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河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量、满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数上有两个零点，则m的取值范围是
A．（1,2） B．[1,2） C．（1,2] D．[l,2]
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，均为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中的假命题是（ ）
A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线
C．若则 D．的充要条件是且∥
10．已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ）
A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线
C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为
11．如图，函数的部分图象，则（ ）

A．
B．将图象向右平移后得到函数的图象
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
三、填空题
12．在中，若，是的方程的两个实根，则 .
13．已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是： ．
14．已知的三边为4，6，8，其外心为O，则的值为
四、解答题
15．已知
(1)求的值；
(2)求的值．
16．已知函数
(1)化简，并用“五点法”作出函数在区间内的图象简图．

(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值．
17．如图，点分别是矩形的边上的两点，，．
(1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求；
(2)若，求的范围；
18．如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点．
(1)若，求实数x，y的值；
(2)若，求实数的值；
(3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值．
19．如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记
(1)当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.
(2)若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.
河北省唐县第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B C A B D BCD BD
题号 11
答案 ACD
1．A
【详解】法一：由题意得，
所以，则；
法二：因为是两个相互垂直的单位向量，且向量，
所以不妨设，则，
故，则，
故选：A．
2．D
【详解】由题意可得：，
经过题中的一系列变换得到，
令，，解得：，，
对各项验证可得：当时，.
故选：D.
3．C
【详解】设向量、的夹角为，因为，可得，
所以，在上的投影向量为.
故选：C.
4．B
【详解】试题分析：利用辅助角公式化简函数为,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,
.
5．C
【详解】已知，且，
则，所以，
则.
故选：C.
6．A
【详解】是锐角，，，
，，且，
，，
.
故选：A
7．B
【详解】设，．
同理，
所以联立得，
所以．
故选：B
8．D
【详解】因为与在定义域上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
对于函数，由，
解得，
所以函数在上单调递增，
当时，在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
令，，
则，所以为奇函数，
原式等价于，进而得在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，则在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以，故实数的取值范围是.
故选：D
9．BCD
【详解】对于A，若为非零向量，表示方向相同的单位向量，所以与同向，故A正确；
对于B，若，则与不一定共线，故B错误；
对于C，若，则不一定共线；故C错误；
对于D ，当两向量互为相反向量时也满足且∥，但，故D错误；
故选：BCD
10．BD
【详解】由题意知，.
对于选项A，若向量，则，即，
显然此式能成立，故A错；
对于选项B，若向量，则有，即，
即，显然此式不成立，故 B正确；
对于选项C，，
则当时，，故C错；
对于选项D，若，则，，
则在上的投影向量为，故D 正确.
故选：BD
11．ACD
【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，
由，得，而，则，
所以，A正确；
对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误；
对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此在区间上单调递增，C正确.
对于D，函数的图象对称轴为，
当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小，
此时，，当为偶数时，，而，
当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1；
当或时，
函数在上单调，最大值与最小值的差最大，
，当或时均可取到等号，
所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确.
故选：ACD
12．
【详解】因为，是的方程的两个实根，
所以，
所以.
故答案为：
13．
【详解】解：与夹角为锐角时，；
解得；
当时，与分别为与同向，夹角为零，不合题意，舍去；
∴实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
【详解】取的中点，则，即；
所以，
同理可得，
所以.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1），解得，
所以.
（2），
16．(1)，作图见解析
(2)
【详解】（1）由可得
，
0
0 1 0 0
故在区间内的图象如下所示：

（2），
因为为偶函数，所以，
因为，故m最小值为
17．(1)
(2)
【详解】（1）以点为坐标原点，、所在的直线为轴 轴建立直角坐标系，
则，，，，
所以，
，，
．
（2）由，，
故，则，
所以
，
由，故．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为所以，
所以,
所以.
（2）由题意可知：，
，
又因为三点共线，所以存在实数使得,
，
所以，解得：，
所以.
（3）易知，
由（2）知，
又因为三点共线,所以，又，
所以：，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
19．(1)，最大值为(平方千米)；
(2)万元
【详解】（1）由题意可得，其中，
在中，，则
所以
因为，所以，
所以当，即时，矩形的面积取最大值，
所以当时，荷花池的面积最大，最大面积(平方千米)；
（2）由(1)可知，则
，
设建造总费用为y万元，
则
令，
因为，所以，所以，
则，
所以
所以建造总费用的范围为万元．

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