资源简介

2024-2025 学年江苏省盐城市五校联考高一下学期 4 月期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin17 cos43 + cos17 sin43 =( )
A. 12 B.
2 3 2+ 6
2 C. 2 D. 4
2.复数 = cos + sin 6 6，则复数 的虚部是( )
A. 3 B. 1 C. 3 D. 12 2 2 2
3.已知 1， 2是两个不共线的向量，向量 = 2 1 2， = 1+ 2.若 // ，则 =( )
A. 2 B. 12 C. 2 D.
1
2
4 .在△ 中，已知角 ， 的对边分别为 ， ， = 4， =

6， = 2，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 2 3
5.已知方程3 + 2 10 = 0 的解在( , + 1)( ∈ )内，则 =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.如图，平行四边形 中， 是 的中点， 在线段 上，且 = 3 ，记 = ， = ，则 =( )
A. 23 +
1 2 2 3 5 3 1
3 B. 3 3 C. 4 8 D. 4 + 3
7 1.已知 sin( ) = 3，sin cos =
1
2，则 cos(2 + 2 ) =( )
A. 29 B.
1
9 C.
1
9 D.
2
9
8.几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.底与腰之比为黄金分割比( 5 12 ≈ 0.618)的黄
金三角形是“最美三角形”，即顶角为36 的等腰三角形.例如中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”
与一个正五边形组成的.如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形 的边长为 ，正五边形
第 1页，共 8页
1 1 1 1 1边长为 ，则 的值是( )
A. 5 1 B. 3+ 5 3 5 5 24 2 C. 2 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列说法正确的是( )
A.若△ 为钝角三角形，则 2 + 2 > 2
B.若 > ，则 sin > sin
C.若 = 30 ， = 4， = 3，则△ 有两解
D. cos = cos ，则△ 为等腰三角形或直角三角形
10.下列各式的值为 3的是( )
A. tan95 tan35 3tan95 tan35
sin15 B. +cos15

sin15 cos15
C. 2sin15 + 2cos15
D. sin215 cos215
11.如图，设 轴和 轴是平面内相交成 角的两条数轴，其中 ∈ (0, )， 1， 2分别是与 轴和 轴正方向同
向的单位向量，若向量 = = 1 + 2，则把有序数对( , )叫做向量 在夹角为 的坐标系 中的坐
标，记为 = ( , )( )，则下列结论正确的是( )
第 2页，共 8页
A.若 = 2,1 2 ，则| | = 3
3
B.若 = (1,2) 1 ， = ( 1,1)( )则 在 上的投影向量为 3 3 2

C.若| 1 5 2|( ∈ )
5 3
的最小值为 2 ，则 = 3
D.若对任意的 ∈ [ 1,1]，恒有|2 1 + 2| ≥ | 1 + 2 2|，则 ∈ [
2
3 , )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在△ 中，已知 = 2， = 3， = 150 ，则 △ =
13.已知 是第二象限角，且 sin + 6 =
1
3，则 sin 2 + 3 = ．
14.若平面向量 ， ， ，满足| | = 2，| | = 3，| | = 1，且( ) ( ) = 5，则 cos , + 的最
小值是
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
实数 取何值时，复数 = ( 2 3 4) + ( 2 5 6) 是：
(1)实数
(2)虚数
(3)0
16.(本小题 15 分)
已知向量 = ( 4,2)， = (1, 4)．
(1)若( 3 ) ⊥ ( + )，求 的值;
(2)若 = (3 2, )，向量 + 与 的夹角为锐角，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
若 2， 均为锐角，且 sin = 3．
(1)求 tan2 的值;
(2)若 cos( + ) = 35，求 cos 的值．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 = 2 cosC.
(1)求角 ;
(2)若 2 2 + 2 3 = 0，且边 7边上的中线长 = 2，求△ 的面积;
第 3页，共 8页
(3)若△ + 是锐角三角形，求 的范围．
19.(本小题 17 分)
定义向量 = ( , )的“伴随函数”为 ( ) = sin + cos ;函数 ( ) = sin + cos 的“伴随向量”为
= ( , )
(1) 求函数 ( ) = 2sin( + 3 )的“伴随向量”
的坐标;
(2)在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若函数 ( )的“伴随向量”为 = (0,1)，且已知 = 4，
( ) = 35
(ⅰ)求△ 周长的最大值;
(ⅱ)求| + | 的取值范围．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.32
13. 4 29
14. 515
15.解：因为 实数，所以
(1)当 2 5 6 = 0，即 = 6 或 1 时，复数 是实数；
(2)当 2 5 6 ≠ 0，即 ≠ 6 且 ≠ 1 时，复数 是虚数；
2
(3)当 3 4 = 02 ，即 = 1 时，复数 是 0． 5 6 = 0
→ →
16. → →解：(1)若( 3 ) ⊥ ( + )，则( 3 )·( + ) = 0，
因为 = ( 4,2)， = (1, 4)，
3 = 7,14 ， + = 1 4 , 2 4 ，
所以 7(1 4 ) + 14(2 4) = 0，
= 9解得 8；
(2)向量 + 与 的夹角为锐角，则 + · > 0，
因为 = ( 4,2)， = (1, 4)，
所以 + = 3, 2 ，
又 = (3 2, )，
第 5页，共 8页
所以 3 3 2 + 2 > 0，解得 < 67，
又当 + 与 的夹角为0 ，不符题意，
4
所以 3 ≠ 2(3 2)，解得 ≠ 9，
则 的取值范围为( ∞, 49 ) ∪ (
4 6
9 , 7 )．
17.解： (1) ， 2均为锐角，且 sin = 3，
5
所以 cos = 1 sin2 = 3 ，
tan = sin = 2 = 2 5所以 cos 5 5 ，
故 tan2 = 2tan 1 tan2 = 4 5．
(2)由于 ， 均为锐角，
所以 + ∈ (0, )，
由于 cos( + ) = 35，
所以 sin( + ) = 45，
则 cos = cos[( + ) ] = cos( + )cos + sin( + )sin
= 3 × 5 + 4 × 2 = 8 3 55 3 5 3 15 ．
18.解：(1)在△ 中，因为 2 = 2 cos ，所以根据正弦定理得 2sin sin = sin cos
又 + + = 得 2sin( + ) sin = sin cos
所以 2cos sin = sin
因为 ∈ (0, ) 1，所以 sin ≠ 0 所以 cos = 2

又 ∈ (0, )所以 = 3
(2)由 2 2 + 2 3 = 0 3 1，并结合余弦定理得2 = 2，解得 = 3
又 是边 边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知 = 1 ( + 2 )，
等式两边平方得| |2 + 3| | 40 = 0，解得 = | | = 5(负舍)
1 3 15 3
所以 的面积 = 2 × 5 × 3 × 2 = 4
(3) 因为△ 是锐角三角形，且由(1)知 = 3．
第 6页，共 8页

0 < < 0 < <
所以 2 . 2 即 解得 < <
0 < < 2 6 22 0 < 3 < 2
3 2
+ sin +sin +sin( )
3+ 3cos +1sin
由正弦定理得： = = 2 3 2 2 2 sin sin = sin
3 1+ cos 1 3 1+ 2cos2
1 1 3 1 1
= 2 ( sin ) + 2 = 2 (
2 ) + = +
2sin cos 2 2 22 2 tan 2
< < 因为6 2 .所以12 < 2 < 4，所以 2 3 < tan 2 < 1，
3+1 < 3 1 1所以 2 2 + < 3 + 2，tan 22
+ ( 3+1即 的范围为 2 , 3 + 2)
19.解：(1)因为 ( ) = 2 ( + ) = 2 3 3 + 2

3 = + 3 ，

所以函数 ( ) = 2sin( + 3 )的“伴随向量”
= (1, 3)；
(2)( )由于函数 ( )的“伴随向量”为 = (0,1)，
所以 ( ) = ，
又因为 ( ) = 35，
= 3所以 5，
在△ 中， = 4，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，
即 16 = 2 + 2 6 2 165 = ( + ) 5 ，
16 = ( + )2 16 ≤ 16 + 又由基本不等式得： ( )25 5 2 ，
1
所以5 ( + )
2 ≤ 16，
即( + )2 ≤ 80，
所以 + ≤ 80 = 4 5，当且仅当 = = 2 5时，等号成立．
所以 + + ≤ 4 5 + 4，
所以周长的最大值为 4 5 + 4；
( )| + | =
2
+
2
+ 2 = 2 + 2 + 6 35 5 ，
又 16 = 2 + 2 65 ，
所以 2 + 2 = 16 + 65 2 ，
第 7页，共 8页
所以 0 < 20，当且仅当 = 时取等号，

3
· = cos · = 5
所以| + | = 2 + 2 + 65
3
5
= 16 + 12 3 35 5 = 2 4 + 5
3
5 ，
3
令 = 4 + 5 ∈ (2,4],
所以| + | = 2 + 2 + 4 = 1 2 + 5 ∈ [ 4,4),
即| + | 的取值范围为[ 4,4)．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑