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2024-2025学年江苏省南通市高一下学期4月期中调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.在中，角，，的对边分别为，，若，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知三点，，，若和是相反向量，则点坐标为( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别为，，已知，，若满足条件的有两个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知，向量，，则下列可能成立的是( )
A. B.
C. D.
8.密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌皇冠图形图是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成在平面凹四边形图中，测得，，，凹四边形的面积为，则的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零向量，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则向量，夹角为锐角
B. 若，则
C. 若，则与的夹角是
D. 若，则
10.已知，，则( )
A. B.
C. D.
11.在斜三角形中，角，，的对边分别为，，若，则( )
A. 为锐角三角形 B. 若，则
C. 的最小值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，三边长分别为，，，则为 三角形选填“锐角”、“直角”、“钝角”
13.使得成立的的一个值为
14.蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性小明作出它的部分平面图三个全等的正六边形，若，则 若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
若，求的值
若，求实数的值．
16.本小题分
已知锐角，满足，．
求的值
求的值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知C.
求
若，，的平分线交于点，求．
18.本小题分
已知函数．
若为锐角，，求的值
在中，若，，是的中点，且，求的面积
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧劣弧，沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心即三角形三条高线的交点如图，已知锐角中，，其外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点．
求
若点为劣弧上一动点，求的最小值
若，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.钝角
13.
14.
15.解：因为，，即，解得，
所以，则，那么，
又因为，所以
已知，则，又，
所以，
因为，，根据向量平行的性质，有，即，
解得．
16.解：由，为锐角，
所以．
因为，
所以，即，
因为为锐角，所以，
所以．
所以
．
由知，，．
所以．
因为，都是锐角，
所以，
所以．
17.解：在中，由余弦定理得，，
所以，即为．
化简得所以
因为，所以
在中，由正弦定理得，，由，可得，
因为，由知，，所以，解得，所以，
又在中，是的平分线，由，得，
即，解得．
18.解：由题意可得
所以，因为为锐角，所以，
所以．
所以
．
在中，，因为，所以，
所以，即，
因为是的中线，所以，
所以，
因为，所以．
又因为，所以．
，得，即．
而，
所以，
所以的面积．
不等式即为
因为，所以，所以，
所以不等式等价于．
令，则，所以不等式等价于．
因为，，
当且仅当，即或时取“”，
所以．
19.解：由正弦定理得为外接圆的半径，
且，，所以，
因为是的垂心，所以，
所以，
所以．
取中点，则．
设点关于的对称点，，连结，．
当，，三点不共线时，，
因为，所以，
所以，
所以．
当，，三点共线时，，
因为，所以，
所以的最小值为．
设中点为，
则，
即．
因为，所以，
由，得，所以．
所以，
因为，
同理，，
所以．
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