与□OABC重叠部分的形状，并证明你的结论。
(3) 点G是平面内一动点，是否存在点G，使得以O、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点G的坐标；若不存在，请说明理由。
26.(本小题满分 12 分)在Rt△ABC中，∠BAC=90 ，AB=AC。
【问题发现】
(1) 如图 1，点D是BC边上一动点（点D不与点B、C重合），连接AD，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90 得到线段AE，连接DE、BE。则线段CD与BE的数量关系：，位置关系：。
【探究证明】
(2) 如图 2，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90 得到线段AE，连接DE、BE。请判断线段CD与BE的数量关系与位置关系，并说明理由。
【拓展延伸】
(3) 如图 3，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，当AD=4，且∠BDC=90 时，请求出四边形ABDC的面积。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题。每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列四幅作品分别代表 “立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ D ）
2.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ C ）
A. 8a2b2=2ab·4ab B. x2+4x+1=x(x+4)+1 C. x2 4xy=x(x 4y) D. (a 2)(a+2)=a2 4
3.使分式有意义的实数a的取值范围是（ B ）
A. a≠3 B. a≠ 3 C. a≠5 D. a≥3
4.如图，在□ABCD中，∠A+∠C=80 ，则∠B为（ A ）
A. 140 B. 40 C. 80 D. 120
5.将分式中的x、y的值同时扩大为原来的 2 倍，则分式的值（ D ）
A. 缩小为原来的一半 B. 扩大为原来的 2 倍 C. 无法确定 D. 保持不变
6.风能是一种清洁无公害的可再生能源。图 1 是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成。图 2 为风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片OAB
绕点O顺时针旋转60 后到达OA′B′处，则下列选项错误的是（ D ）
A. AB=A′B′ B. OA=OA′ C. ∠BOB′=60 D. AB⊥A′B′
7.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，大于CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，BC=6，则EF的长为（ A ）
A. 6 B. 8 C. 3 D. 10
8.济南轨道交通 3 号线二期工程于 2024 年 11 月 22 日开通运营，是济南市首条接入机场实现 “空轨换乘” 的地铁线路。小济和小南分别从A地和B地出发赶往机场乘坐飞机，出行方式、路径及路程如下表所示：
由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的 1.5 倍，于是小济比小南少用了半小时到达机场。若设公交的平均速度为x千米 / 时，根据题意可列方程（ B ）
A.+ = B. + = C. = D. ﹣ =
9.已知实数m满足m2 m=1，则m3 m2 m+8的值是（ C ）
A. 7 B. 10 C. 8 D. 9
10.如图，边长为 8 的等边三角形ABC中，点E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60 得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（ C ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
注意事项：
所有答案必须用 0.5 毫米的黑色签字笔 (不得使用铅笔和圆珠笔) 写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。不按以上要求作答，答案无效。
二、填空题（本大题共 6 个小题。每小题 4 分，共 24 分。把答案填在答题卡的横线上。）
11. 因式分解：3mn+m= m（3n+1） 。
12. 关于x的方程+=3的根为x=2，则a= 1 。
13. 已知二次三项式x2+kx+9能用完全平方公式分解因式，则k的值为___±6___。
14. 如图，将周长为10cm的△ABC沿射线BC方向平移3cm后得到△DEF，则四边形ABFD的周长为___16___cm。
15.如图，在□ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点
D运动，点Q在边BC上以每秒3cm的速度从点C向点B运动。两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动 (同时点P也停止运动)。当运动时间为___3___秒时，线段PQ∥AB。
16.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上。再将△AB1C1绕点B1按顺时针方向旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上。将△A1B1C2绕点C2按顺时针方向旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…… 若点A的坐标为(,0)，点B的坐标为(0,4)，则B2025的坐标为__（，0）____。
三、解答题 (本大题共 10 个小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17. (本小题满分 6 分)分解因式：2a2 8a+8。
=2（a2﹣4a+4）
=2（a﹣2）2
18.(本小题满分 6 分)解方程：+1=
方程两边同乘x 1得：1+x 1= 3
解得x= 3
检验：当x= 3时，x 1= 4≠0
所以x= 3是原方程的解。
19.(本小题满分 6 分)已知：在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，连接AE、CF，∠BAE=∠DCF。求证：AE=CF。
在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD
∴∠ABE=∠CDF
∴△ABE≌△CDF(ASA)
∴AE=CF
20.(本小题满分 8 分)先化简，再求值：(+）÷，其中a=3。
解：=（）×
=
将a=3代入得
21、(本小题满分 8 分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上。
(1) 将△ABC向右平移 6 个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2) 画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3) 若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为______。
（1）略
（2）略
（3）（3，0）
22.(本小题满分 8 分)
阅读下面的解题过程：
例：已知=，求代数式x2+的值。
第一步 因为=，所以==，即x+=2；
第二步 因为(x+)2=x2+2·x·+=x2++2；
所以x2+ =(x+)2 2=22 2=2。
该题的解法叫作 “倒数法”，请你利用 “倒数法” 解决下面的问题。
已知=
(1) 求x﹣的值；
(2) 求x2+的值。
（1）∵=
∴=2
∴x﹣=3
（2）x2+=（x﹣）2+2=9+2=11
23.(本小题满分 10 分)为庆祝我国申报的 “春节 —— 中国人庆祝传统新年的社会实践” 在北京时间 2024 年 12 月 4 日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第 19 届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花。
某喜庆店第一次用 800 元购进这款窗花，很快售完，又花 1200 元第二次购进这款窗花。已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜 1 元，且第二次购进的数量是第一次的 2 倍。
(1) 求该店两次购进这款窗花各多少个？
(2) 第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次进的窗花销售完后的总利润不低于 3400 元，则每个窗花的售价至少为多少元？
设第一次购进单价为x元，则
×2=
解得x=4
经检验x=4是原方程的根
第一次购进：800÷4=200个
第二次购进：200×2=400（个）
（2）设售价为y元
200(y 4)+400(y 3)≥3400
200y 800+400y 1200≥3400
600y≥5400
y≥9
答：每个窗花售价至少为9元。
24.(本小题满分 10 分)在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为 “智慧数”，例如：12=42 22，20=62 42，28=82 62，我们称 12，20，28 这三个数为 “智慧数”。
(1) 36______“智慧数”（填 “是” 或 “不是”）。
(2) 设两个连续偶数是2n和2n+2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的 “智慧数” 是 4 的倍数吗？请解释说明。
(3) 在数学学习中，数形结合思想是常用的数学思想。如图，拼叠的正方形边长是从 2 开始的连续偶数…… 按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为 20，请结合 (2) 中的结论，求阴影部分的面积。
（1）是，36=102 82
（2）(2n+2)2 (2n)2=(2n+2+2n)(2n+2 2n)=4(2n+1)，是4的倍数。
（3）阴影部分面积=2002﹣1982+1962﹣1942+...+42﹣22
=2×
=20200
25.(本小题满分 12 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，点A、C的坐标分别为(4,0)、( 2,3)。将□OABC先向右平移 4 个单位后，再向下平移 1 个单位，得到□NPQM。
(1) 请直接写出点M的坐标______，点N的坐标______。
(2) 请判断□NPQM与□OABC重叠部分的形状，并证明你的结论。
(3) 点G是平面内一动点，是否存在点G，使得以O、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点G的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）M(2,2)，N(0, 1)
（2）重叠部分是平行四边形。
（3）存在。当OM、OC为边时，G1( 4,4)；
当OM、MC为边时，G2(0,2)；
当OC、MC为边时，G3(4,0)。
26.(本小题满分 12 分)在Rt△ABC中，∠BAC=90 ，AB=AC。
【问题发现】
(1) 如图 1，点D是BC边上一动点（点D不与点B、C重合），连接AD，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90 得到线段AE，连接DE、BE。则线段CD与BE的数量关系：，位置关系：。
【探究证明】
(2) 如图 2，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90 得到线段AE，连接DE、BE。请判断线段CD与BE的数量关系与位置关系，并说明理由。
【拓展延伸】
(3) 如图 3，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，当AD=4，且∠BDC=90 时，请求出四边形ABDC的面积。
（1）CD=BE，CD⊥BE。
（2）CD=BE，CD⊥BE。
证明：
∵∠BAC=∠DAE=90
∴∠CAD=∠BAE，又AC=AB，AD=AE
∴△ACD≌△ABE(SAS)
∴CD=BE，∠ACD=∠ABE
∵∠ACD+∠ABC=90
∴∠ABE+∠ABC=90
，即CD⊥BE。
（3）作AE⊥AD交BD延长线于E，同（2）证△ACD≌△ABE，
四边形ABDC面积=△ADE面积= ×4×4=8

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