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2024-2025学年浙江省金砖高中联盟高一下学期 4月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = (1 )2，则 的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
2 1 .已知 = { | +2 ≥ 0}， = { |1 < 2
< 16}，则 ∩ =( )
A. [ 2,0) B. ( 4,1] C. ( 2,0) D. ( 4,1)
3.如图，正方形 ′ ′ ′ ′边长为 1 ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长
是( )
A. 8 B. 4 2 C. 4 D. (2 + 2 3)
4.已知向量 ， ，| | = 2，| | = 4，则“ 与 共线”是“| + | = 2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知 cos( 2 38 ) = 5，则 cos( 4 + 2 ) =( )
A. ± 425 21 B.
4
25 21 C.
17 17
25 D. 25
6.已知△ 的内角 ， 2 ， 的对边分别为 ， ， ，且 + = 4cos ，sin2 sin2 = 2sin
2 ，则 cos =( )
A. 2 10 3 5 24 B. 5 C. 4 D. 8
7.在长方体 1 1 1 1中， = 2， = 1 = 2， 为线段 1 的中点， 是棱 1 1的中点，若
点 为线段 1上的动点，则 + 的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 + 2
8.已知正四面体 内接于球 ，球 半径为 3， 为 的中点，过点 作球 的截面，求截面圆半径的
最小值( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列命题正确的是( )
A.已知 1， 2不共线， = 1+ 2， = 1 2，则 与 可以作为平面向量的一组基底
B.在△ 中， = 9， = 10， = 60 ，则这样的三角形有两个
C.若 ， 满足| | > | |且 与 同向，则 >
D.已知 = (3, 2)， = (1, )，若 与 + 的夹角为钝角，则 的取值范围为(8, + ∞)
10.设 为复数，下面四个命题中，真命题的是( )
A.若| 1| = | + 1|，则 为纯虚数
B. = | |2．
C.若 1 < | 1 + | < 2，则点 的集合构成的图形的面积为
D.若复数 1， 2满足| 1| = | 2| = 2， 1 + 2 = 3 + ，则| 1 2| = 2 3
11.如图，正方体 1 1 1 1边长为 2， ， 分别是 1， 1 1中点，平面 截正方体与棱 1 1，
分别交于点 ， ，下列选项正确的是( )
A. ， 1， 三线交于一点
B. 是多边形 20边上的动点， 的最大值是 3
C.正方体被截面 分成上下两部分的体积之比为 47: 25
D.棱锥 的外接球的表面积为 12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 2.已知函数 = 2 2 +2，则它的值域是 ．
13.衢州是孔子后裔的世居地和第二故乡，素有“东南阙里、南孔圣地”的美誉，孔子雕像坐落于孔子文化
公园内.如图，选取与孔子雕像底部 在同一平面内的三个测量基点 ， ， ，且在 ， ， 处测得雕像顶点
的仰角分别为6，4，3， = = 10 米，则孔子雕像高 为 米.
14.已知菱形 的边长为 2，设 = + ( ∈ )，若| | ≥ 1 恒成立，则菱形 面积的取值
范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)

已知复数 满足 和2+ 均为实数．
(1)求复数 ;
(2)若 是关于 的方程 2 + + = 0 的一个根，求实数 ， 的值．
16.(本小题 15 分)
已知平面向量 = (1, 2)， = (1, )， = (4,5 )．
(1)若( + ) ⊥ ，求 与 的夹角;
(2)若( + )// ，求向量 在向量 上的投影向量．
17.(本小题 15 分)
( )
已知函数 ( ) = 2 + 4， ∈ ， ( ) = ．
(1)当 = 2 时，求关于 的不等式 (2 + 3) ≤ (4 + 1)的解;
(2)若对任意的 1 ∈ [ 1,1]，存在 2 ∈ [1,3]，使得 ( 1) ≥ ( 2)成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 cos + ( + 2 )cos = 0．
(1)求 cos ;
(2)若△ 的面积为 3， 为边 上的一点，
①若 ⊥ ， = 1，求 长．
②若 = 2 ，求 长的最小值：
19.(本小题 17 分)
我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹
在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总
相等，那么这两个几何体的体积相等．
(1)如图 1，左边是半径为 的半球，右边是底面半径和高都等于 的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面
圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，求新几何体的体积．
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(2)如图 2，一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”.该球台下底半径为 10 ，
上底半径为 6 ，上下底面间的距离为 8 .根据祖暅原理，求该球台的体积．
(3)如图 3，一个球体被平面截下的部分叫做球缺.截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的
线段长叫做球缺的高.根据祖暅原理，推导半径为 ，高为 的球缺的体积公式．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[2, + ∞)
13.5 6
14.(0,4]
15.解：(1)设 = + ( , ∈ )， = + ( 1) 为实数，所以 = 1，
∵ = + ∴ + 1， 2+ = 2+ = 5 ( + )(2 ) =
1
5 (2 + 1) +
1
5 (2 ) 为实数
所以 = 2，故 = 2 + ；
(2)由求根公式可知，若 和 是关于 的方程 2 + + = 0 的两个根，．
由韦达定理， + = 4 = = 4，
= 5 = = 5，
即 = 4， = 5．
16.解：(1) + = (2, 2 + )，
因为( + ) ⊥ ，所以( + ) = 2 + ( 2) × ( 2 + ) = 6 2 = 0，解得 = 3，
此时 = (1,3)， = 1 × 1 + ( 2) × (3) = 5，
| | = 12 + ( 2)2 = 5，| | = 12 + 32 = 10，
cos < >=
= 5 2所以 ， = ，
| | 5× 10 2
又因为 ， ∈ [0, ]，
所以向量 与 3 的夹角< ， >= 4．
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(2) + = (2, 2 + )，( + )// ，所以 2(5 ) = 4( 2 + )，解得 = 3，
5
投影向量等于 = 10 (1,3) = (
1
2 ,
3 ).
| |2 2
17.解：(1)当 = 2 时， ( ) = 2 2 + 4，对称轴为 = 1，
( )在[1, + ∞)上单调递增．
∵ 2 + 3 > 3，4 + 1 > 1，∴ (2 + 3) ≤ (4 + 1) 2 + 3 ≤ 4 + 1，
∴ 4 2 2 ≥ 0 (2 2)(2 + 1) ≥ 0.
∵ 2 + 1 ≥ 0，∴ 2 2 ≥ 0 ≥ 1，
所以不等式 (2 + 3) ≤ (4 + 1)的解为： 1 ;
(2)根据题意，对任意的 1 ∈ [ 1,1]，存在 2 ∈ [1,3]，使得 ( 1) ≥ ( 2)成立，
即 ( 1)min ≥ ( 2)min，
( ) = ( ) 4 4 = + ，当 = ，即 = 2 时， ( )取到最小值，
( )min = (2) = 4 ．
∴ ( ) = 2 + 4 ≥ 4 对 ∈ [ 1,1]恒成立，即 2 ≥ ( 1)，
当 = 1 时，上式显然成立，
2
当 ∈ [ 1,1)时，∵ 1 < 0，∴ ≥ ( 1)，
2
令 = 1 ∈ [ 2,0) ≥ ( +1) 1， = + + 2 对 ∈ [ 2,0)成立，
∴ ≥ ( + 1 + 2)max = 0，
实数 的取值范围: 0 ．
18.解：(1)根据正弦定理将原式化简为，sin cos + (sin + 2sin )cos = 0 展开可得 sin cos +
sin cos + 2sin cos = sin( + ) + 2sin cos = 0，
∵ + + = ，∴ sin( + ) = sin( )，∴ sin + 2sin cos = 0 1，∵ sin ≠ 0，∴ cos = 2．
(2) △ 的面积为 = 12 sin =
3
4 = 3 = 4，
①
由 = 1，可得 = 4，由 ⊥ ，可得∠ = 90 ，∴ ∠ = 30 ，在△ 中，
2
由正弦定理可知，sin30 = sin∠ = sin∠ ，
sin∠ = sin( + 90 ) = cos ，
在△ 中，
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由余弦定理可知， = 2 + 2 2 × × cos120 = 16 + 1 2 × 4 × 1 × ( 12 ) = 21
2 2 2
△ cos = + = 1+21 16 21 21 2 2×7 2在 中， 2 2×1× 21 = 7 ，∴ sin∠ = 7 ∴ = sin∠ = 21 = 3 21
②若 = 2 ，可得 = 13
+ 2 3 ，
| | = ( 1 + 2 )2 = 1 2 + 4 2 + 4 1 1 2 4 23 3 9 9 9 ( 2 ) = 9 + 9
8
9，
∵ = 4 ∴ 1 2 + 4， 9 9
2 ≥ 2 1 2 × 4 2 4 16 1 2 4 29 9 = 9 = 9，当且仅当9 = 9 ，即 = 2 时，等号成立
1 4| | = 2 2 8 16 8 2 29 + 9 9 ≥ 9 9 = 3
2 2长的最小值为 3
19.解：(1)依题意该几何体的体积： = 圆柱 圆锥 = × 2 ×
1
3 × ×
2 × = 2 33 ；
(2)如图所示，作出“球台”的轴截面，设球心为 ，过 作 ⊥ 交 于点 ，交 于点 ，
依题意 = 10 ， = 6 ， = 8 ，
设球的半径为 ， = ，
则 2 = 2 + 2且 2 = 2 + 2， 2 = 2 + 102 = (8 ± )2 + 62 = 0， = 10，
即 ， 重合，球的半径为 10 ，
作一个高与底面半径都为 10 的圆柱，用距离上底面距离为 的平面去截球台和圆柱，球台的截面面积图
形为圆，半径为 102 2，
所以面积为 (102 2)，圆柱的截面面积图形为圆环，大圆半径为 10，小圆半径为 ，所以面积为 (102 2)，
可得两截面的面积相等
由祖暅原理可知，球台的体积等于右边高为 8 的圆柱 1体积减去一个圆锥 1体积，圆锥的底面半径为 8，
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球台 = 圆柱 圆椎 = × 10
2 × 8 13 × 8
2 × 8 = 18883 ．
(3)如图所示，上部分的球缺类似于图一左边半球的上面部分，
因此它的体积等于圆柱的体积减去圆台的体积，圆柱高为 ，圆台的两个底面分别为 ， ，
1
球缺 = 圆柱 圆台 = ×
2 × 3 (
2 + ( )2 + ( )) ×

= × 2 × ( 2 + 2 2 + 2 + 23 )
= × 2 × 3 (3
2 3 + 2) = 23 (3 )，
同理，下半部的球缺体积等于球的体积减去上半部球缺的体积，此时上半部球缺高为 2 ， 下球缺 =
球
4 3
上球缺 = 3 × 3 (2 )
2(3 (2 ))
4
= 3 ×
3 23 (2 ) ( + )

= 3 [4
3 (4 2 4 + 2)( + )]

= 3 [4
3 (4 3 4 2 + 2 + 4 2 4 2 + 3)]

= 2 3
2
3 [3 ] = 3 (3 )

综合，球缺公式可以统一的表示为 2球缺 = 3 (3 )
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