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2024-2025学年浙江省衢州市五校联盟高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
3.已知复数，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知直线其中为常数，圆，则直线被圆截得的弦长最小值为( )
A. B. C. D.
7.在中，，的平分线交于点，且，则为( )
A. B. C. D.
8.对任意，，都存在，使得成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.双曲三角函数是一类与常见圆三角函数相似但具有独特性质的函数，主要包括双曲余弦函数、双曲正弦函数、双曲正切函数，则( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
10.已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的值可以为( )
A. B. C. D.
11.甲乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷．下列选项中正确的是( )
A. “甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为
B. “在甲掷出点后，乙下一次掷骰子掷出点”的概率为
C. “首次连续次出现点时需掷骰子的次数”的期望为
D. “甲先掷出点”的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知且，若，则______．
13.的展开式中项的系数为________．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率，抛物线的准线经过双曲线的右焦点，点为双曲线与抛物线位于轴上方的交点，若，则的值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了更好地了解中学生的体育锻炼时间，某校展开了一次调查，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参加体育锻炼时间单位：小时，分别位于区间，，，用频率分布直方图表示如图．假设用频率估计概率，且每个学生参加体育锻炼时间相互独立．
求的值；
计算全校学生一周参加体育锻炼时间的第百分位数；
从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参加体育锻炼时间在区间内的人数，求的分布列和数学期望 ．
16.本小题分
已知数列中，， ．
证明：数列为等比数列；
求数列的通项公式；
记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点．
求的值；
求证：．
18.本小题分
如图，矩形中，，，，现以为折痕把四边形折起得到平面，并连接、．
若，证明：平面；
若为的中点，，直线与平面所成角正弦值为．
试讨论在线段上是否存在点，使得平面若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由；
求平面与平面所成锐二面角的取值范围．
19.本小题分
已知抛物线上一点到其焦点的距离为．
求抛物线的方程；
已知抛物线的准线为，为坐标原点，若过焦点的动直线与抛物线交于，两点，直线与交于点，
证明：直线轴；
过，两点分别作抛物线的切线，，，相交于点且分别与直线相交于点，，求面积的取值范围．
参考答案
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15.解:(1)(0.025+0.050+a+0.125+0.200+0.025)2=1,a=0.075;
(2)第80百分位数为15+2=16.25;
(3)从全校学生中随机选取1人, 则此人一周参加体育锻炼的时间在区间[13,15)的概率为0.1252=0.25,
又X的可能取值为0、1、2、3,由题意可得X~B(3,),
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
则X的分布列为:
X 0 1 2 3
P
X的数学期望E(X)=3=.
16.解：数列中，， ．
，
又，
为等比数列．
，．
则，
，
易知在单调递增，
时，最小为

17.解：，，
，切线方程为．
当时，显然满足条件，
当时，方程有两个相等的根，
，
．
综上，或．
由可知，
时，时，，，
令，，
当时，当时，．
，
当时，．
18.解：因为，，所以，所以，
又，，，平面，所以平面，
因为，，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
故直线在平面射影为直线，所以直线与平面所成角为，
易知为中点，取中点，连接，，
则，，，，则平面平面，
又平面，
所以平面，故点存在，．
因为，，所以，则，且，，平面．
所以平面．
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
设，，则，，，
，，
故平面一个法向量为．
同理取平面一个法向量，则，，
所以平面与平面所成锐二面角的平面角的取值范围为

19.解：由题意可知抛物线准线为，则到准线的距离为，
根据抛物线的定义可知，即，所以抛物线方程为：
证明：由可知抛物线的焦点，准线方程为，
设，，所以直线的方程为
由题意可得点，
设直线的方程为，联立，整理可得，
所以，，可得，
所以，所以直线轴
设，
联立方程组，消去，整理得，
所以，
所以，则，即，
令，得，同理，，
联立，得交点的横坐标为，
，
面积的取值范围是
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