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巴楚县2024-2025学年第二学期期中测试卷
高一年级+数学
考生须知：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．本卷由试题卷和答题卡两部分组成，其中试题卷共4页，答题卡共4页。要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效。
3．答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号。要求字体工整、笔迹清楚。
4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复平面内，复数表示的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数满足：，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知，，，则（ ）
A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线
5．如图，为 的边上的中线，且，那么为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
8．某地采用如图所示的直四棱柱形交通减速带，其底面为梯形，接触地面的表面宽40（单位；厘米），平行于地面的表面宽10，且距离地面高度为10．某路面要铺设总长为300的交通减速带，则该减速带的体积（不考虑表面凹槽）为（ ）
A．立方厘米 B．立方厘米
C．立方厘米 D．立方厘米
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
A．若，则 B．若．则
C．若，则 D．若，则
11．在锐角中， ，点 为 所在平面内一点，且满足 ，则下列说法正确的是 （ ）
A． 为三角形 的重心
B． 为三角形 的外心
C．若 ，则 的取值范围是
D．若 ，则 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.己知是虚数单位，复数，则的虚部为　　．
13.已知向量则　　．　
14．如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题每题15分，第18、19小题每题17分，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，求：
(1)；
(2).
16．已知复数（）．
(1)若的实部与的模相等，求的值；
(2)若复数+在复平面上的对应点在第四象限，求的取值范围．
17．如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥.

① ② ③
(1)求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积；
(2)在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积.
18．在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小．
(2)若，的面积为，求的周长．
(3)若为锐角三角形，求的取值范围．
19．如图，有一块空地，其中，，当地政府计划将这块空地改造成一个度假区，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上方便建造景观，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的周围安装防护网．设
(1)当时，求的值，并求此时防护网的总长度；
(2)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，求：面积的最小值.
巴楚县2024-2025学年第二学期期中测试卷答案
高一年级+数学
第I卷
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C A A C B B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
题号 9 10 11
答案 ABD BD BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 1
13． -4
14． ，
15．(1)
(2)
16．（1）因为的实部与的模相等，
所以，
化简为，
解得或4．
（2）复数在复平面上的对应点为在第四象限，
所以，
故的取值范围为．
17．（1）解：在正方体中，因为棱长为，可得，
所以截去的三棱锥的表面积为：
.
在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为，
又因为平面，即为三棱锥的高，
可得，
所以几何体的体积为.
解：由题，四棱锥的体积，
，由（1），
18．（1）∵，由正弦定理
又∵，∴，
∴，故.
（2）由（1）得，，
∵的面积为，∴，即，解得，
由余弦定理得，，
∴，故的周长为.
（3）由得，则，
∴
.
∵为锐角三角形，∴，故，
∴，故，
∴，即的取值范围是.
19．（1）∵，，，∴，.
在中，由余弦定理得：，∴，
由正弦定理得：，即，
∴，又为锐角，∴，
∴，∴是等边三角形，
∴的周长，即防护网的总长度为.
（2）设，则，，
在中，由正弦定理得，
即，∴，
在中，由正弦定理得，即，∴，
∴
，
当，即时，的面积最小，最小面积为.

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