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第18章《平行四边形》复习题--四边形中的动点问题
【题型1 与平行四边形有关的动点问题】
1.如图，在中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
2.如图，等腰中，，点是底边上的一动点（不与点重合），过点分别作的平行线，交于点，则下列数量关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.如图，点D是的边的延长线上一点，点F是边上的一个动点（不与点B重合），以为邻边作平行四边形，又（点P、E在直线的同侧），如果，那么的面积与面积之比为（　　）
A． B． C． D．
4.如图，在中，，动点从点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点同时停止运动，连结．设运动时间为秒．当平分的面积时，则 ．
5.如图，在 中，，，点、分别是、上的动点，，连结，作关于的对称线段，当与 的某边平行时， ．
6.如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第 时，以点为顶点的四边形是平行四边形．

7.如图1，在中，，．动点P沿边以每秒个单位长度的速度从点A向点D运动．设点P运动的时间为t（）秒．
(1)当平分时，求t的值．
(2)如图2，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发．
①当点P到达点D停止运动，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出t的值．
②若点P在上往返运动，当以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，直接写出此时t的值为______．
8.如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长；
(2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值．
9.如图，在中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)的长为______．
(2)当时，用含的代数式表示线段的长______．
(3)连接．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
10.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，M，N分别为射线，上的两个动点（点M，N始终在平行四边形的外面），连接，，，．
(1)若，，求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，
①四边形为平行四边形吗？请说明理由；
②当时，，直接写出四边形的面积．
【题型2 与矩形有关的动点问题】
11.如图，在矩形中，动点，分别从点，同时出发，沿，向终点，移动．要使四边形为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是（ ）
甲：点，的运动速度相同；
乙：
A．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行
C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行
12.如图，在矩形中，，点E在线段上，且，动点P在线段上，从点A出发以的速度向点B运动，同时点Q在线段上．以的速度由点B向点C运动，当与全等时，v的值为（ ）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
13.如图，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，若，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（ ）

A． B． C． D．
14.如图，在四边形中，相交于点O，且，点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列选项不正确的是（　　）

A．四边形是矩形
B．当点E是的中点时，
C．当时，线段长度的最大值为4
D．当点E在边上，且时，是等边三角形
15.如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发沿以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．连接，当时间是1秒时，的长度是（ ）

A． B．6 C． D．4
16.如图，在矩形中，，，点E是边延长线上一点，，点M从点E出发，先以每秒2个单位长的速度向点B运动，点到达点B后，再以每秒6个单位长的速度沿射线方向运动，同时点N从点D出发，沿射线方向以每秒4个单位长的速度运动，设运动时间为t（s），若以E，M，C，N为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为（ ）
A．1或3 B．3或13 C．1或13 D．1或3或13
17.如图．在四边形中， ，，，．．点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点当到达点时，、两点停止运动．在此运动过程中，出现 和的次数分别是（ ）
A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7
18.如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒．
(1)当点P运动停止时，______，线段的长为______；
(2)①用含t的式子填空：______，______，______；
② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值；
(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
19.如图，在矩形中，，，延长到点，使．连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点运动的时间为秒．
(1)求的长；
(2)连接，当四边形是平行四边形时，求的值；
(3)连接、，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式．
20.如图，在四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)点从点开始沿着边向点以的速度移动，点从点开始沿着边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当与四边形的其中一边平行时，求此时的值．
(3)如图，点，分别在边，上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，则长度为 ．
【题型3 与菱形形有关的动点问题】
21.在菱形中，，动点在直线上运动，作，且直线与直线相交于点点到直线的距离为．
(1)证明：；
(2)若在线段上运动，求证：；
(3)若P在线段上运动，探求线段的一个数量关系，并证明你的结论．
22.如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点E从点A 出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作于点F，作交于点G，过点G作射线垂线段，垂足为点H，得到矩形，设点E的运动时间为t秒．
(1)当点H与点D重合时，　　；
(2)设矩形与菱形重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(3)设矩形的对角线与相交于点，
①当时，t的值为　　；
②当时，求出t的值．
23.如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.

(1)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(2)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？
24.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1 cm/s．图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图像．
(1)AB = cm，a = ；
(2)P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为；
(3)在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
25.已知点P，Q分别在菱形的边上运动（点P不与B，C重合），且．
(1)如图①，若，求证：；
(2)如图②，若与不垂直，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
26.已知菱形中，，点P为菱形内部或边上一点．
(1)如图1，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形内部或边上，连接，求证：．
(2)如图2，若点P在对角线上运动，以为边向右侧作等边，点E在菱形的外部，若，，求；
(3)如图3，若，点E，F分别在，上，且，连接，，，求证：．
27.如图，四边形为平行四边形，延长到点E，使，且．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若是边长为1的等边三角形，点P、M、N分别在线段、、上运动，求的最小值．
28.如图，在菱形中，，E，F分别是边、上的点，且．
(1)若点E是的中点，则与之间的数量关系为______；
(2)若点E不是的中点，判断与之间的数量关系并说明理由；
(3)若，直接写出周长的最小值；
(4)当点在边上运动时，小亮发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小亮验证他的发现．
29.如图1，已知，点从点出发，沿的方向以的速度匀速运动到点． 图2是点运动时的面积随时间变化的关系图象．
(1)__________；
(2)求的值．
30.如图，在菱形中，．点P，Q分别以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向匀速运动，点Q沿折线方向匀速运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点P，Q的距离为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围．
【题型4 与正方形有关的动点问题】
31.在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是_________；证明此猜想时，可取的中点P，连接，根据此图形易证，则判断的依据是_______．
(2)点E在边上运动，如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
32.如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足，，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
(1)依题意补全图形；
(2)求的度数；
(3)设，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？
33.正方形的边长为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．交于点，于点，的平分线分别交，于点，，连接，．设点的运动时间为．
（1）在点的运动过程中，与有什么数量关系？请证明你的结论；
（2）当把正方形的面积分成两部分时，请直接写出的值．
34.综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点从对角线的点出发向点运动，连接并延长至点，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点.
操作发现
（1）点在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由；
实践探究
（2）在点的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
探究拓广
（3）请借助备用图2，探究当点不与点，重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出.
35.如图，正方形ABCD中，对角线AC＝8cm．射线AF⊥AC，垂足为A．动点P从点C出发在CA上运动，动点Q从点A出发在射线AF上运动，两点的运动速度都是2cm/s．若两点同时出发，多少时间后，四边形AQBP是特殊四边形？请说明特殊四边形的名称及理由．
36.【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是边上一动点（点与点，不重合），连接，作，与正方形的外角的平分线交于点．
【思考尝试】（1）如图1，当是边的中点时，观察并猜想与的数量关系：________；
【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形中，若是边上一动点（点与点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在边上运动时（点与点，不重合），连接，．若知道正方形的边长，则可以求出周长的最小值．当时，请你直接写出周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线）
37.如图1，在中，，．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，过点作交于点．以为一边向右作正方形．设点的运动时间为秒．正方形与重叠部分图形的面积为．
(1)当时，________；
(2)当点落在上时，________；
(3)当时，在图2中画出图形，并求出的值；
(4)连接，当是等腰三角形时，直接写出的值．
38.已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．
(1)如图1，点在边上，，相交于点，当，互相平分时，求的值；
(2)如图2，点在边上，，相交于点，当时，求的值．
39.如图，已知正方形的边长为16，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为的面积为．
(1)当时，______；
(2)当点在边上运动时，______；
(3)若点是边上一点且，连接，是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
40.如图， 为正方形的对角线，．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动．连接交于点O，过点O作交边于点E．设点P运动的时间为t秒．
(1)当点P运动到边的中点时，四边形的面积为__________；
(2)连接、，求证：四边形是平行四边形；
(3)求四边形的面积；
(4)当将四边形分成面积比为两部分时，直接写出t的值．
【题型5 与梯形形有关的动点问题】
41.如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点Q的运动时间为．

(1)当时，P，Q两点之间的距离为__________；
(2)线段与互相平分时，求t的值；
(3)t为何值时，四边形的面积为梯形面积的？
42.如图，在梯形中，，，，E是的中点． 动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)当动点P运动t()秒时，则________；(用含t的代数式直接表示)
(2)当动点Q运动t秒时，
① 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
② 若，则________；(用含t的代数式直接表示)
(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
43.如图①，在中，已知分别是上的两点，且．．
（1）求梯形的面积；
（2）如图②，有一梯形与梯形重合，固定，将梯形向右运动，当点D与点C重合时梯形停止运动；
①若某时段运动后形成的四边形中，，求运动路程的长，并求此时的值；
②设运动中的长度为，试用含的代数式表示梯形与重合部分面积．
44.如图，在梯形 中，，，，，，动点从点开始沿边向以1cm/秒的速度运动，动点从点开始沿边向以3cm/秒的速度运动，分别从同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．问：

(1)的长度为 ，的长度为 ，（用的式子表示），其中的取值范围为 ．
(2)当为何值时，四边形是平行四边形，请说明理由；
(3)朱华同学研究发现：按以上变化，四边形在变化过程中不可能为菱形，除非改变动点的运动速度．请探究如何改变点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求此时点的速度．
45.如图，已知，，点、在射线上（点、不与点重合且点在点的左侧），连接、，为的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是梯形；
(2)如果，当为等腰三角形时，求的长．
46.如图，梯形中，，，，，，点E为上一点，且，点F为上一动点，以为边作菱形，且点H落在边上，点G在梯形的内部或边上，设．

(1)直接写出的长与的度数．
(2)在点F运动过程中，是否存在某个x的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
(3)若菱形的顶点G恰好在边上，则求出此时x的值．

47.如图1，梯形中，，，，．点P从点A出发沿以每秒1个单位的速度向点D匀速运动，点Q从点C沿以每秒2个单位的速度向点B匀速运动．点P、Q同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)当时，设A、B、Q、P四点构成的图形的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出定义域；
(2)设E、F为、的中点，求四边形是平行四边形时t的值．
48.如图，在直角梯形中，，，，，，动点P从点A开始沿AD边向点D以速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．求：
(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
(2)t为何值时，四边形ABQP为矩形？
(3)是否存在，使梯形ABQP的面积为？若存在请求出，若不存在请说明理由．
49.如图，梯形中，，，，，，点为上一点，且；点为上一动点，以为边作菱形，且点落在边上，点在梯形的内部或边上，设.
（1）直接写出的长与的度数：______，______；
（2）在点运动过程中，是否存在某个的值，使得四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若菱形的顶点恰好在边上，则求出点在上的位置和此时的值．
50.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．
（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能
【题型6 平面直角坐标系中与特殊四边形有关的动点问题】
51.如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．
(1)求点C，B的坐标（结果用根号表示）
(2)从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形；
(3)在点P、Q运动过程中，四边形有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
52.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．
(1)当点在第四象限时（如图1），求证：．
(2)当点落在矩形的某条边上时，求的长．
(3)是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
53.已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动. 设动点的运动时间为秒．

(1)当为何值时，四边形是平行四边形；
(2)在直线上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ，并在图上画图标出点的位置，
54.如图，在菱形中，O为坐标原点，点A的坐标为， ．动点P从点A出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点 P，Q同时出发，设运动时间为秒．
(1)求点C的坐标．
(2)当时，求的面积．
(3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
55.如图，正方形的顶点O在坐标原点，定点A的坐标为．

(1)求正方形顶点C的坐标为（ ， ）顶点B的坐标为（ ， ）；
(2)现有一动点P从C点出发，沿线段向终点B运动，P的速度为每秒1个单位长度，同时另一动点Q从点A出发沿A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位长度．设运动时间为2秒时，将三角形沿它的一边翻折，若翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，求k的值．
56.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B坐标为，点D在边上从点C运动到点B，以为边作正方形，连、，在点D运动过程中，请探究以下问题：
(1)若为直角三角形，求此时正方形的边长；
(2)的面积是否改变，如果不变，求出该定值；如果改变，请说明理由；
(3)设，直接写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围．
57.如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点，以为边作正方形，点E在第四象限．
(1)线段的长为_______（用m的代数式表示）．
(2)试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)设正方形的对称中心为M，直线交y轴于点G．随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由．
58.如图①所示，以正方形的点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中线段在y轴上，线段在x轴上，其中正方形的周长为16．
(1)直接写出B、C两点坐标；
(2)如图②，连接，若点P在y轴上，且，求P点坐标．
(3)如图③，若OB//DE，点P从点O出发，沿x轴正方向运动，连接．则，，三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点O，D，C重合的情况）？并说明理由．
59.如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴的正方向运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接，设点运动的时间为．
(1)的度数为______，点D的坐标为______（用含t的代数式表示）；
(2)当时，平面内是否存在点M，使以点P、D、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，判断线段、与之间的数量关系，并证明你的结论．
60.(1)点A坐标为 ，四边形的面积为 ；
(2)如图2，点E在线段上运动，为等边三角形．
①求证：，并求的最小值；
②点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由．
参考答案
【题型1 与平行四边形有关的动点问题】
1.C
【分析】记、相交于点，过点做于点，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，当时最短，即与重合，然后根据等腰三角形和含角的直角三角形的性质即可求出的最小值．
【详解】解：记、相交于点，过点做于点，
四边形是平行四边形，
，，
要最短就是最短，当时最短，
即与重合，
，，
是等腰三角形，
，
，
根据直角三角形中角对应的边等于斜边的一半，
，
最小值，
故选：C．
2.C
【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，，进而得到，，即得，，由平行四边形的性质可得，即可得到，，，据此可判断求解，掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，，
∴一定正确的是，
故选：．
3.D
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，数来你掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．过点P作交于H，连接，可证得四边形，是平行四边形，再根据四边形是平行四边形，设，可得，再根据，即可求解．
【详解】过点P作交于H，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴P，E，F共线，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∵，
∴．
故选：D．
4.或或
【分析】本题考查平行四边形的性质，中心对称：由平行四边形的性质，中心对称的性质得到，分三种情况讨论即可解决问题．
【详解】如图，连接交于点O，
∵平分的面积，是中心对称图形，
∴经过的中心，即，
在中，，
∴，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴．
∴当平分的面积时，或或．
故答案为：或或．
5.或或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，折叠问题；分三种情况讨论，①当时，如图所示，作的角平分线交于点，②当时，如图所示，作的外角平分线，同理可得，四边形是平行四边形，③当时，为的中点，分别画出图形，即可求解．
【详解】①当时，如图所示，作的角平分线交于点，
∵作关于的对称线段，
∴
∴四边形是平行四边形，
如图所示，设，则
∴
又∵，
∴
∴
∴
∵，即
解得：
∴
②当时，如图所示，作的外角平分线，
同理可得，四边形是平行四边形
设，则，
∵，即
解得：
∴，
③当时，为的中点，
∴，
综上所述， 或1或6
故答案为：或或．
6.或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形；点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形；画出图形进行解答即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
设运动时，有两种情况：
如图，点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形，
则，
∴，
解得；
如图，点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形，
则，
∴，
解得；

综上，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
7.（1）解：由题意可得，
∴．
在中，，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，，
∴，
当点Q没有到达点B时，
，
∴（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，
，
∴，
当点Q到达点C后，返回时，
，
∴，
当点Q第二次到达点B后，
，
∴．
综上所述：t的值为或8或 ．
②由①可知，点P从点A运动到点D，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成3次平行四边形，
当秒时，P到达点D，此时Q也第2次返回点C，
当P从D返回A时，
当时，由得到，
解得，
当时，由得到，
解得，
当时，由得到，
解得，
当时，由得到，
解得，
∴P从A运动到点D，再返回A，以P、D、Q、B为顶点的四边形可构成7次平行四边形，
∵，
∴以P、D、Q、B为顶点的四边形第次成为平行四边形时，
，
故答案为：
8.（1）解： 四边形是平行四边形，
，
，
，
当点在线段延长线上时，
（2）存在，理由如下：
如图1，连接、，

与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
当t的值为时；与互相平分；
（3）分两种情况：
①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时，如图2，

由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，解得：；
②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，如图3，

由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，解得：；
综上所述，t的值为2或8．
9.（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
（2）在中，，，
由题意得，，
当点Q与点B重合时，，
∴，
当时，点Q在线段的延长线上，，
故答案为：；
（3）存在，理由如下：
如图，连接，,

若与互相平分，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴当时，与互相平分；
（4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，

由对称得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，

由对称得，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或2．
10.证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，即，
四边形为平行四边形．
（2）解：①若，，四边形为平行四边形，
理由如下：
，，．
，
，
即，
，
四边形为平行四边形；
②当时，，，
，
，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
，，
，
∴，
∴，
．
【题型2 与矩形有关的动点问题】
11.A
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加甲，根据题意可知，从而推出，，然后根据平行四边形的判定定理进行判断即可；添加乙，根据可证，知道，从而推出，然后结合矩形对边平行，即可判断．
【详解】若添加甲条件，可证四边形为平行四边形，理由如下：
四边形是矩形
，
又点，分别从点，同时出发且运动速度相同
即
四边形为平行四边形；
若添加乙条件，可证四边形为平行四边形，理由如下：
四边形是矩形
，，，
在和中
即
四边形为平行四边形．
故选A．
12.D
【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
当与全等时，有两种情况：①当时，，②当时，，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】解：当与全等时，有两种情况：
①当时，，
，，
，，
；
动点在线段上，从点出发以的速度向点运动，
点和点的运动时间为：，
∴；
②当时，，
，，
，，
，
，
综上，v的值为2或．
故选：D．
13.C
【分析】本题考查了矩形的性质和翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则四边形为矩形，由折叠可得，得到，，进而可得，从而判断出点在上运动，又由全等三角形的性质可得，，设 ，则，，由勾股定理得，即得，解方程求出，得到的长度，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，则四边形为矩形，

∴，，，
由折叠得，，
∴，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵点在上，
∴点到的距离等于，即点在上运动，
∴点与点重合时，点与点重合，
当点与点重合时，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵ 四边形为矩形，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径长为线段的长，等于，
故选：．
14.D
【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定等．根据矩形的判定得出A选项，根据中位线定理判断B选项，根据当点E与点D重合时的值最大得出C选项，进而根据等边三角形的判定判断D选项即可．
【详解】解：∵，
∴四边形是矩形，
故A正确，不符合题意．
∵点O，F分别是的中点，
∴是的中位线．
∴
又∵点E是的中点，
∴．
∴，即 ，
故B正确，不符合题意．
当点E与点D重合时，的值最大．
∵，
∴的最大值是8．
∴，即线段长度的最大值是4，
故C正确，不符合题意．
当时，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不是等边三角形，
故D错误，符合题意；
故选D．
15.C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，含的直角三角形的性质，作，根据题意得，，进而可得，，，根据题意知，得，即可得．解题关键是勾股定理的正确应用．
【详解】解：作，由矩形中，，，

则，，
则，，，
由题意知，，则，
得．
故选：C．
16.D
【分析】本题考查了矩形、平行四边形的性质及判定的应用．由题得出共四种情况，当从向运动时，在上时；当点在射线上的点右侧时；当点从点向点运动且点在上时；当点从点向点方向运动且点在点右侧时，根据每种情况，分别求出和，令，再求出即可．
【详解】解：由题得，，
四边形是矩形，
∴，
若，则以、、，为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
当从向运动时，，
当在上时，即时，
得，
；
当点在射线上的点右侧时，即时，，
，
；
当点从点向点运动且点在上时，即时，
，
，
（舍去）；
当点从点向点方向运动且点在点右侧时，即时，
，
，
；
综上的值为1或3或13．
故选：D．
17.A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，动点问题，勾股定理，根据题意分别求得 和的情形，分类讨论，即可求解．
【详解】解：设点的运动时间为，
∵，点从点出发，以的速度向点运动，，当点当到达点时，、两点停止运动．
∴秒，，则
∵，点从点同时出发，以的速度在线段上来回运动，
∴，
当时，则四边形是平行四边形，
∴
当时，点从到运动，
∴，解得：
当时，点从到运动，
∴，解得：
当时，点从到运动，
∴，解得：
当，点从到运动，
∴，解得：（舍去）
∴能出现三次，
如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵ ，，
∴四边形是矩形，
∴，，,
∴中，,
当时，
在中，
∴
当时，点从到运动，
∴，解得：或
当时，点从到运动，
∴，解得：或
当时，点从到运动，
∴，解得：或
当，点从到运动，，
∴，解得：（舍去）或（舍去）
∴能出现6次，
故选：A．
18.（1）解：∵，
∴点P运动9秒后停止，即，
∴，
故答案为：；；
（2）解：①由题意得，，
∵，
∴，
故答案为：；；；
②∵，
∴当四边形是平行四边形时，四边形是矩形，
∴此时有，
∴，
解得；
（3）解：∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且，
∴此时四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得．
19.（1）解：四边形是矩形，
，，
在Rt中，由勾股定理得，，
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
当四边形是平行四边形时，的值为4；
（3）解：∵，且动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，
∴当时，
由题意知，，
，
当时，则，
，
综上．
20.（1）解：过作于点，过点作于点，如图，
，，
．
，，，
四边形为矩形，
，，
．
．
（2）由题意得： ， ，
，．
①当时，
，
四边形为平行四边形，
，
，
．
②当时，
，
四边形为平行四边形，
，
，
．
综上，当与四边形的其中一边平行时，此时的值为或．
（3）过作于点，过点作于点，过点作于点，如图，
，，
， ，
，，
，
同理可求．
由题意得： ，，
设 ，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，，
．
，
，
．
长度为．
故答案为：．
【题型3 与菱形形有关的动点问题】
21.（1）证明：∵为菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）过点作交于点，连接
∵为菱形，，
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
∴．
（3），理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
22.（1）解：四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
当点与点重合时，，
，
；
（2）解：①当在边上，即时，如图：

矩形与菱形重叠部分图形的面积即是矩形的面积，
，
②当在边延长线上，即时，
设交于，如图：

在中，，，
，，
，
矩形与菱形重叠部分图形的面积，
综上所述，矩形与菱形重叠部分图形的面积，
（3）解：①当时，如图：
过点A作，交延长线于点T，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
四边形是矩形，
是的中点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
又是中点，，
与重合，此时，与重合，
；
故答案为：4；
②当时，延长交于，如图：
，
，
是的中点，
是的中位线，
是的中点，
，
，
，
在中，，，
，，
在中，，
，，
，
．
23.（1）解：如图所示，过点B作于H，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
Q在上运动时间为，
，
运动时间最长为，
当点Q在上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形，
当时，在边上，
此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形是平行四边形，如图所示：
即
只需即可，
由题意得，，
，
解得：；
②四边形是平行四边形，如图所示：

同理
只需，四边形是平行四边形
∵，
解得：
综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
（2）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形
只需满足即可
由题意得，，，
，，
解得：，
当Q点的速度为时，四边形为菱形．
24.（1）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC、△ACD为全等的两个等边三角形，
设△ABC的边长为，则其面积为，
由图2知，当点P在点A时，y=△ABC的面积=，
解得（负值已舍去），
即菱形的边长为2，则AB=2（cm），
由题意知，点P与点O重合时，对于图2的a所在的位置，
则AO=1，故．
故答案为2；．
（2）解：由（1）知点在段运动时，对于图2第一段直线，
而该直线过点、，，
设其对应的函数表达式为，则，解得，
故该段函数的表达式为，
当点在上运动时，四边形的面积为，则点只能在上，
则四边形的面积，即，
解得．
（3）解：存在，理由：
由（1）知，菱形的边长为2，则，，
过点作于点交于点，
、均为等边三角形，则，
①当点和点重合时，为直角，则；
②当为直角时，则同理可得：，则；
③当为直角时，则，
综上，的值为或或．
25.（1）证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
；
（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
如图，作，，垂足分别为，．
由（1）可得，，，
，
在和中，
，
；
26.（1）证明：如图1，连接
四边形是菱形
是等边三角形
，
是等边三角形
，
；
（2）解：如图2，连接，交于点M
四边形是菱形
，，，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形
，
，
又 ，
；
；
（3）证明：如图3，连接交于点G，连接，
四边形是菱形
是等边三角形
，
，
又，
，
是等边三角形
，
即．
27.（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵E在的延长线上，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形；
（2）解：作N关于DC的对称点，过D作于H，
由菱形的对称性知，点N关于的对称点在上，
∴，
∴当P、M、共线时，，
∵，
∴的最小值为平行线间距离的长，
即的最小值为的长，
∵是边长为1的等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴的最小值为．
28.（1）解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴当最小时，的周长最小，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
根据解析（2）可知，为等边三角形，
∴当时，，
∴，
∴周长的最小值为；
（4）解：根据解析（2）可知，，
∴，
∴
．
29.（1）解：∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∴当点E在上时，点E到的距离不变，
由图2可知，当时，y的值不变，
∵点E的速度为，
∴，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴当时，点E与点B重合，
∴，
故答案为：；
（2）解：过点D作于点H，
∵，，
∴，即，
解得：，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：．
30.（1）解：∵菱形
∴
∴总的运动时间为：（秒），
当点P在，点Q在上运动时，即时，连接，
由题意得，
∴是等边三角形，
∴；
当点P在，点Q在上运动时，即时，如图所示：是等边三角形，
∴，
∴；
综上可得：；
（2）解：当时，，当时，，当时，，依次描点再连接
该函数图象如图所示：
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小
（答案不唯一）；
（3）解：从图象看，当时x的取值范围为：或．
【题型4 与正方形有关的动点问题】
31.（1）∵在正方形中，，点E是的中点，点P是的中点
，
，
∵在正方形中，
是等腰直角三角形
平分
在和中
（ASA）
故答案为：，ASA．
（2）①成立，理由如下：
如图，在上取一点P，使，连接，则，
由（1）得：
，
∴是等腰直角三角形
∴
在和中
∴
；
32.（1）解∶依题意补全图形，如图1所示．
（2）证明：连接CE，如图2所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵在中，点E是AN中点，
∴．
∵，，，
∴≌，
∴．
∴．
（3）解∶ 连接DE，
∵由（2）得：AE=CE，
∴点E在AC的垂直平分线上，
在正方形ABCD中，BD垂直平分AC，∠ACD=45°，△BCD为等腰直角三角形，
∴点E在BD上，
∴BF=DF=CF，
∴在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．此时DN=CD=2，∠CDN=90°，
∴
∵，
∴∠ACN=90°，即CN⊥AC，
∴，
∴四边形DFCN为梯形．
∵，
∴BC=CD=AB=2，
∴，
∴，
∴．
33.解：（1）．
证明如下：∵四边形是正方形，
∴BD是∠ADC的角平分线，
=45°，AD=CD，
又∵DF=DF，
∴△FAD≌△FCD（SAS），
∴
∵，
90°
∵平分，
45°
∵，
．
（2）连接AC，
∵把正方形的面积分成两部分，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵BC=4，
，
.
34.（1）.
理由如下：如图，连接.
∵是正方形的对角线，
∴，，.
在和中，
∴.
∴，.
∵四边形是正方形，
∴.
在四边形中，.
∵，
∴.
∴.
∴.
（2）如图，过点作于点，作于点.
∴.
∵点是正方形的对角线上的点，
∴，.
∴四边形是正方形.
在和中，
∴.
∴.
∴ .
∵正方形与正方形重叠的面积是，
∴.解得.
∵正方形的边长为6，
∴.
∴.
∴此时的长为.
（3）分三种情况：
①当时，；
②当时，且点与点重合；
③当时，.
35.解：当P、Q运动2s后，四边形AQBP是正方形，
理由如下：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC
当P、Q运动2s后，CP＝AQ＝4cm，
∵AC＝8cm，
∴AP＝CP＝4cm，且AB＝BC，
∴BP⊥AC，且AF⊥AC
∴AF∥BP，且AQ＝BP＝4cm，
∴四边形APBQ是平行四边形，且BP⊥AC，AP＝BP
∴四边形AQBP是正方形
36.解：（1），理由如下：
取的中点，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

（2）成立，理由如下：
在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

（3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是垂直平分线，
∴点与关于对称，
∴，当A、P、G共线时取等号，故最小值为的长，
∵，
∴，
∴在中，，
∴的周长的最小值为．
37.（1）解：∵，
是等腰直角三角形，
∵，
是等腰直角三角形，
∴，
∵点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，
∴当时，
∴四边形是边长为的正方形，
此时正方形与重叠部分图形就是正方形，
，
故答案为：．
（2）解：由题意得，当点落在上时，点恰好与点重合，如图：
是等腰直角三角形，四边形是正方形，
，
故答案为：．
（3）解：当时，如图：
由题意得：四边形是矩形，，
∴．
（4）解：①如图：
当时， ，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，即此时点落在上，
由（2）得， 此时；
②当时，如图：
∵，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
在中， ，
在中， 即
在中，
解得
③当时，如图：
解得：
综上，当是等腰三角形时，的值为1，或．
38.（1）解：由题意得：，，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，
当，互相平分时，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得：，
即的值为；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，即的值为．
39.（1）解： ，，，
；
故答案为：32；
（2）解：点在边上运动，
；
故答案为：128；
（3）解：当点在边或边上运动时，存在一点，使得与全等．
如图4，当点在上时，，
，
，
．
如图5，当点在上时，，
，
．
综上所述，或38时，使得与全等．
40.（1）解：四边形是正方形，为对角线，
，，，
由题中运动情况可知，，
，
，
，是的中点，
当点P运动到边的中点时，则点Q运动到边的中点，
，，
，
，
四边形是正方形，
四边形的面积为，
故答案为：．
（2）证明：连接、，
由（1）可知，，，
四边形是平行四边形；
（3）解：作于点，作于点，
，与（1）中相等为，
四边形是正方形，为对角线，
，，
四边形是矩形，
，
，
；
四边形是正方形，
，，
，
，
，
四边形的面积，
四边形的面积为．
（4）解： 将四边形分成面积比为两部分，
①，
，
，
解得；
②，
，
，
解得；
综上所述，或．
【题型5 与梯形形有关的动点问题】
41.（1）解：当时，
∴，
过点P作于点H，

则是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
（2）当与互相平分时，
则四边形是平行四边形．
∴．
即
解得，
（3）∵四边形的面积为梯形面积的
根据题意，得
解得
42.（1）解：根据题意得：，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①若，，，
∴，
故答案为：；
② 若，，，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图所示：
∵E是的中点，
∴，
① 当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则：
，
解得：，
② 当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则：
，
解得：，
∴运动时间为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
43.解：（1）∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵GF∥BC，
∴∠AGF＝∠AFG＝45°，
∴AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，
∴S梯形BCFG＝S△ABC S△AGF＝×6×6 ×2×2＝16；
（2）①∵在运动过程中有DG′∥BG且DG′＝BG，
∴BDG′G是平行四边形，
当DG⊥BG′时，BDG′G是菱形，
∴BD＝BG＝4，
如图③，当BDG′G为菱形时，过点G′作G′M⊥BC于点M，
在Rt△G′DM中，∠G′DM＝45°，DG′＝4，
∴DM＝G′M且DM2＋G'M2＝DG'2，
∴DM＝G′M＝，
∴BM＝，
连接G′B．
在Rt△G′BM中，G′B2＝BM2＋G′M2＝；
②在Rt△AGF与Rt△ABC中，GF＝，BC＝，
当0≤x＜时，其重合部分为梯形，如图②，
过G点作GH垂直BC于点H，则GH＝，
∵BD＝GG′＝x，
∴DC＝，G′F′＝，
∴S＝；
当≤x≤时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③，
∵斜边DC＝，
∴斜边上的高为，
∴S＝．
44.（1）解：动点从点开始沿边向以1cm/秒的速度运动，
，
，
分别从同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，动点从点开始沿边向以3cm/秒的速度运动，，
，
故答案为：，，；
（2）解： ，
，
要使四边形是平行四边形，则，
动点从点开始沿边向以3cm/秒的速度运动，
，
，
由（1）得，
，
解得：，
当时，四边形是平行四边形；
（3）解：设点的速度为cm/秒，
则，
由（1）得：，，
，
，
，
，
要使四边形是菱形，则，
即，
解得：，
使四边形在某一时刻为菱形，此时点的速度为 cm/秒．
45.（1）证明： ，
，
为的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
，与相交，
与不平行，
四边形是梯形；
（2）解： 为等腰三角形，
如图，当时，
为的中点，
，
，，
；
如图，当时，过点F作，垂足为H，
由（1）知四边形是平行四边形，
，即，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
；
如图，当时，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
此时，点与点B重合，不符合题意，
综上，当为等腰三角形时，的长为6或16．
46.（1）解：（1）如图，过点作于，

，，
四边形是矩形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，；
（2）解：如图，

四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
解得（cm）；
（3）解：如图，过点作于，

在菱形中，，，
，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，，，
在中，，
在中，，
，
，
解得．
．
47.（1）由题意可得：，，
则；
（2）过点D作于H，取的中点G，则四边形是矩形．
∵F是的中点，G是的中点，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
解得：，
即当四边形是平行四边形时，t的值为．
48.（1）解：由题意得：AP=t cm，CQ=3t cm，
则PD=（24-t）cm，
∵PD∥CQ，
∴PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
此时，24-t=3t，
解得：t=6，
∴t=6时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）由题意得：AP=t，BQ=26-3t，
∵AP∥BQ，∠B=90°，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP为矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=，
∴当t=时，四边形ABQP为矩形．
（3）∵由题意得：AP=t，BQ=26-3t，
，
解得，
此时BQ=26-3t=-4，
∴不存在，使梯形的面积为．
49.解：（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，AB⊥CB，
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=6cm，BM=AD=8cm，
∴CM=BC -BM=14-8=6cm，
∴DM=CM，
∴△CDM是等腰直角三角形，
CD=CM=cm，∠DCB=45°；
（2）∵四边形EFGH为正方形，
∴EF=EH，∠FEH=90°，
∴∠AEF+∠BEH=90°，
∵AB⊥CB，
∴∠BEH+∠BHE=90°，
∴∠AEF=∠BHE，
在△AEF和△BHE中，
，
∴△AEF≌△BHE（AAS），
∴BE=AF=x，
∵AB=AE+BE=6cm，
∴2+x=6，
解得x=4cm；
（3）如图，过点G作GP⊥BC于P，
则AB∥GP，
∴∠AEG=∠PGE，
在菱形EFGH中，EF∥GH，EF=EH=GH，
∴∠FEG=∠HGE，
∴∠AEF=∠PGH，
在△AEF和△PGH中，
，
∴△AEF≌△PGH（AAS），
∴PG=AE=2，HP=AF=x，
∵∠C=45°，
∴CP=PG=2，BH=14-x-2=12-x，CG=PG=，
在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2=22+x2，
在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2=（6-2）2+（12-x）2，
∵EF=EH，
∴22+x2=（6-2）2+（12-x）2，
解得x=6.5．
∴CG=，x=6.5．
50.解：（1）；
（2）当BP = 1时，有两种情形：
①如图1，若点P从点M向点B运动，有 MB == 4，MP =MQ= 3，
∴PQ = 6．连接EM，
∵△EPQ是等边三角形，
∴EM⊥PQ．
∴
∵AB =，
∴点E在AD上．
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为．
②若点P从点B向点M运动，由题意得．
PQ = BM + MQBP = 8，PC = 7．
设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则HP =，AH = 1．
在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，
∴HF = 3，PF = 6．
∴FG = FE = 2．
又∵FD = 2，
∴点G与点D重合，如图2．
此时△EPQ与梯形ABCD 的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为．
（3）能．此时，4≤t≤5．过程如下：
当时，P点与B点重合，Q点运动到C点，此时被覆盖线段的长度达到最大值
为等边三角形
Q向右还可以运动1秒，FG的长度不变
【题型6 平面直角坐标系中与特殊四边形有关的动点问题】
51.（1）解：如图，过C作于E，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∵平行四边形，
∴，，
∴；
（2）解：设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形，
由题意知，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
解得：，
∴运动开始，经过秒，四边形是平行四边形；
（3）解：不能成为菱形，理由如下；
由（2）可知，经过秒，四边形是平行四边形，此时，
∵，
∴平行四边形不能是菱形．
52.（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①当时，如图所示：
，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
②当点与点重合时，如图所示：
，，
在中，，即，解得，
；
综上所述：的长为4或；
（3）解：在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
是的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
由折叠性质可得，则四边形为菱形，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
；
综上所述：点或或或．
53.（1）解：四边形为矩形，，，
，，
点是的中点，
，
由运动知，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：①当点在的右边时，如图1，
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∵，
；
②当点在的左边且在线段上时，如图2，
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∵，
；
③当点在的左边且在的延长线上时，如图3，
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∵，
；
综上所述，时，；时，；时，；
（3）解：如图，由知，，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形的周长为
，
最小时，四边形的周长最小，
作点A关于的对称点，连接交于，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
∵，
∴的最小值为，
∴四边形的周长最小值为．
54.（1）解：由题意知，，
∵菱形，
∴，，
如图，延长交轴于，则轴，即，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
（2）解：由题意知，时，，则，，
∴，
∴的面积为；
（3）解：∵，
∴当以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，，
由题意知，，，
当时，；此时，
解得，；
∴；
当时，；此时，
解得，；
∴；
综上所述，存在，当时，，当时，．
55.（1）过点A作轴于D，过点B作交的延长线于E，过点C作轴于点F，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∵点A的坐标为，
∴，，
∴点C的坐标为；
∴，点B到y轴的距离为，
∴点B的坐标为；
故答案为：，4，1，7；
（2）由题意，得，
当 时，．
将三角形沿它的一边翻折，若翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，
只需三角形是等腰三角形即可．
①当点Q在上时，
∵，
∴只存在一点Q，使．
过点Q作于点D，如图，
则，
∵，
∴，
∴；
②当点Q在上时，
∵，
∴只存在一点Q，使C，
∴，
∴．
综上所述，k的值为2或4．
56.（1）解：∵为直角三角形，
∴正方形的对称中心为点B，点A、B、E在同一直线上，点D、B、F在同一直线上，
∵，
∴正方形边长．
（2）解：的面积不会改变，
如图，过点F作，交的延长线于H，
∵矩形的顶点B坐标为，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，且，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时，如图，过点E作于H，
同理（2）可知
∴，，且，
∴，，
∴，
当时，如图，过点F作于H，连接，
同理可得：，，
∴，
综上所述：当时，．
57.（1）解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：．
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：点G的位置保持不变，
理由：过点F作交的延长线于点H，过点M作轴，垂足为N，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又，M是的中点，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∴．
58.（1）解：∵正方形ABCO的周长为16
∴正方形边长为4，
∴点B坐标为（4,4）点C坐标为（4,0）．
（2）解：由题意可知OA=OB=4，
∴，
则
，
设点P的坐标为（0，m），
则OP=，
，
解得，
∴m=8或m=-8，
∴点P坐标为（0,8）或（0，-8）．
（3）解：，理由如下：
如图，过点P作交BC于点Q，
则，
∴，，
∵，
∴．
59.（1）解：由题意知，
，
四边形是正方形，
，，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：，；
（2）解：当时， ，
，四边形为正方形，
，，
由（1）知，
，
，
若为平行四边形的对角线，，，
可得点P向右平移3个单位，向上平移1个单位得到点D，
∴点向右平移3个单位，向上平移1个单位得到，
∴
若为平行四边形的对角线，，，同理可求
，
若为平行四边形的对角线，，，同理可求
，
综上所述，点的坐标为或或；
（3）解：．
证明：延长至，使，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
60.（1）解：∵，，，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）①证明：如图，设交于J．
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最小．
∵，
∴，
∴
∴AF的最小值为．
②点F的横坐标不变，理由如下：
如图，过点F作于H．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点F的横坐标为，不变．

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